中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)匯編專題平行四邊形的存在性

1、專題23平行四邊形的存在性破解策略以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜臺(tái)性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求高，這類題，一般有兩個(gè)類型：(1) “三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的平行四邊形存在性問(wèn)題：以A, B, C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形構(gòu)造方法有：_x0001_ 作平行線：如圖，連結(jié) AR BC AC分別過(guò)點(diǎn) A B, C作其對(duì)邊的平行線, 三條直線的交點(diǎn)為 D, E, F.則四邊形 ABCD ACBE ABFC勻?yàn)槠叫兴倪呅?倍長(zhǎng)中線：如圖，延長(zhǎng)邊 AC AB BC上的中線，使延長(zhǎng)部分與中線相等，得點(diǎn)D,E, F,連結(jié)DE EF, FD.則四邊

2、形 ABCDACBE ABFC勻?yàn)槠叫兴倪呅?(2) “兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的平行四邊形存 .在性問(wèn)題：先確定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的位置，轉(zhuǎn)化為“三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的平行四邊形存在性問(wèn) 題，再構(gòu)造平行四邊形.解平行四邊形存在性問(wèn)題，無(wú)論是以上哪種類型，若沒(méi)有指定四邊形頂點(diǎn)順序，都需 要分類討論.通常這類問(wèn)題的解題策略有：(1)幾何法：先分類，再畫(huà)出平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)來(lái)解答.如圖，若AB/ CD且AB= CD分別過(guò)點(diǎn)B, C作一組平行線 BE CF,分別過(guò)點(diǎn) A D作一組平 行線AE DF則 AEBA DFC從而得到線段間的關(guān)系式解決問(wèn)題.A(2)代數(shù)法：先羅列四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再分類

3、討論 列方程，然后解方程并檢驗(yàn).如圖.已知平行四邊形ABO.連結(jié)AC BD交于點(diǎn)O.設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A(xa,yQ.B (xb,yB),C (xc, yc), D (xd, yD) .利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求未知點(diǎn)的坐標(biāo):Xa+ Xc _ Xb+ Xd 22yA + ycyB + Vd有時(shí)候幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又快又好.例題講解例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線y = x2 + m奸n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3, 0), B (0, -3),P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn) M(1)分別求出直線 AB和這條拋物線的表達(dá)式；(2)是否存在這樣的點(diǎn) P,使得以點(diǎn)P, M

4、 B, O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在， 請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)將點(diǎn)A, B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，得 y = x2 2x+3.設(shè)直線AB的表達(dá)式 為丫=卜* +將點(diǎn)A, B的坐標(biāo)代入，得 y = x3.(2)存在.因?yàn)镻M/ OB所以當(dāng)P陣OB寸，四邊形即為平行四邊形.根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p, p 3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(p, p2-2p-3).所以(p- 3)- (p2- 2p- 3) = 3.解得p= 3±V21 ,故滿足條件的點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為p= 3±"21 . 22例2 邊長(zhǎng)為2的正方形OABCE平面直角坐標(biāo)系中白

5、位置如圖所示，D是OA邊的中點(diǎn)，連結(jié)CD點(diǎn)E在第一象限，且 DEL DC DE= DC以直線 AB為對(duì)稱軸的拋物線過(guò) C, E兩點(diǎn). (1)求拋物線的表達(dá)式；(2) M為直線上一動(dòng)點(diǎn)，N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn)M N,使得以點(diǎn) M N, D,E為頂點(diǎn)的四邊形是平形四邊形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明 理由.10 / 8解 (1)如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EGLx軸于點(diǎn)G易證4OD冬GED(AAS,所以 GE = OD = 1OA= 1 . 2所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3, 1).而直線AB為拋物線的對(duì)稱軸，直線 AB的表達(dá)式為x = 2,所以可設(shè)拋物線的表達(dá)式為 y=a (x2)

6、2+k,將C, E兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式，得2 , -k -K +a + 4 a1-3 2-3所以拋物線的表達(dá)式為 y 1x22 - 1x2 4x233 33(2)存在.1 2 4由題息可設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為(2, m|), N的坐標(biāo)為 n, n - n 233以點(diǎn)M N, D, E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形有以下可能：當(dāng)DE為平行四邊形的邊時(shí),(i )如圖 2,若 DE MN MD/ NE由平移的性質(zhì)可得2 1n 3m 0 1 n2 4 n 2 133解得m 1.n 4.此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, 1), N的坐標(biāo)為(4, 2).(ii )如圖 3,若 DE/ MN ME/ ND.n 1 2 3.由平

