貝葉斯統(tǒng)計復(fù)習(xí)

1、貝葉斯統(tǒng)計習(xí)題 1. 設(shè)是一批產(chǎn)品的不合格率，從中抽取8個產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，發(fā)現(xiàn)3個不合格品，假如先驗分布為 （1） （2）求的后驗分布。解：2 設(shè)是來自均勻分布的一個樣本，又設(shè)的先驗分布為Pareto分布，其密度函數(shù)為其中參數(shù)，證明：的后驗分布仍為Pareto分布。解：樣本聯(lián)合分布為： 因此的后驗分布的核為，仍表現(xiàn)為Pareto分布密度函數(shù)的核即即得證。3 設(shè)是來自指數(shù)分布的一個樣本，指數(shù)分布的密度函數(shù)為，（1） 證明：伽瑪分布是參數(shù)的共軛先驗分布。（2） 若從先驗信息得知，先驗均值為0.0002，先驗標(biāo)準(zhǔn)差為0.0001，確定其超參數(shù)。解：4. 設(shè)一批產(chǎn)品的不合格品率為，檢查是一個接一個的進(jìn)行

2、，直到發(fā)現(xiàn)第一個不合格品停止檢查，若設(shè)X為發(fā)現(xiàn)第一個不合格品是已經(jīng)檢查的產(chǎn)品數(shù)，則X服從幾何分布，其分布列為 假如只能以相同的概率取三個值1/4, 2/4, 3/4，現(xiàn)只獲得一個觀察值，求的最大后驗估計。解：的先驗分布為在給定的條件下，X=3的條件概率為聯(lián)合概率為X=3的無條件概率為的后驗分布為5。設(shè)是來自如下指數(shù)分布的一個觀察值，取柯西分布作為的先驗分布，即求的最大后驗估計。解 后驗密度6. 設(shè)是來自均勻分布的一個樣本，又設(shè)服從Pareto分布，密度函數(shù)為求的后驗均值和后驗方差。解：的先驗分布為：令可得后驗分布為：則的后驗期望估計為：，后驗方差為：.7. 設(shè)x服從伽瑪分布，的分布為倒伽瑪分布

3、，（1） 證明：在給定x的條件下，的后驗分布為倒伽瑪分布。（2） 求的后驗均值與后驗方差。解：由可以得出 （1）的后驗分布為：即為倒伽瑪分布的核。所以的后驗分布為（2）后驗均值為后驗方差為8. 對正態(tài)分布作觀察，獲得三個觀察值：2，3，5，若的先驗分布為，求的0.95可信區(qū)間。9. 設(shè)某電子元件的失效時間X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為若未知參數(shù)的先驗分布為倒伽瑪分布。計算該種元件在時間200之前失效的邊緣密度。解：10. 設(shè)相互獨(dú)立，且。若是來自伽瑪分布的一個樣本，找出對的聯(lián)合邊緣密度。解：11. 某廠準(zhǔn)備一年后生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，如今有三個方案供選擇：改建本廠原有生產(chǎn)線（）,從國外引進(jìn)一條自動化生

4、產(chǎn)線（）；與兄弟廠協(xié)助組織“一條龍”生產(chǎn)線（）。廠長預(yù)計一年后市場對此產(chǎn)品的需求量大致可分為三種：較高（）；一般（）；較低（）。假設(shè)其收益矩陣為（單位：萬元），假設(shè)廠長根據(jù)自己對一年后市場需求量是高，中，低，給出的主觀概率分別為0.6,0.3，0.1。求在悲觀準(zhǔn)則，樂觀準(zhǔn)則，和先驗期望準(zhǔn)則下的最優(yōu)行動。解：悲觀準(zhǔn)則下：首先行動，的最小收益分別為-200，-800，-30,。然后選出其中最大的收益為-30，從而最優(yōu)行動為樂觀準(zhǔn)則下：首先行動，的最大收益分別為700，980，400,。然后選出其中最大的收益為980，從而最優(yōu)行動為。 先驗期望準(zhǔn)則下：各行動的先驗期望收益為 從而最優(yōu)行動為。12.

5、某水果店準(zhǔn)備購進(jìn)一批蘋果投放市場，市場需求量和采購量都在500至2000公斤之間，已知其收益函數(shù)為，假設(shè)的先驗分布為 上的均勻分布，該店應(yīng)購進(jìn)多少蘋果可使先驗期望收益最大？解：先驗期望收益為當(dāng)a=1343時，先驗期望達(dá)到最大，故應(yīng)購進(jìn)1343公斤蘋果。 13. 設(shè)某決策問題的收益函數(shù)為，若服從上的均勻分布，（1） 求該決策問題的損失函數(shù)。（2） 在先驗期望損失最小的原則下尋求最優(yōu)行動。解：14. 一位賣花姑娘每晚購進(jìn)鮮花第二天去賣，假設(shè)每束花的購進(jìn)價格為1元，售價為6元，若當(dāng)天賣不掉，因枯萎而不能再賣。根據(jù)經(jīng)驗一天至少能賣5束鮮花，最多能賣10束鮮花。（1） 寫出狀態(tài)集和行動集。（2） 寫出收益函數(shù)。（3） 在折中準(zhǔn)則下，對樂觀系數(shù)的不同值，討論賣花姑娘前一天