球面距離的計算

1、球面距離的計算經(jīng)典范例1位于同一緯度線上兩點(diǎn)的球面距離例1  已知，B兩地都位于北緯，又分別位于東經(jīng)和，設(shè)地球半徑為，求，B的球面距離分析：要求兩點(diǎn)，B的球面距離，過，B作大圓，根據(jù)弧長公式，關(guān)鍵要求圓心角的大?。ㄒ妶D1），而要求往往首先要求弦的長，即要求兩點(diǎn)的球面距離，往往要先求這兩點(diǎn)的直線距離解  作出直觀圖（見圖2），設(shè)為球心，為北緯圈的圓心，連結(jié)，由于地軸平面與為緯度，為二面角的平面角（經(jīng)度差）中，中，由余弦定理，中，由余弦定理：，的球面距離約為2位于同一經(jīng)線上兩點(diǎn)的球面距離例2  求東經(jīng)線上，緯度分別為北緯和的兩地，B的球面距離（設(shè)地球半徑為）（見圖3）

2、 解  經(jīng)過兩地的大圓就是已知經(jīng)線，3位于不同經(jīng)線，不同緯線上兩點(diǎn)的球面距離例3  地位于北緯，東經(jīng)，B地位于北緯，東經(jīng)，求，B兩地之間的球面距離（見圖4） 解  設(shè)為球心，分別為北緯和北緯圈的圓心，連結(jié)，中，由緯度為知，中，注意到與是異面直線，它們的公垂線為，所成的角為經(jīng)度差，利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式（為經(jīng)度差）中，的球面距離約為球面距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，我們把這段弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離，常見問題是求地球上兩點(diǎn)的球面距離。對于地球上過A、B兩點(diǎn)大圓的劣弧長由球心角AOB的大小確定，一般

3、地是先求弦長AB，然后在等腰AOB中求AOB。下面我們運(yùn)用坐標(biāo)法來推導(dǎo)地球上兩點(diǎn)球面距離的一個公式。地球球面上的點(diǎn)的位置由經(jīng)度、緯度確定，我們引入有向角度概念與經(jīng)度、緯度記法：規(guī)定東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)；北緯為正，南緯為負(fù)（如西經(jīng)30º為經(jīng)度=-30º，南緯40º為緯度=-40º ），這樣簡單自然，記球面上一點(diǎn)A的球面坐標(biāo)為A（經(jīng)度，緯度），兩標(biāo)定點(diǎn)，清晰直觀。設(shè)地球半徑為R，球面上兩點(diǎn)A、B的球面坐標(biāo)為A（1，1），B（2，2），1、2-，1、2-，如圖，設(shè)過地球O的球面上A處的經(jīng)線與赤道交于C點(diǎn)，過B的經(jīng)線與赤道交于D點(diǎn)。設(shè)地球半徑為R；AOC=1，BO

4、D=2，DOC=1-2。另外，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C所在直線為X軸，地軸所在直線ON為Z軸建立坐標(biāo)系O-XYZ（如圖）。則A（Rcos1,0,Rsin1）,B(Rcos2cos（1-2）,Rcos2sin（1-2）,Rsin2)cosAOB =cosOA，OB=cos1cos2cos（1-2）+sin1sin2 AOB=arcoscos1cos2cos（1-2）+sin1sin2其中反余弦的單位為弧度。于是由弧長公式，得地球上兩點(diǎn)球面距離公式：=R·arcoscos1cos2cos（1-2）+sin1sin2 （I）上述公式推導(dǎo)中只需寫出A，B兩點(diǎn)的球面坐標(biāo)，運(yùn)用向量的夾角公式、弧長公式

