考研數(shù)學二13年真題

1、2013年考研數(shù)學二真題及答案一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設(shè)，當時， （ ）（A）比高階的無窮小 （B）比低階的無窮?。–）與同階但不等價無窮小 （D）與等價無窮小2已知是由方程確定，則（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2設(shè)，則（ ）（）為的跳躍間斷點 （）為的可去間斷點（）在連續(xù)但不可導 （）在可導設(shè)函數(shù)，且反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）設(shè)函數(shù)，其中可微，則（ ）（A） （B）（C） （D）6設(shè)是圓域的第象限的部分，記，則（ ）（A） （B） （C） （D）7設(shè)，均為階矩陣，若，且可逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價（B）矩陣C的

2、列向量組與矩陣A的列向量組等價（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價8矩陣與矩陣相似的充分必要條件是（A） （B），為任意常數(shù)（C） （D），為任意常數(shù)二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 10設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導數(shù) 11設(shè)封閉曲線L的極坐標方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為 12曲線上對應于處的法線方程為 13已知是某個二階常系數(shù)線性微分方程三個解，則滿足方程的解為 14設(shè)是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，則= 三、解答題15（本題滿分10分）當時，與是等價無窮小，求

3、常數(shù)16（本題滿分10分）設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，求的值17（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域D是由曲線所圍成，求18（本題滿分10分）設(shè)奇函數(shù)在上具有二階導數(shù)，且，證明：（1）存在，使得；（2）存在，使得19（本題滿分10分）求曲線上的點到坐標原點的最長距離和最短距離20（本題滿分11）設(shè)函數(shù)求的最小值；設(shè)數(shù)列滿足，證明極限存在，并求此極限21（本題滿分11）設(shè)曲線L的方程為（1）求L的弧長（2）設(shè)D是由曲線L，直線及軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標22本題滿分11分）設(shè)，問當為何值時，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C23（本

4、題滿分11分）設(shè)二次型記（1）證明二次型對應的矩陣為 ；（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標準形為 一.選擇1.【詳解】顯然當時，故應該選（C）2. 【分析】本題考查的隱函數(shù)的求導法則信函數(shù)在一點導數(shù)的定義【詳解】將代入方程得，在方程兩邊求導，得，代入，知，故應該選（A）3. 【詳解】只要注意是函數(shù)的跳躍間斷點，則應該是連續(xù)點，但不可導應選（）4.【詳解】，其中當且僅當時才收斂；而第二個反常積分，當且僅當才收斂從而僅當時，反常積分才收斂，故應選（）5. 【詳解】應該選（A）6. 【詳解】由極坐標系下二重積分的計算可知所以，應該選（B）7. 【詳解】把矩陣A，C列分塊如下：，由于，則可

5、知，得到矩陣C的列向量組可用矩陣A的列向量組線性表示同時由于B可逆，即，同理可知矩陣A的列向量組可用矩陣C的列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價應該選（B）8. 【詳解】注意矩陣是對角矩陣，所以矩陣A=與矩陣相似的充分必要條件是兩個矩陣的特征值對應相等從而可知，即，為任意常數(shù)，故選擇（B）二.填空9.【詳解】10. 【詳解】由反函數(shù)的求導法則可知11. 【詳解】所以答案為12. 【詳解】當時，所以法線方程為，也就是13. 【詳解】顯然和是對應的二階常系數(shù)線性齊次微分方程兩個線性無關(guān)的解，由解的結(jié)構(gòu)定理，該方程的通解為，其中為任意常數(shù)把初始條件代入可得，所以答案為14.

6、【詳解】由條件可知，其中為A的伴隨矩陣，從而可知，所以可能為或0但由結(jié)論可知，可知,伴隨矩陣的秩只能為3，所以三.解答題15. 【分析】主要是考查時常見函數(shù)的馬克勞林展開式【詳解】當時，所以，由于與是等價無窮小，所以16. 【詳解】由微元法可知；由條件，知17. 【詳解】18. 【詳解】證明：（1）由于為奇函數(shù)，則，由于在上具有二階導數(shù)，由拉格朗日定理，存在，使得（2）由于為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，由（1）可知存在，使得，且，令，由條件顯然可知在上可導，且，由羅爾定理可知，存在，使得即19. 【分析】考查的二元函數(shù)的條件極值的拉格朗日乘子法【詳解】構(gòu)造函數(shù)令，得唯一駐點，即考慮邊界上的點，；距離函數(shù)在三點的取值分別為，所以最長距離為，最短距離為120. 【詳解】（1），令，得唯駐點，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增所以函數(shù)在處取得最小值（2）證明：由于，但，所以，故數(shù)列單調(diào)遞增又由于，得到，數(shù)列有界由單調(diào)有界收斂定理可知極限存在令，則，由（1）的結(jié)論可知21. 【詳解】（1）曲線的弧微分為，所以弧長為（2）設(shè)形心坐標為，則22. 【詳解】顯然由可知，如果C存在，則必須是2階的方陣設(shè)，則變形為，即得到線性方程組，要使C存在，此線性方程組必須有解，于是對方程組的增廣矩陣進行初等行變換如下，所以，當時，線性方程組有解，即存在矩陣C，使得此時，所以方程組的通解為，也就是滿足的矩陣C為