結(jié)構(gòu)力學圖乘法

1、§4 6 圖乘法我們已經(jīng)知道，計算荷載作用下結(jié)構(gòu)的彈性位移時,需要求下列形式的積分M iM kEIds的數(shù)值。這里，Mi、Mk是兩個彎矩函數(shù)的乘積。 對于直桿或直桿的一段，若EI是常量，且積分號內(nèi)的兩個彎矩圖形中有一個是直線圖形，則可用圖乘法計 算積分，極為方便。下面說明圖乘法的內(nèi)容和應用圖420所示為直桿AB的兩個彎矩圖，其中M i圖為一直線抗彎剛度EI為一常數(shù)，則M i M K1i一- dx =M i M K dxEIEI以。為原點，以a表示Mi圖直線的傾角，則Mi圖上任一點標距如果該桿截面（a）（縱坐標）可表小為M i = x tan、工BB因此，M M i M K dx =t

2、ana xM Kdx(b)-A'A式中，Mx可看作Mk圖的微分面積（圖4 20中畫陰影線的部分）"W-xB是這個微分面積對y軸的面積矩。于是1 xM Kdx就是Mk圖的面積對y軸的,A面積矩。以x0表示M K圖的形心C到y(tǒng)軸的距離，則BI xM K dx - x0A將上式代人式(b),得到BM i M K dx = tan :工：x0 - y 0(c)A其中，y0是在MK圖形心C對應處的Mi圖標距。利用式（c）,式（a）可寫成1EI(4 29)這就是圖乘法所使用的公式。 它將式(a)形式的積分運算問題簡化為求圖 形的面積、形心和標距的問題。應用圖乘法計算時要注意兩點：(1)應

3、用條件：桿件應是等截面直桿，兩個圖形中應有一個是直線，標 距y 0應取自直線圖中(2)正負號規(guī)則：面積與標距y 0在桿的同一邊時，乘積coy。取正號；與y 0在桿的不同邊時取負號二出地物蟠”爭ABE 4-21圖4-21給出了位移計算中幾種常見圖形的面積和形心的位置。用拋物線圖形的公式時，必須注意在拋物線頂點處的切線應與基線平行。下面指出應用圖乘法時的幾個具體問題。(1)如果兩個圖形都是直線圖形，則標距y0可取自其中任一個圖形。(2)如果一個圖形是曲線，另一個圖形是由幾段直線組成的折線，則應分 段考慮。對于圖4-22所示的情形，則有M i M K dx ="1 ，2y 2 , .(y

4、3(3)如果圖形比較復雜，則可將其分解為簡單圖形來考慮圖 4-22(S4-23而將其中一個梯形（Mk圖）分為兩個三角形（也可分為一個矩形和一個三角形）再應用例如，圖4 23中兩個圖形都是梯形，可以不求梯形面積的形心,圖乘法。因此M i M K dx =0y 1 ，2丫 2(a)其中,ab孰=-l,22 = 222d12dyi= - c+, y 2 =-c + 3333 ,(b)所以:alblM i M K dx =(2c - d )(c 2d )66圖4 74又如，圖4 -24中的M k圖可以分解為兩個三角形：三角形 ADB在坐標軸 以上，三角形ABC在坐標軸以下。這時albl '1

5、=, '2 =2 22c dy 1 = 一（與切1反側(cè)）3 32d cy 2 =（與 co 2 反側(cè)）33所以：alblM i M Kdx =（d -2c） （d - 2c）66Mr圖H'國94-25圖425a所示為一段直桿AB在均布荷載q作用下的M P圖。由第二章可知,Mp圖是由兩端彎矩Ma、Mb組成的直線圖（圖4- 25b中的M，圖）和簡支梁 在均布荷載q作用下的彎矩圖（圖425c中的MO圖）疊加而成的。因此，可將M p圖分解為直線的M '圖和拋物線的M O圖，然后再應用圖乘法還要指出，所謂彎矩圖的疊加是指彎矩圖縱坐標的疊加。 所以雖然圖4-25a 中的M圖與圖4 25C中的M圖形狀并不相似，但在同一橫坐標 C處，二者的縱 坐標是相同的，微段dx的微小面積（圖中帶陰影的面積）是相同的。因此，兩 圖的面積和形心的橫坐標也是相同的。例48用圖乘法計算圖4 26a所示簡支梁在均布荷載q作用下的B端轉(zhuǎn) 角A 。q3）而圖料T 2例49圖4 27a所示為一懸臂梁，在A點作用集中荷載P,求中點C的 撓度4。ta) M串圖圖 4-27例410圖4 28a所示為一預應力鋼筋混凝土墻板起吊過