排隊(duì)論的簡單應(yīng)用new

1、基于排隊(duì)論的簡單實(shí)際應(yīng)用 摘要：排隊(duì)論(Queuing Theory) ，是研究系統(tǒng)隨機(jī)聚散現(xiàn)象和隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過程的數(shù)學(xué)理論和方法，又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，為運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支。本文根據(jù)排隊(duì)論進(jìn)行了一個(gè)簡單的實(shí)際應(yīng)用討論。根據(jù)該辦公室的電話系統(tǒng)狀況得知其服從排隊(duì)論模型規(guī)律，用表示在時(shí)刻t，服務(wù)系統(tǒng)的狀態(tài)為n（系統(tǒng)中顧客數(shù)為n）的概率。通過輸入過程，排隊(duì)規(guī)則，和服務(wù)機(jī)構(gòu)的具體情況建立關(guān)于的微分差分方程求解。令把微分方程變成差分方程，而不再含微分了，因此這樣意味著把當(dāng)作與t無關(guān)的穩(wěn)態(tài)解。關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)的M/M/s模型各種特征的規(guī)定于標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型的規(guī)定相同。另外規(guī)定各服務(wù)器工作是相互獨(dú)立（不搞協(xié)作

2、）且平均服務(wù)率相同于是整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為；令只有當(dāng)時(shí)才不會(huì)排成無限的隊(duì)列，成這個(gè)系統(tǒng)為服務(wù)強(qiáng)度，各顧客服務(wù)時(shí)間服從相同的負(fù)指數(shù)分布.關(guān)鍵詞：泊松分布，指數(shù)分布，概率，期望，Little公式一、基于排隊(duì)論的簡單介紹 ：較為經(jīng)典的一種排隊(duì)論模式，按照前面的Kendall記號(hào)定義，前面的M代表顧客(工具)到達(dá)時(shí)間服從泊松分布，后面的M則表示服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，1為僅有一個(gè)打磨機(jī)。 蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。這一方法源于美國在第一次世界大戰(zhàn)進(jìn)研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”。該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮

3、·諾伊曼用馳名世界的賭城摩納哥的Monte Carlo來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。 排隊(duì)論研究的基本問題（1）排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷:即判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合于哪種模型，以便根據(jù)排隊(duì) 理論進(jìn)行研究。 （2）系統(tǒng)性態(tài)問題:即研究各種排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要研究隊(duì)長分布、等待時(shí)間 分布和忙期分布等統(tǒng)計(jì)指標(biāo),包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。（3）最優(yōu)化問題：即包括最優(yōu)設(shè)計(jì)(靜態(tài)優(yōu)化)，最優(yōu)運(yùn)營（動(dòng)態(tài)優(yōu)化）。二、排隊(duì)論在實(shí)際問題中的應(yīng)用問題的陳述：辦公室有三條電話線可以打進(jìn)，也就是說在任意時(shí)刻最多能打進(jìn)接待三通話者來訪，打進(jìn)的電話是隨機(jī)的，其時(shí)間服從上午九點(diǎn)至下午五點(diǎn)的均勻分布，每次

4、電話的持續(xù)時(shí)間是均值為6分鐘的隨機(jī)變量，經(jīng)理關(guān)心由于占線而可能打不進(jìn)來的人數(shù)。他們當(dāng)中有人稍后可能重?fù)茈娫?，而其他人則可能放棄通話，一天中接通的電話平均數(shù)是70。1、問題的提出：請(qǐng)仿真這個(gè)辦公室的電話系統(tǒng)并給出如下估計(jì)：（1） 無電話占線，有一條、兩條占線和三條占線的時(shí)間百分比； （2） 沒有打進(jìn)電話的人所占的百分比。（3） 若辦公室再新裝一部電話，你怎樣修改模型？改進(jìn)這一模型還需要其他什么信息？2、問題的分析：這是一個(gè)多服務(wù)臺(tái)混合制模型M/M/s/K，顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布（即顧客的到達(dá)過程為Poisson流），服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)為s，每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為的

5、負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)的空間為K。3、背景的分析：在辦公室三部電話系統(tǒng)的前提下，研究其工作情況，無電話占線、有一個(gè)、有兩個(gè)、三個(gè)都占線所占的時(shí)間百分比，為保證顧客源不致過多的流失，能夠接通更多的電話，比較研究是否應(yīng)該新增加一臺(tái)電話。4、建立的模型：假設(shè)：顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布，表示在時(shí)刻t，服務(wù)系統(tǒng)的狀態(tài)為n（系統(tǒng)中顧客數(shù)為n）的概率，平穩(wěn)狀態(tài)隊(duì)長N即系統(tǒng)中的顧客數(shù)其期望值，平穩(wěn)狀態(tài)排隊(duì)長,指系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)其期望值為，逗留時(shí)間指平穩(wěn)狀態(tài)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間，記它的期望值為，等待時(shí)間指平穩(wěn)狀態(tài)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間，期望值記作，表示當(dāng)系