5、就能得出結(jié)論，簡單明了，易于理解，公式特征明顯.從公式的推導(dǎo)中我們體會到坐標(biāo)法在解決立幾問題的不凡表現(xiàn)。由公式（I）知，求地球上兩點(diǎn)的球面距離，不需求弦AB，只需兩點(diǎn)的經(jīng)緯度即可。公式對求地球上任意兩點(diǎn)球面距離都適用,特別地，A、B兩點(diǎn)的經(jīng)度或緯度相同時，有：1、1=2=，則球面距離公式為：=R·arcoscos2cos（1-2）+sin2 （II）2、1-2=，則球面距離公式為：=R·arcos（cos1cos2+sin1sin2）=R·arcoscos（1-2） （III）例1、 設(shè)地球半徑為R，地球上A、B兩點(diǎn)都在北緯45º的緯線上，A、B兩點(diǎn)的球

6、面距離是R，A在東經(jīng)20º，求B點(diǎn)的位置。分析：1=20º，1=2=45º，由公式（II）得：R= R·arcoscos245ºcos（20º-2）+sin245ºcos= cos（20º-2）+cos（20º-2）=0, 20º-2=±90º即：2=110º或2=-70º所以B點(diǎn)在北緯45º，東經(jīng)110º或西經(jīng)70º例2、 （2002年第六屆北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽試題）北京時間2002年9月27日14點(diǎn)，國航CA981航班

7、從首都國際機(jī)場準(zhǔn)時起飛，當(dāng)?shù)貢r間9月27日15點(diǎn)30分，該航班正點(diǎn)平穩(wěn)降落在紐約肯尼迪機(jī)場；北京時間10月1日19點(diǎn)14分，CA982航班在經(jīng)過13個小時的飛行后，準(zhǔn)點(diǎn)降落在北京首都國際機(jī)場，至此國航北京-紐約直飛首航成功完成。這是中國承運(yùn)人第一次經(jīng)極地經(jīng)營北京-紐約直飛航線。從北京至紐約原來的航線飛經(jīng)上海（北緯31 ，東經(jīng)122 ）東京（北緯36 ，東經(jīng)140 ）和舊金山（北緯37 ，西經(jīng)123 ）等處，如果飛機(jī)飛行的高度為10千米，并假設(shè)地球是半徑為6371千米的球體，試分析計算新航線的空中航程較原航線縮短了多少。解：本題應(yīng)計算以北京、紐約為端點(diǎn)的大圓劣弧長，再計算北京到上海、上海到東京、

8、東京到舊金山、舊金山到紐約各段大圓劣弧長度和，然后求它們的差。 球 1一個球的內(nèi)接正方體（正方體的頂點(diǎn)都在球面上）的表面積為6，則球的體積為_由已知得正方體棱長為1，因球的直徑等于正方體的對角線長，所以直徑， 球體積2在赤道上，東徑140°與西徑130°的海面上有兩點(diǎn)A、B，A、B的球面距離是_（設(shè)地球半徑為R）設(shè)球心為O， A、B在赤道這個大圓上， AOB（180°140°）+（180°130°）90°， ， A、B的球面距離為3設(shè)正方體的全面積為，一個球內(nèi)切于該正方體，那么這個球的體積是（）A p B p C p D p

9、 A由正方體全面積為，則棱長為2cm，內(nèi)切于正方體的球的直徑為2cm，則球的半徑為1，其體積為4一個正方體的頂點(diǎn)都在球面上，其棱長為2cm，則球的表面積為（）A8p B12p C16p D20p B球的直徑與正方體的對角線長相等， ， ，球表面積5設(shè)地球半徑為R，在北緯60°圈上有A、B兩地，它們在緯度圈上的弧長是，則這兩地的球面距離是（）A B C DB如圖答9-70，設(shè)北緯60°圈的圓心為，球心為O，則， A、B在緯度圈上的弧長為，則， A、B三點(diǎn)共線， OAOB， AOB是正三角形， ， A、B的球面距離等于6一個正方體的內(nèi)切球與它的外接球的體積比是（）A1 B1 C

