橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題

1、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題典型例題一例 1 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置解：（1 ）當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（ 2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說明： 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況典型例題二例 2 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率解：說明： 求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求， 求，再求比二是列含和的齊次方程，再化含的方程，xx 即可典型例題三例 3 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，

2、為中點(diǎn)，的斜率為0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，二，.為所求.說明： （ 1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問題典型例題四例 4 橢圓上不同三點(diǎn)，與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題(1)求證；(2)若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率.證明：(1)由橢圓方程知，.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，同理,且，二，即 .(2)因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以它的垂直平分線方程為又點(diǎn)在軸上，設(shè)其坐標(biāo)為，代入上式，得22X _4. yi _y2X02 Xi - X2又都在橢

3、圓上，y22 = - 25 x x225將此式代入，并利用的結(jié)論得xo-4-3625典型例題五例5已知橢圓，、為兩焦點(diǎn)，問能否在橢圓上找一點(diǎn)，使到左準(zhǔn) 線的距離是與的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng) 說明理由.解：假設(shè)存在，設(shè)，由已知條件得二.左準(zhǔn)線的方程是,又由焦半徑公式知:橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題整理得解之得或.另一方面.則與矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)不存在.說明：（ 1）利用焦半徑公式xx 可簡(jiǎn)化解題過程（ 2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷（ 3）本例也可設(shè)存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完

4、成）典型例題六例 6 已知橢圓，求過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條 件求.解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為.代入橢圓方程， 并整理得由xx定理得.是弦中點(diǎn)，.故得.所以所求直線方程為.分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)于、的方程組，從而求斜 *解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得,2旦72=1,221至+ y2=1,2x1 +x2 =1,j1 +y2 =1.得.將、代入得，即直線的斜率為.所求直線方程為.說明：（ 1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡（2）解法二是“點(diǎn)差

5、法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率3 3） 有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“ xx 定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”有關(guān)二次曲線問題也適用典型例題七例 7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2 倍，且過點(diǎn)；（2）在軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為 6分析： 當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分別求解，如 （ 1） 題中由求出，在得方程后，不能依此寫出另一方程解：（1 ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或由已知.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題又過點(diǎn)，因此有或.由、，得，或，.故所求的方程為或（ 2）設(shè)方程為由已知，所以故所求方程為說明：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”

6、關(guān)鍵在于焦點(diǎn)的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程或典型例題八例 8 橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)為最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率，把轉(zhuǎn)化為到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準(zhǔn)線過作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點(diǎn)， 因此，且在橢圓上.故.所以.說明：本題關(guān)鍵在于未知式中的“2”的處理事實(shí)上，如圖，即是到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)，使到的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值典型例題九例 9 求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值分析： 先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最

7、小值解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)時(shí)，說明： 當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程典型例題十橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題例10設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是， 求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的 點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的 能力，在求的最大值時(shí)，要注意討論的取值范圍.此題可以用橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、 三角等知識(shí)解決一些綜合性問題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思 想，提高邏輯推理能力.解法一：設(shè)所求橢圓的直角

8、坐標(biāo)方程是，其中待定.由可得設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，則22d2 * * =x2g'2_ 2(_ yJ -a Jb229y 3y - 4因此必有成立，于是當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值.由題設(shè)得，可得，.所求橢圓方程是.由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是.解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中，待定， 為參數(shù).由可得,即.設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則22d2=x2+'y-g I =a2 cos2 日 + ' b sin 日-3iC 2J<2；= 4b2 -3b2 s i n 日-3bs i n +942r q i、22=3b2 sinl +4b2

9、+3<2b J如果，即，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值.由題設(shè)得，由此得，與矛盾，因此必有成立.于是當(dāng)時(shí)（從而）有最大值.所求橢圓的參數(shù)方程是.由，可得橢圓上的是，.典型例題旺例11設(shè)，求的最大值和最小值.分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程與橢圓方程的結(jié)構(gòu)致.設(shè)，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的 位置關(guān)系求得最值.解：由，得3 f x 294 J可見它表示一個(gè)橢圓，其中心在點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過（0, 0）點(diǎn)和（3, 0）點(diǎn).設(shè)，貝U（x +1 2 + y2 = m +1它表示一個(gè)圓，其圓心為（一1,0）半徑為.在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示.觀察圖形可知，當(dāng)圓過（

