第六章線性空間習(xí)題答案

1、第六章線性空間3 .檢驗(yàn)以下集合對于所指的線性運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間：1)次數(shù)等于n(n1)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，對于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法；2)設(shè)A是一個n父n實(shí)矩陣，A的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f (A)的全體，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；3)全體n級實(shí)對稱(反對稱，上三角)矩陣，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，對于向量的加法和數(shù)量乘法；5)全體實(shí)數(shù)的二元數(shù)列，對于下面定義的運(yùn)算：(ai,b1)©(a2,b2)= (a1 +a2,b +4 +a1a2), k(k -1) 2、k。由)=(ka1，kb1 +a1)；26)平面上全體向量，對于通常的

2、加法和如下定義的數(shù)量乘法：k = 0 ；7)集合與加法同6),數(shù)量乘法定義為：k =a ；8)全體正實(shí)數(shù)R二加法與數(shù)量乘法定義為：ka© b = ab , k'a = a .解1)不能構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.因?yàn)閮蓚€n次多項(xiàng)式相加不一定是 n次多項(xiàng)式，所以對加法不封閉.2)能構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.事實(shí)上，V=f( A)|f(x)w R x即為題目中的集合， 顯然，對任意的f (A), g( A)三V,及k三R,有f (A)+g( A)=h( A 盧 V , kf (A)=(kf)( A )V ,其中h(x) = f (x)+g(x).這就說明V對于矩陣的加法和數(shù)量乘法封閉.

3、容易驗(yàn)證，這兩種運(yùn)算滿足線性空間定義的18條，故V構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.3)能構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.由于矩陣的加法和和數(shù)量乘法滿足線性空間定義的18條性質(zhì)，故只需證明對稱(反對稱，上三角)矩陣對加法與數(shù)量乘法是否封閉即可.而兩個對稱(反對稱，上三角)矩陣的和仍為對稱(反對稱，上三-1 -角)矩陣，一個數(shù) k乘對稱(反對稱，上三角)矩陣也仍為對稱(反對稱，上三角)矩陣.于是，n級實(shí)對稱(反對稱，上三角)矩陣的全體，按照矩陣的加法和數(shù)量乘法，都構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.4)不能構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.因?yàn)?，兩個不平行與某一向量a的兩個向量的和可能平行于a ,例如：以a為對角線的任意兩個向量的和都

4、平行于 a,從而不屬于題目中的集合.5)能構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.事實(shí)上，V =(a, b)|a,bw R即為題目中的集合.顯然，按照題目中給出的加法和數(shù)量乘法都封閉.容易驗(yàn)證，對于任意的(a, b), (ai, bi)w V , i =1,2, 3； k, l WR,有由于兩個向量的分量在加法中的位置是對稱的，故加法交換律成立；直接驗(yàn)證，可知加法的結(jié)合律也成立；由于(a,b)(0, 0) =(a +0,b+0+0) = (a, b),故(0, 0)是 V 中加法的零元素；如果(a,b)(a1, b1) =(a +a1, b + b1 +aa1) =(0, 0),則有(a1, b1) = (-

5、a, a2 -b),即(aa 2b)為(a, b)的負(fù)元素；a1(1 -1) 2 1、(a, b) =(1a,1b +za ) =(a, b)；2l(l -1) 2l(l -1) 2 k(k -1)2 k (l (a,b) =k (la, lb 2 a ) =(kla,klb 2 a : (la)= (kla, klb +kl(kl -儲尸兇)-(a,b)；2 k (a,b)二 l (a,b) = (ka, kb k(k-1a2)二(la,lb l-(l a2)22二 (ka la, kb - k(k 1)a2 lb 此口 a2 kla2)22二(k l)a,(k l)b (k 1)(k -1

