【高考數(shù)學(xué)秘籍】直線與圓的綜合應(yīng)用

1、第63講直線與圓的綜合應(yīng)用1. (2016福建四地六校聯(lián)考)已知矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)P(2,0)，邊AB所在的直 線的方程為x+y2=0，點(diǎn)(1,1)在邊AD上所在的直線上.(1)求矩形ABCD的外接圓的方程；(2)已知直線I:(12k)x+(1+k)y5+4k=0(kR),求證：直線I與矩形ABCD的外接 圓相交，并求最短弦長.39(1)依題意得AB 1AD，所以kAD=1.所以AD的方程為y1=x+1,即xy+2=0.|x+y2=0,|x=0,由得即A(0,2).xy+2=0,y=2.由已知得矩形ABCD的外接圓是以P(2,0)為圓心，|AP|=2 2為半徑，其方程為(x2)2+y2

2、=8.(2)l:(x+y5)+k(y2x+4)=0,x+y5=0,x=3,5所以丫y2x+4=0,y=2.即直線I過定點(diǎn)M(3,2).因?yàn)?32)+2=5x/2由NP=.2 NM得xo=x,yo=y.2 2因?yàn)镸(xo,yo)在C上，所以專+ =1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2.證明：由題意知F(1,O).設(shè)Q(3,t),P(m,n),則OQ=(3,t),PF=(1m,m,tn).由OP PQ=1得一3mm2+tnn2=1.又由(1)知m2+n2=2，故3+3mtn=0.所以O(shè)QPF=0,即OQ_LPF.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ, 所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線I過C的左焦點(diǎn)F.2

3、24.(2016江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M:x2+y2x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； 設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn)，且BC=OA,求直線l的方程； 設(shè)點(diǎn)T(t,O)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得TA+TP=TQ，求實(shí)數(shù)t的取值范 圍.堪3圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2+(y7)2=25,所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x=6上，可設(shè)N(6,yo).因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0vyoV7,圓N的半徑為yo, 從而7yo=5+yo,解得yo=1.n),OQ PF=3+3mtn,OP=(m,n),PQ=(3因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方

4、程為(x6)1 2 3 4 5+(yI 1.因?yàn)锽C=0A=22BC2而MC=d+牙，2fm+5 X所以25=+5，解得m=5或m= 15.5故直線I的方程為2xy+5=0或2xy15=0.設(shè)P(xi,yi),Q(X2,y2).因?yàn)锳(2,4),T(t,O),TA+TP=TQ,X2=X1+2t,所以sy2=y1+4.因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以 他6)2+(y27)2=25將代入，得(xit4)2+(yi3)2=25.于是點(diǎn)P(xi,yi)既在圓M上，又在圓x(t+4)2+(y3)2=25上， 從而圓(x6)2+(y7)2=25與圓x(t+4)2+(y3)2=25有公共點(diǎn), 所以55W一 t+462+3725+5,解得22 ,2K t2+2 2i.因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是22 2i,2+2 .2i.因?yàn)橹本€I OA,40所以直線I