10、0, 0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即，此時(shí)；當(dāng)圓過（3, 0）點(diǎn)時(shí)，半徑 最大,即，的最小值為0,最大值為15.典型例題十二例12已知橢圓，、是其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).（1）過一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于長(zhǎng)軸的弦，求證：不論、如何變化，.（2）如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)，使，求的離心率的取值范圍.分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從和的正切值出發(fā)做出估 計(jì)，因此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手.本題的第（2）問中，其關(guān)鍵是 根據(jù)什么去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：， 根據(jù)得到，將代入，消去，用、表示，以便利用列出不等式.這里 要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成.解：(1)設(shè)，x = c.2 22 22. 2b x ay

11、= a b于是，.是到的角.故.(2)設(shè)，則，.由于對(duì)稱性，不妨設(shè)，于是是到的角., 二整理得橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題，二，.或（舍），.典型例題十三例 13 已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進(jìn)行討論解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得，即.滿足條件的或.說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)榕c9 的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在軸上，也可能在軸上故必須進(jìn)行討論典型例題十四例 14 已知橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，求到左準(zhǔn)線的距離分析：利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解解法一：由，得，由橢圓定義，得由橢圓第二定義，為到左準(zhǔn)線的

12、距離，二，即到左準(zhǔn)線的距離為解法二：:，為到右準(zhǔn)線的距離，又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為到左準(zhǔn)線的距離為.說明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會(huì)產(chǎn)生誤解橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義典型例題十五例 15 設(shè)橢圓 （ 為參數(shù) ） 上一點(diǎn)與軸正向所成角，求點(diǎn)坐標(biāo)分析：利用參數(shù)與之間的關(guān)系求解解：設(shè)，由與軸正向所成角為，即.而，由此得到，點(diǎn)坐標(biāo)為.典型例題十六例 16 設(shè)是離心率為的橢圓上的一點(diǎn)，到左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)的距離分別為和，求證：，分析：本題

13、考查橢圓的兩個(gè)定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題解：點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線的距離，由橢圓第二定義，由橢圓第一定義，.說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑 (或焦點(diǎn)弦)的有關(guān)問題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用.請(qǐng)寫出橢圓焦點(diǎn)在軸 上的焦半徑公式.典型例題十七例17已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢 圓上一點(diǎn).(1) 求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種 方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法.二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法.本 題若按先建立

14、目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義, 轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡(jiǎn)捷求解.解：(1)如上圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，由，.，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線.由，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線.建立、的直線方程，解方程組得兩交點(diǎn)、 .綜上所述，點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，點(diǎn)與重合時(shí)，取最大值.(2)如下圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，作垂直橢圓右準(zhǔn)線，為垂足，由， 由橢圓第二定義知，要使其和最小需有、共線，即求到右準(zhǔn)線距離.右準(zhǔn)線方程為.到右準(zhǔn)線距離為.此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1,代入橢圓得滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo).說明：求的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂 線段.巧用焦點(diǎn)半徑與點(diǎn)準(zhǔn)距互化是解決有關(guān)

15、問題的重要手段.典型例題十八例18 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積.分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用.為簡(jiǎn)化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題.解：(1).(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對(duì)稱性知，矩形的鄰邊分別平 行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡(jiǎn)便典型例題十九例 19 已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且(1) 求橢圓離心率的取值范圍；(2) 求

16、證的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為()，()思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即，設(shè)，化簡(jiǎn)可得又， 兩方程聯(lián)立消去得，由， 可以確定離心率的取值范圍；解出可以求出的面積，但這一過程很繁思路二：利用焦半徑公式，在xx 運(yùn)用余弦定理，求，再利用，可以確定離心率的取值范圍，將代入橢圓方程xx 求，便可求出的面 積思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合求解解： (xx1) 設(shè)橢圓方程為()，則，在xx,由余弦定理得，解得(1)即.故橢圓離心率的取范圍是(2) 將代入得，即即的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)(xx2) 設(shè)，則(1)在xx,由正弦定理得橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故橢圓離心率的取值范圍是.在xx,由余弦定理得：(2c)2 = m2 n2-2mncos6022=m n -mn2二(m n) -3mn即.即的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān).說明：橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)，構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形， 涉及有關(guān)焦點(diǎn)三角形問題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理解題中通過變形，使之出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)，的關(guān)系式，使問題找到解決思路典型例題二