6、* 2= (k+l):(a,b)； k (&,匕)二,) =k (a1 a?, b b .)= k(a1 +az), k(b +b2 +2色)+ k(k 1)(a1 +a2)2,2而k(a1,匕)二 k(a2, 2) = (ka1,kb1k(k1a2)二(ka2,kb2, k(k-1a2)22二 (ka1 ka2, kb1k(k -1)a12 kb2 k(k -1)a2 k2a1a2)22-2 -= k(a1 +a2), k(b1 +b2 +a1a2) +k(1(a1 +a2)2,2即 k °(ai,b )©(a2,b2) =k°(ai, bi)©

7、; k(022, b2).于是，這兩種運(yùn)算滿足線性空間定義的18條，所以V構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個線性空間.6)不能構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.因?yàn)?= 0?？?，故不滿足定義的第 5條規(guī)律.7)不能構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.因?yàn)?k +l)鋁=0豐2d =a +a =k-a +1、/ ,故不滿足定義的第 7條規(guī)律.8)能構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.由于兩個正實(shí)數(shù)相乘還是正實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)的指數(shù)還是正實(shí)數(shù)，故R+對定義的加法和數(shù)量乘法都是封閉的.容易驗(yàn)證，對于任意的 a,be R + k,l WR,有 a(Bb=ab=ba=b5a ；(a5b) c = (ab) © c = abc = a5 (bc) =

8、 a© (b©c)；a51=a1=a，即1是定義的加法 份的零元素；三 111 1 ,一 一一 a©- =a- =1,即，是a的負(fù)兀素； a a a 1 '=a1 =a ； k。-)=k/al) =(al)k =a1k =akl =(kl)二a；(k l) a =ak l =akal=(k a)二(l a) k "a $ b) = k Yab) = (ab)k = akbk = (k *a) ® (k 為).于是，這兩種運(yùn)算滿足線性空間定義的18條，所以R、勾成實(shí)數(shù)域上的一個線性空間.方法技巧直接根據(jù)定義逐條驗(yàn)證即可，但是也要注意驗(yàn)證所

9、給的加法和數(shù)量乘法是封閉的.4.在線性空間中，證明：1)k0 =0 ；2) k(口 -P) =k« -kP .解題提示利用線性空間定義的運(yùn)算所滿足的規(guī)律和性質(zhì).證明 1)證法1由于對任意的向量 a ,存在負(fù)向量口，使得口+(7) =0,故k0 =k(a +(-«) = ka +k(-a) = ka +k(-1)a = (k +(_k)a = 0ot = 0 ；證法2對于任意的向量a ,有kot+k0 =k(a+0) =ka,左右兩邊再加上ka的負(fù)向量kot,即可得k0=0;2)利用數(shù)量乘法對加法的分配律，得到k(a 一 P) + k P = k(a 一 P + P ) =

10、ko(,等式兩邊再加上kP的負(fù)向量kP ,即可得k(a P)=ka -kP .5.證明：在實(shí)函數(shù)空間中，1, co嫉t, cos2t是線性相關(guān)的.解題提示只需要說明其中一個向量可以由其他向量線性表出即可.證明由于在實(shí)函數(shù)空間中，有 cos2t =2cos2t _1 ,即cos2t可由另外兩個向量線性表出，故.2 .1, cos t , cos 2是線性相關(guān)的.7 .在P4中，求向量七在基明,與，男,84下的坐標(biāo)，設(shè)2)鳥=(1,1,0,1), %= (2,1,3,1), % = (1,1,0,0), % = (0,1, 1, 1), I = (0,0,0,1) .解法1設(shè)1在基鳥，飛，露下的坐

11、標(biāo)為(k1,k2,k3, K)',則有k =1街+卜2和 +k3%+k4% .2)將向量等式按分量寫出，得” k1 +2k2 +k3 =0,小 +k2 +k3 +k4 =0,3k2 - k4 =0,、k1 + k2 - k4 = 1.解方程組，得k1 =1, k2 =0,k3 =1, k4 =0 ,即為之在基鳥，%, %, %下的坐標(biāo).解法2將6, %, 3和之作為矩陣的列構(gòu)成一個矩陣對A進(jìn)行初等行變換，將其化成最簡階梯形矩陣，從而確定上與%, %, %, %的線性關(guān)系.2)對A進(jìn)行初等行變換，得到12 101111 A =0 3 0 -1J 1 0 -10、0T0b10 001、01