7、移的性質(zhì)可得 1 2 4 n n 2 0 m 1.33解得m 3.n 0.此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2, 3）, N的坐標(biāo)為（0, 2）.當(dāng)DE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖 4.由平行四邊形對(duì)角線互相平分性質(zhì)可得1 3 2 n.1 2 40 1 m n n 2.33解得m132.此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為1 一一 22,1 , N的坐標(biāo)為 2,-.33例3如圖，拋物線2x bx c的頂點(diǎn)為D(1, 4),與y軸父于點(diǎn)C (0, 3),與x軸交于A, B兩點(diǎn)（點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式；A在點(diǎn)B的左側(cè)）.（2）若點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn) 邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn) I:F,使以

8、A, C, E, F為頂點(diǎn)的四F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解 （1）將點(diǎn)C, D的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式,得 y x2 2x 3.（2）存在.令 x2 2x 3 0,解得 x1 1,x23.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一3, 0）, B的坐標(biāo)為（1,由點(diǎn)F在拋物線上可設(shè)點(diǎn) F的坐標(biāo)為 m,m2 2m 3 .方法一：如圖1、圖2,當(dāng)AC為平行四邊形的邊是,圖1過(guò)點(diǎn)F作FP垂直于拋物線的對(duì)稱軸，垂足為P.易證 PE陣 O（A.所以P曰A0= 3,從而點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 5）或（一4, 5）.如圖3,當(dāng)AC為平行四r邊形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FP± y軸于點(diǎn)P.令拋物線的對(duì)稱軸交 x軸于點(diǎn)Q,易可

9、 PC自 Q以所以PF= AQ= 2,從而點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 3）,此,時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C縱坐標(biāo)相同，所以 點(diǎn)E在x軸上.方法二：如圖圖33,當(dāng)AC EF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),xE m 3 0, 可得2yE m 2m 303 .又因?yàn)辄c(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，所以m 2,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, -3）.如圖1,當(dāng)AE CF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),可得XeVem+3, m2 2m 5.又因?yàn)辄c(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，所以m= - 4,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, -3）.如圖2,當(dāng)AF, CE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，x 3 m,可得 E 2 yE m 2m.又因?yàn)辄c(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，所以 m 2.則點(diǎn)F的坐標(biāo)

10、為（2, 5）.綜上可得，滿足平行四邊形的點(diǎn) F的坐標(biāo)為（2, 3） （4, 5） （2, 5） 進(jìn)階訓(xùn)練1 .如圖，四邊形 ABC虛直角才!形，AD/ BC ZrB= 90° , AD= 24cm, BO 28cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，沿 CB以3cm/s的速度向 點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).問(wèn)：從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多 長(zhǎng)時(shí)間，四邊形 PQCD；為平行四邊形？2 .如圖，拋物線 y = ax2 +bx+ c 過(guò) A (3, 0) , B (1, 0) , C (0, 3) 三點(diǎn)，拋物 線的頂點(diǎn)位P.(1)

11、 r求拋物線的表達(dá)式；(2)直線y=2x+ 3上是否存在點(diǎn) M使得以A, P, C, M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3 .如圖，在矩形 OABg，OA= 5, AB= 4,點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，將 BCD替直線C所疊， 使點(diǎn)B恰好落在OAa上的點(diǎn)E處，分別以O(shè)C OA所在的直線為x軸.y軸建立平面直角坐 標(biāo)系.若點(diǎn)N在過(guò)O D. C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn) M在拋物線上，問(wèn)是否存在這樣的 點(diǎn)M與點(diǎn)N,使彳#以M N, C, E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ？若存在.請(qǐng)求出 M點(diǎn)坐標(biāo); 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：存在滿足條件的點(diǎn)M其坐標(biāo)為(2,

12、16), (6, 16)或(2, 16).33提布:易證 DA歷EOC從而點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3-5),得到過(guò)點(diǎn) O D, C的拋物線的 2解析式為y=&x2+3x-再分類討論，由對(duì)角線互相平分，中點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等列出方程， 33從而找到符合條件的點(diǎn) M (參考例3的方法二)4 .如圖，拋物線與 x軸交于點(diǎn)A (5, 0), B (3, 0),與y軸交于點(diǎn)C (0, 5).有一寬度 為1,長(zhǎng)度足夠的矩形(陰影部分)沿 x軸方向平移，與y軸平行的一組對(duì)邊交拋物線于點(diǎn) P, Q.交直線 AC于點(diǎn)M N.在矩形的平移過(guò)程中，當(dāng)以點(diǎn)P, Q M N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn) M的坐標(biāo).答案：點(diǎn) M的坐標(biāo)為（2, 3）, （-2-76,3-<6）或（-2+76,3+6提示.由點(diǎn)A, B, C的坐標(biāo)可得拋物線的表達(dá)式為y= -X2-X+5,直線AC的表達(dá)式為33 .一 ._de。de ey=x+5,設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)