用matlab解決幾何問題

1、 本 科 學(xué) 年 論 文 題 目 用matlab解決幾何問題 院 部 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 肖靜 評閱教師 肖靜 班 級 2008級 3 班 姓 名 牟俊吉 學(xué) 號 200800241048 2011 年 5 月 1 日目 錄摘要Abstract1引言12利用 MATLAB繪制三維曲線13利用 MATLAB繪制曲面圖形24 利用 MATLAB判定圖形間的位置關(guān)系 55利用MATLAB研究旋轉(zhuǎn)曲面的性質(zhì)6結(jié)束語10參考文獻(xiàn)10致謝11摘 要： 將MATLAB的圖形和動畫功能應(yīng)用于解析幾何教學(xué)， 可使教學(xué)形象生動.以圖形問題為例， 詳細(xì)給出了實例的程序編寫和動畫實現(xiàn)

2、過程， 在解析幾何教學(xué)中有一定的應(yīng)用價值.關(guān)鍵詞：MATLAB； 解析幾何； 圖形； 動畫； 編程Abstract: Applying graph and animate function to instruction of analytical geometry and make instruction visual and living. By using examples of graphing, we give the programs and animate proceeding of the examples. It has some applying values in teac

3、hing of analytical geometry. Key words: MATLAB; analytical geometry; graph; animate; program 1引言在解析幾何的教學(xué)中，使用傳統(tǒng)的教學(xué)方法,許多曲線及曲面的形成過程與變換過程只通過傳統(tǒng)的教師講授、 靜態(tài)圖示就很難形象生動地表示出來.在解析幾何教學(xué)中使用MATLAB軟件輔助教學(xué)，不僅可以很容易繪制出復(fù)雜的立體圖形，把曲線、 曲面的形成和變化過程準(zhǔn)確地模擬出來，而且還能夠?qū)λ鼈冞M(jìn)行翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)，甚至還能夠輕而易舉地實現(xiàn)圖形的動畫效果！這對提高教學(xué)效率和培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力可起到事半功倍的效果.下面結(jié)合實例從

4、幾個方面說明MATLAB在解析幾何畫圖方面的應(yīng)用.2 利用 MATLAB繪制三維曲線在空間解析幾何中，各種曲線和曲面方程的建立都離不開圖形，而空間曲線和曲面圖形既難畫又費時.借助MATLAB的繪圖功能，可以快捷、 準(zhǔn)確地繪出圖形， 使教學(xué)變得形象、生動，有利于學(xué)生觀察三維空間圖形的形狀，掌握圖形的性質(zhì).一般地,MATLAB可用 plot3， ezplot3， comet3 等函數(shù)來畫各種三維曲線.例如: 畫螺旋曲線的圖形，其參數(shù)方程設(shè)為： x=a*t*cos(t), y=- b*t，sin(t),z=c*t，使用plot3語句畫螺旋曲線圖形的方法如下 （ 設(shè) a=2,b=4,c=3） ：t=0

5、:pi/50:10*pi; plot3(2*t.*cos(t),- 4*t.*sin(t),3*t);MATLAB用兩條簡單的語句就可以畫出螺旋曲線 （ 圖 1） ，但上述方法是靜態(tài)的,為了體現(xiàn)（圓錐 a=b）螺旋曲線的形成過程,可以使用的動畫功能，改用以下一條語句：ezplot3(' 2*t*cos(t)' , ' - 4*t*sin(t)' , ' 3*t ' , 0,10*pi, 'animate' );可以看到一個紅色的小球在繞螺旋曲線運動（ 圖 2） .若覺得上述語句畫出的圖形在電腦上顯示還是比較快， 可以改用 come