12、0000 0 10-1100 010，方法技巧解法 1,利用了待定坐標(biāo)法，將線性關(guān)系轉(zhuǎn)化成線性方程組，解線性方程組即可；解法 2,利用了初等行變換不改變列向量之間的線性關(guān)系，將向量組構(gòu)成的矩陣化成最簡階梯形矩陣，從而觀 察出向量的坐標(biāo).8 .求下列線性空間的維數(shù)與一組基:1）數(shù)域P上的空間PnM ；2） Pn*中全體對稱（反對稱，上三角）矩陣作成的數(shù)域 P上的空間;解題提示根據(jù)各個線性空間的特點(diǎn)，構(gòu)造出這些線性空間的一組基，同時也可以給出它們的維數(shù).解1） PnM是數(shù)域P上全體n級矩陣的全體，按照矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成的線性空間.對于任意的1 Wi, j <n ,令Eij表示第i行第

13、j列的元素為1,其余元素均為0的n級矩陣.根據(jù)矩陣的線性運(yùn)算以及矩陣相等的定義，容易驗(yàn)證E i,j=1,2，n是線性無關(guān)的，且任意 n級矩陣A均可由它們線性表出，從而為Pnxn的一組基.于是 Pn>n的維數(shù)為n2.2）仍然使用1）中的符號，并記S= Aw Pn A=A, T = Aw Pn' A' = A, N = A = （aij）= PnXh |aij = 0,i > j.則，按照矩陣的加法和數(shù)量乘法，S,T, N分別表示PnM中全體對稱、反對稱、上三角矩陣全體構(gòu)成的線性空間.容易驗(yàn)證 E" , i =1,2,，n；Ej +E ji , 1 <

14、i < j < n ,構(gòu)成線性空間S的一組基，其維數(shù)為1 2 n = n(n 1)2Ej -Eji , 1 <i < j <n ,構(gòu)成線性空間T的一組基，其維數(shù)為12 (nF 于Eii , i =1,2，n; E。，1 <i < j <n ,構(gòu)成線性空間 N的一組基，其維數(shù)為-14 -方法技巧求已知線性空間的基和維數(shù)，構(gòu)造出它的一組基尤為關(guān)鍵，這需要注意觀察線性空間元素的特征，利用線性空間中元素之間的關(guān)系進(jìn)行分析.9.在P4中,求由基a, M %物到基“1,七，”3,，的過渡矩陣，并求向量 £在所指基下的坐標(biāo).設(shè)5 =(1,0, 0,0

15、),& =(。,1, 0,0), 1)B =(。, 0,1,0), -4=(0, 0, 0,1), 鳥=(1,2, 1,0),&2 =(1,-1,1,1), 2)；3 =(-1,2,1,1),.；4 =(-1, -1,0,1),”1 =(2, 1,1,1),1=(0, 3, 1 , 0J ,L,，上(X1,X2,X3,X4)在力1尸2,1,3下的坐標(biāo);3=(5, 3, 2, 1),4 =(6, 6, 1, 3),7 =(2,1, 0,1), Z =(0,1, 2, 2),3 =(-2,1,1,2), ,4 =(1,3,1,2),£=(1,0, 0, 0)在樂，%, %

16、, %下的坐標(biāo);解題提示由于題目是在4維向量空間P4中討論，這里可以采用定義法或借助第三組基求過渡矩陣；對于求 亡在指定基下的坐標(biāo)可以采用待定系數(shù)法，也可以采用坐標(biāo)變換法.解1)由于鳥，62,%,%為4維單位向量，故i =1,2,3,4在基, &2,邑，下的坐標(biāo)向量即為 本身，故0 5 6、3 3 61 2 10 1 3，即為由基普，4,引為到“CL的過渡矩陣.A =( 1, 2, 3, 4)=21-1又由于巴=(X1, x2, x3, x4)在基鳥，%, %,露下的坐標(biāo)向量即為亡本身，根據(jù)坐標(biāo)變換公式， 可知巴在"1,"2,"3, "4下的坐標(biāo)