6、統(tǒng)處于n時(shí)新來顧客的平均到達(dá)率，表示當(dāng)系統(tǒng)處于n時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的平均服務(wù)率，s是系統(tǒng)中并行服務(wù)的臺(tái)數(shù)，s為系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度。Little公式為：，顧客撥打這三部電話是等可能性的。模型形式：為求平穩(wěn)分布，考慮系統(tǒng)處的任一狀態(tài)n。假設(shè)記錄了一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)進(jìn)入狀態(tài)n和離開狀態(tài)n的次數(shù)，則因?yàn)椤斑M(jìn)入”和“離開”是交替發(fā)生的，所以這兩個(gè)數(shù)要么相等要么相差1。但就這兩件事件平均發(fā)生率來說，可以認(rèn)為是相等的。即當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行相當(dāng)時(shí)間而達(dá)到平衡狀態(tài)后，對(duì)任一狀態(tài)n來說，單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入該狀態(tài)的平均次數(shù)和單位時(shí)間內(nèi)離開該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)該相等，這就是系統(tǒng)在統(tǒng)計(jì)平衡下的“流入=流出”原理。根據(jù)這一原理，可得到任一狀態(tài)下的平

7、衡方程如下：0 1 2 n-1 n 由上述平衡方程，可求得0： 1： 2： n： 記 n=1，2，則平穩(wěn)狀態(tài)的分布為： n=1，2，由概率分布的要求有于是上式只有當(dāng)分母級(jí)數(shù)收斂時(shí)才有意義，即當(dāng)時(shí)，才能由上述公式得到平穩(wěn)狀態(tài)的概率分布。由上面推導(dǎo)知本電話系統(tǒng)模型中有：于是其中由平穩(wěn)分布，n=0,1,2,，K,可得平均排隊(duì)長為：為求平均隊(duì)長，由得到由系統(tǒng)的空間的有限性，必須考慮顧客的有效到達(dá)率。對(duì)多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)有=再利用Little公式為：平均被占用的服務(wù)臺(tái)數(shù)（也就是正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)）為：因此，又有模型求解：題中該辦公室系統(tǒng)可看成M/M/3/3排隊(duì)模型，其中平均到達(dá)率：= 0.146人/分

8、鐘；平均服務(wù)率：=人/分鐘服務(wù)強(qiáng)度：=0.982于是可得空閑(無電話占線)的概率=0.381=38.1%有一條占線的概率 =0.9820.381=0.375=37.5%有兩條占線的概率 =0.184=18.4%有三條占線率的概率 0.158=0.06=6.0%系統(tǒng)的顧客損失率為=0.06，即有6%的呼叫不能接通，即沒有打進(jìn)電話的人占6%。系統(tǒng)的相對(duì)通過能力Q=1-=0.94，即有94%的呼叫可以接通。系統(tǒng)的絕對(duì)通過能力A=Q=0.1460.94=0.137，即每分鐘可接通0.137次（每小時(shí)8.23次）呼叫。被占用的中繼線的平均數(shù)為：=0.982×0.94=0.923（條）通道利用率

9、：=0.308=30.8%4、結(jié)果分析：工作時(shí)間內(nèi)，接通電話的總時(shí)間（三部電話）為：6×70=420（分鐘），由于三部電話相互獨(dú)立，打進(jìn)的電話是隨機(jī)的，其時(shí)間服從上午九點(diǎn)至下午五點(diǎn)的均勻分布則知三部電話的空閑率直觀上看其和為：p=×3=3/8=0.375與模擬的結(jié)果0.381相差不大。5、討論模型的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)在于能巧妙的利用排隊(duì)論的理論及概率學(xué)里邊的函數(shù)分布規(guī)律（泊松分布、指數(shù)分布等）將一個(gè)看似離散隨機(jī)的電話系統(tǒng)賦予數(shù)學(xué)的推導(dǎo)，得出一套基本可行方案，對(duì)實(shí)際問題的研究和解決提供參考依據(jù)。缺點(diǎn)在于實(shí)際問題中顧客往往會(huì)選擇撥打三部電話當(dāng)中的第一部，當(dāng)?shù)谝徊空季€時(shí)才會(huì)去撥第二部或第三部，這樣第一部電話的忙時(shí)的概率相對(duì)另外兩部來說要高很多，還有顧客打來電話很有可能在一段時(shí)間內(nèi)會(huì)很多，這樣的時(shí)間也許會(huì)延續(xù)很長因而模型估計(jì)的三條都占線的概率可能偏小