6、t3語句來完成.t=0:pi/50:10*pi;comet3(2*t.*cos(t),- 4*t.*sin(t),3*t);同樣可以看到一個紅色的小球在繞螺旋曲線運動（ 圖 3） 圖1 圖2 圖33 利用 MATLAB繪制曲面圖形用 MATLAB繪制曲面時，一般地可以用 mesh、 surf、 ezmesh、ezsurf等函數(shù)來完成.解析幾何中有一些常見的二次曲面： 球面， 橢球面， 雙葉雙曲面，單葉雙曲面， 錐面， 橢圓拋物面， 雙曲拋物面等.對于后兩個， 由于可以直接用Z表示， 比如： 橢圓拋物面： z=x2+y2；雙曲拋物面2z=x2/4- y2/9； 因此可以用meshgrid,mes

7、h,surf函數(shù)直接完成（ 見圖4、 5） .x,y=meshgrid(- 10:0.2:10);z=(x. 2+y. 2); mesh(x,y,z); (圖4)x,y=meshgrid(- 10:0.2:10);z=(x. 2/4- y. 2/9)/2; mesh(x,y,z);(圖5) 圖4 圖5從圖 4 中可以看到，直接用 mesh 或 surf函數(shù)畫出的曲面不一定美觀， 又比如畫錐面： z2=x2+y2；若使用下列語句，則圖出的圖形如圖6所示，不夠美觀.x,y=meshgrid(- 10:0.2:10);z=sqrt(x. 2+y. 2);mesh(x,y,z); 圖6這時可以考慮用其

8、他方法， 由于球面， 橢球面， 錐面等可用參數(shù)方程來表示：錐 面 ： x =avcosu,y =bvsinu,z =cv； 橢 球 面 ： x =acosvcosu,y =bcosvsinu,z=csinv；故可以用 ezsurf或 ezmesh 函數(shù)直接畫出.這里設(shè)a=2,b=3,c=4， 畫錐面和橢球面的語句如下（ 見圖 7、 8） .ezsurf(' 2*v*cos(u)' ,' 3*v*sin(u)' ,' 4*v' ,0,2*pi,- 10,10);圖7ezsurf(' 2*cos(v)*cos(u)' ,' 3

9、*cos(v)*sin(u)' ,' 4*sin(v)' ); 圖8當(dāng)然， 當(dāng) a=b 時， 上述曲面也可以用旋轉(zhuǎn)曲面的方法來畫.因此， 對不同的曲面要采用不同的畫法， 這樣可以使圖形更加美觀.文獻(xiàn)3給出一個通用的二次曲面畫圖程序，比較復(fù)雜，這里略.4 利用 MATLAB判定圖形間的位置關(guān)系三維空間中的平面、 曲線、 曲面在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)生掌握三維空間中圖形的位置關(guān)系是解析幾何教學(xué)的難點之一.借助MATLAB的三維繪圖功能，可以在同一直角坐標(biāo)系下快捷、準(zhǔn)確地繪出圖形， 有利于學(xué)生觀察掌握圖形之間的位置關(guān)系，突破教學(xué)難點.例1：作出球面 x2+y2+z2=a

10、2和圓柱面 x2+y2- ax=0 的交線 維維安尼(Vivian)曲線1.此題通過聯(lián)立球面方程 x2+y2+z2=a2和圓柱面方程 x2+y2- ax=0， 得出維維安尼曲線的參數(shù)方程： x=acos2t,y=acost*sint,z=asint； 利用函數(shù) plot3,ezflot3 可以畫出該曲線 （ 圖 10） ，但是利用 plot3 函數(shù)，僅僅畫出了該曲線， 還未能反映出兩曲面的交的情況.利用MATLAB， 可在同一直角坐標(biāo)系中繪出球面與柱面， 可以直觀看出曲面相交的情形， 這更有利于學(xué)生觀察維維安尼曲線的形狀.輸入以下語句（ 或事先編好M文件，a=4） .%柱面的 MATLAB程序