17、為9-27-33、/ 、X12-9-23X20018X3-3926<X4 )V2y3y42）由于這一題目是在令 B = ( 7,2， -3,A =（；1，；2, ；3,工)(1, 2, 3, 4)12-101-111-121111-10121010122-21124），C =（1,"2產(chǎn)3,"4）,則根據(jù)初等矩陣與初等變換的對應(yīng),P =（ B C）,對矩陣P實(shí)施初等行變換，當(dāng)把B化成單位矩陣-121-1 2-1 11312可以構(gòu)造E時，矩陣C就化成了-211nM 2n矩陣B'C :4111yi = 9 xi3 x2 x3 9 x4,14123TZ xix2 _

18、 _ x3 _ 二 x427932712二 x1x4,3371126-4 X1x2 -x3 二 x4 .2793274維向量空間P4中討論，故根據(jù)本章教材內(nèi)容全解的基變換一節(jié)求過渡矩陣方法（3）可知，由基 當(dāng)，無，%,4至U基"1,"2,。3, 44的過渡矩陣為<02；100<00100000111000J=(E B'C)是，由基鳥，%, %, %到基），“2, ”3, ”4的過渡矩陣為!10<0011000111110另外，設(shè)修，e2, e3, e4為P4的單位向量組成的自然基,那么(；1, ；2, ；3,4)=©, e2, e3, e

19、4)B .于是= （1,0,0,。）=©, e2, e3, e%）1、0,0 =（備，82, &3,名4）B因此，2在S1,玩，名3,句下的坐標(biāo)為類似地，構(gòu)造矩陣P =( B U)，并對其進(jìn)行初等行變換,將B化成單位矩陣E時，矩陣L就化成了 B：12-191-111-1211-1-1011、10003/130T , T01005/1300010-2/130<00013/13所以，二二(1,0,0,0)在的，齒，£3,£4下的坐標(biāo)為3、y2_1_5y3-13-20431 1c1-1-1 y1、y2A02-12-10=B=y30-11100<011

20、1 j方法技巧利用n維向量空間中的向量構(gòu)成矩陣，將求過渡矩陣問題轉(zhuǎn)化成求一個矩陣的逆與另個矩陣(或向量)的乘積問題，注意在計(jì)算這樣的矩陣乘法時，利用初等變換與初等矩陣的對應(yīng)，構(gòu)造 個新的矩陣，利用初等行變換就可求得.10.繼第9題1),求一非零向量巴，它在基% %, %, %與J2J3J4下有相同的坐標(biāo).解 根據(jù)上一題的討論可知，由樂，"，*3,%到"1J2J3J4的過渡矩陣為21-110 5 6、A =（ 1, 2, 3, 4）=3 3 61 2 10 1 3設(shè)所求向量為 之=(X1,X2,X3,X4)，由于鳥，&2, %, %為4維單位向量，故之在基%, %,

21、%, %下的坐標(biāo)向量即為巴本身，故根據(jù)坐標(biāo)變換公式，可知七在n1,n2,n3,n4下的坐標(biāo)為A弋,因此，如果t在兩組基 下的坐標(biāo)相同，那么左右兩邊乘以 A,可彳#人之=之，即（A-E注=0 ,也就是說之是齊次線性方程組（A-E ） X=0的解.利用消元法求得方程組的解為其中k是任意常數(shù).于是Z =（k,k, k, k）', k是非零常數(shù)，即為所求向量.特別提醒利用坐標(biāo)變換公式，將求向量問題轉(zhuǎn)化成了求解線性方程組問題.12.設(shè)Vi,V2都是線性空間 V的子空間，且 V1UV2,證明：如果 Vi的維數(shù)與V2的維數(shù)相等，那么V1 =V2 -證明 設(shè)dimV =dimV2 = r .那么如果r