10、1 D1A設(shè)正方體的棱長為2a，則其內(nèi)切球半徑為a，外接球半徑為，二球體積比為7球面上有A、B、C三點(diǎn)，ABBC2cm，球心O到截面ABC的距離等于球半徑的一半，求球的體積 A、B、C是球面上三點(diǎn)， OAOBOC設(shè)截面圓圓心為，則平面ABC， ， 是ABC的外接圓圓心 ABBC2， ， ABC是直角在中，OAR， 有，解得，球體積8半徑為1的球面上有三點(diǎn)A、B、C，其中A和B、A和C的球面距離為，B和C的球面距離為，求球心到平面ABC的距離3設(shè)球心為O，由球面距離的定義可知， OAOB，OAOC， OA平面BOC 三棱錐OABC的體積在ABC中，, ,BC1，取BC中點(diǎn)M，則AMBC，設(shè)點(diǎn)O到

11、平面ABC的距離為h， ， ， 即點(diǎn)O到平面ABC的距離為 球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系：，（計算公式） （3）球的截面是圓面： 球的大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓。9. 已知倒立的圓錐形容器的軸截面是一個等邊三角形，在此容器內(nèi)注入水，并放入半經(jīng)為r的一個球，此時，水面恰好與球相切，求取出球后水面的高度。 解：如圖所示，圓錐軸截面為正三角形ABP，設(shè)球心為O，PC為圓錐的高，取出球后，水面為EF，其高度為PH，連結(jié)OC、OA。 則 。， 又 。 故取出球后水面高為。10. 在北緯45°的緯度圈上有A、B兩點(diǎn)，它們分別在東經(jīng)70°與東經(jīng)160&

12、#176;的經(jīng)度圈上，設(shè)地球的半徑為R，求A、B兩點(diǎn)的球面距離。 分析：要求A、B兩點(diǎn)間球面距離，要把它放到AOB中去分析，只要求得AOB的度數(shù)，AB的長度，就可求球面距離。 解：設(shè)北緯45°圈的圓心為O'，地球中心 為O，則AO'B=160°70°=90° OBO'=45°，OB=R 則 故A、B兩點(diǎn)間球面的距離為。11已知地球的半徑為 ，球面上 兩點(diǎn)都在北緯45°圈上，它們的球面距離為 ， 點(diǎn)在東經(jīng)30°上，求 點(diǎn)的位置及 兩點(diǎn)所在其緯線圈上所對應(yīng)的劣弧的長度 分析：求點(diǎn) 的位置，如圖就是求 的大

13、小，只需求出弦 的長度對于 應(yīng)把它放在 中求解，根據(jù)球面距離概念計算即可解：如圖，設(shè)球心為 ，北緯45°圈的中心為 ，由 兩點(diǎn)的球面距離為 ，所以 = ， 為等邊三角形于是 由 ， 即 = 又 點(diǎn)在東經(jīng)30°上，故 的位置在東經(jīng)120°，北緯45°或者西經(jīng)60°，北緯45° 兩點(diǎn)在其緯線圈上所對應(yīng)的劣弧 說明：此題主要目的在于明確經(jīng)度和緯度概念，及利用球的截面的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)設(shè)計計算方案12自半徑為 的球面上一點(diǎn) ，引球的三條兩兩垂直的弦 ，求 的值分析：此題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)

14、造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)解：以 為從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐 補(bǔ)成一個長方體，則另外四個頂點(diǎn)必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑 = 說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計算*例7把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點(diǎn)與桌面的距離分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點(diǎn)且正四面體的棱長為兩球半徑之和2解：由題意，四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點(diǎn)，則正四面體的高 而第四個球的最高點(diǎn)到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1，故第四個球的最高點(diǎn)與桌面的距離為 13. 一個球的半徑為R，A、B是球面上的兩個點(diǎn)，如果A、B沿球面的最短距離為 解： 要使O到平面ABO的距離最長（O為過AB的圓的圓心），只須過A、B的小圓最小，即AB=2r 14. 設(shè)A、B是地