11、a,b,c=cylinder(2,100);c(1,:)=- 4;c(2,:)=4;mesh(a+2,b,c); hold on%球面的 MATLAB程序u,v=meshgrid(- pi:0.2:pi);x=4*sin(u).*cos(v);y=4*sin(u).*sin(v);z=4*cos(u);mesh(x,y,z) 圖9運行上述語句， 可得到兩曲面相交的圖形， 利用 MATLAB的圖形旋轉(zhuǎn)功能， 從不同角度觀察圖形， 上述圖 9 是進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果.5 利用 MATLAB研究旋轉(zhuǎn)曲面的性質(zhì)在解析幾何教學(xué)中， 旋轉(zhuǎn)曲面的性質(zhì)僅僅通過教師的講解和板書的靜態(tài)演示很難讓學(xué)生掌握，利用MATL

12、AB演示旋轉(zhuǎn)曲面的形成過程則可突破這一教學(xué)難點. 用 MATLAB畫旋轉(zhuǎn)曲面可用函數(shù) cylinder(R,N)， 只要 R為不同的曲線,再加上平移變換則可.例 2：畫旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面 x2/a2+y2/b2- z2/c2=1和旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面x2/a2+y2/b2- z2/c2=- 1解： 取 a=b， 并用參數(shù)方程來表示， 則 MATLAB 畫圖語句如下， 運行后結(jié)果如圖 10、 11.%單葉雙曲面t=0:0.1:2*pi; y=20+5*cos(t);a,b,c=cylinder(y,100);mesh(a,b,c- 0.5); 圖10%雙葉雙曲面e=0:0.1:10; h=sqrt(3*e

13、);a,b,c=cylinder(h,100);c1=c+0.5; mesh(a,b,c1)hold on; mesh(a,b,- c1) 圖11上述畫圖過程是靜態(tài)的， 沒有表現(xiàn)出曲面的旋轉(zhuǎn)過程，如何使畫圖過程是動態(tài)的呢？可采用編程的方法來解決.例3： 演示將圓(y- b)2+z2=a2繞 Z軸旋轉(zhuǎn)所得的圖形解：按數(shù)學(xué)原理， 繞 Z軸旋轉(zhuǎn)， 相當(dāng)于 y用 sqrt(x2+y2)代替，則可得到旋轉(zhuǎn)曲面，畫圖時，根據(jù)圓的特點， 采用參數(shù)方程表示，編程序如下：a=5;b=20;t=0:pi/30:2*pi;n=length(t);y=b+a*cos(t);z=a*sin(t);x=zeros(1,n

14、);plot3(x,y,z)hold on ;pause(1)for k=0:pi/60:2*pi;x1=y.*sin(k);y1=y.*cos(k);plot3(x1,y1,z)pause(0.01);grid on； hold on;view(- 10,100)endhold off 圖12運行結(jié)果如圖 12所示.本程序直觀形象地演示了圓繞 Z軸旋轉(zhuǎn)而形成圓環(huán)的過程.類似地， 將程序中圓的方程分別改為直線、 橢圓、 雙曲線、 拋物線的方程，運行程序則可動態(tài)地演示繞Z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)圓錐面、 橢球面、 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和旋轉(zhuǎn)拋物面的形成過程.康托給分析建立了嚴(yán)格的集合論基礎(chǔ)而在對實數(shù)連續(xù)性的描述中，閉區(qū)間套定理是一個基本的定理因此，在對該定理推廣前有必要先回顧一下閉區(qū)間套定理的內(nèi)容結(jié)束語動點的軌跡和曲面截痕軌跡是解析幾何教學(xué)中的又一個難點，而描繪動點軌跡和曲面截痕軌跡的形成過程是傳統(tǒng)教學(xué)無法實現(xiàn)的.使用MATLAB制作動畫， 可以輕易實現(xiàn)空間動點的軌跡和曲面截痕的軌跡的形成過程， 使學(xué)生直觀地觀察動點變化形成軌跡的過程和曲面截痕軌跡形成的過程.具體例子可以參考文獻(xiàn)4,5，這里略.參考文獻(xiàn)：1呂林銀， 許子道.解析幾何(第三版)M.北京： 高等教育出版社， 1987.2王沫然.