22、 =0 ,則Vi與V2都是零空間，從而，Vi =V2 .如果r >0,任取M的一組基出,%,，%,由于V1UV2,且的維數(shù)相等，故，根據(jù)基的定義，%, ”,，%也是V2的一組基，于是 2 = 1（%,4,，）=丫2 .方法技巧X1個題目的結(jié)論，在證明兩個線性空間相等時經(jīng)常使用.14.設(shè)10 3-A0 0'1 0 ,1 2J求P3湍中全體與 A可交換的矩陣所成子空間的維數(shù)和一組基.解題提示以待定所求矩陣的元素，利用交換關(guān)系、矩陣的相等以及解線性方程組，即可求得.Q1 x12 X13解 設(shè)*= ix21 X22 X23是與A交換的任意一個矩陣.首先將矩陣A分解成<X31 X32

23、 X33 ）1A= 0<0由于單位矩陣E與任何矩陣都可交換，故X與A可交換當(dāng)且僅當(dāng) X與B可交換.事實(shí)上，由AX =(E +B)X =EX +BX =X + BX , XA = X (E +B) = XE +XB = X + XB可知AX = XA當(dāng)且僅當(dāng)BX = XB .將BX =XB按元素寫出，即為3x13X13X13000、3x23X23X23二00013X33X33X33 口X11 +X21 +X313X12 + X22 + X323X13 + X23 + X33 /從而X13 = X23 = 0,3X11X21X31 =3X33,3X12 ' X22 ' X32

24、 二 X33,x13 = x23 = 0,即x3i =3x33 - 3Xii - X2”X32 = X33 - 3X12 1 X22 .這是一個含有9個未知數(shù)的線性方程組，取 XmXXXXg為自由未知量，依次取值為 5維單位向量,得線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為10010)/00 0)/03 00.；00 , X3=1-3 0JL000Z0 0 0'X 5= 0 0 0心1 bA交換的矩陣的形式轉(zhuǎn)化成一個與相對簡單于是X 1, X 2, X 3, X 4, X 5即為所求空間的一組基，且這個空間的維數(shù)為5.方法技巧本題中，利用單位矩陣的良好性質(zhì)，將求與 的矩陣B可交換的形式，這能夠給計(jì)算帶

25、來簡便.19 .設(shè)V1與V2分別是齊次方程組 X1 +x2 +2 =0與X1 =x2=Xn=Xn的解空間，證明Pn =V®V2 .證法1 由于齊次方程組 x +x2+xn =0的一組基礎(chǔ)解系為：n4即為其解空間的一組基，從而V1 = L（a1,a2,- ,anA）.另外，齊次方程組 xi =X2=- =4的一組基礎(chǔ)解系為 P =（1,1，1）即為其解空間的一組基，從而丫2 = L（P）.又由于向量組 四，口2，口 n，P組成的n級矩陣的行列式-1 -1-110001033+3001111 =(_1嚴(yán)n#0 ,11故四，%；",4，P線性無關(guān)，從而dim L（ct1,c（2；

26、%，B) = n ,而 L(%匚Pn,所以,根據(jù)習(xí)題12可知，Pn =1（%，叫,，an.P） .于是,V1 +V2=L(%P2,，%)+ L(B) = L(%F)=pn,且dim Pn =dimV1 十dimV2,故 pn =VV2.證法2由于齊次方程組 K +X2 +xn =0的一組基礎(chǔ)解系為:1即為其解空間的一組基，從而V1 = L（a1,ot2，Pn）.P =（1,1，1）',即為其解空間的一組基，從另外，齊次方程組 X1 =x2=xn的一組基礎(chǔ)解系為而 V2 = L(P).對于任意的之wmQv2,不妨設(shè)之=k1%+k2s2+knFn= lP ,則它+卜2。"=0,按分量寫開，即為，_kl _k2