新人教版2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí)下幾何問題_線段的旋轉(zhuǎn)

1、1.旋轉(zhuǎn)一線段1.在 VABC 中，ABAC , BAC （0 < <60 ），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段BD .（1）如圖1,直接寫出 ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?）如圖2,BCE 150 , ABE 60 ,判斷VABE的形狀并加以證明;（3）在（2）的條件下，連接 DE，若 DEC 45 ,求 的值.解析：（1） QABDABC60 又 Q ABC180290ABD 906030（2） VABE是等邊三角形E證明：連接AD、CDDBC 60 , DBBC VBCD是等邊三角形,BDC 60 , BDDC又 AB AC, ADAD, VABD 仁 VACD3

2、ADB ADC, ADB 150ABE DBC 60 , ABD EBC又 BD BC, ADB ECB 150VABD仁VEBC , AB EBvabe是等邊三角形(3)解：VBDC是等邊三角形，BCD 60DCE BCE BCD 90又 DEC 45 , EC DC BC,EBC180 BCE 180150“CEB 1522aEBC ABD 30 一, 2302.在VABC中，BA BC , BAC , m是AC的中點(diǎn)，p是線段BM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順 時(shí)針旋轉(zhuǎn)2得到線段PQ.（1）若60且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1）,線段CQ的延長(zhǎng)線交射線 BM于點(diǎn)D，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出CDB的度數(shù)

3、；（2）在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)B, M重合，線段 CQ的延長(zhǎng)線與射線 BM交于點(diǎn)D ,猜想 CDB的大小（用 含的代數(shù)式表示），并加以證明；（3）對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)B, M重合）時(shí)，能使得線段 CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于點(diǎn)D ,且PQ QD ,請(qǐng)直接寫出的范圍.解析:(1)補(bǔ)全圖形，見圖1； CDB 30(2)猜想： CDB 90證明：如圖2 ,連結(jié)ad , PCBA BC, M 是 AC 的中點(diǎn)， BM ACDC.點(diǎn)D , P在直線BM上，PA PC , DA又.DP為公共邊，. VADPWCDPDAP DCP, ADP CDP又.PA PQ , PQ P

4、CDCP PQC, DAP PQC . PQC DQP 180 , . DAP DQP 180. 在四邊形 APQD 中， ADQ APQ 180. APQ 2 , . ADQ 180 2 1 一 “CDB ADQ 90 2（3） 45 c <60提示：由（2）知 CDB 90 ，且PQ QDQPD CDBPQC QPD CDB 2 CDB 1802 PAD PCQ點(diǎn)P不與點(diǎn)B，M重合，MAD< PAD< BAD<1802 <2 ,45 < <603.如圖1,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上（不與點(diǎn) A，B重合），點(diǎn)F在BC邊上（不與點(diǎn)B，

5、C重合）.第一次操作：將線段 EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn) G ;第二次操作：將線段 FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) F落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn) H ；依此操作下去備用圖1備用圖2(1)圖2中的vefd是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為 ,求此時(shí)線段 EF的長(zhǎng);(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH .請(qǐng)判斷四邊形 EFGH的形狀為,此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是 ;以中的結(jié)論為前提， 設(shè)AE的長(zhǎng)為x,四邊形efgh的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及 y的取值范圍.(3)若經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是多少？它可能是正多邊形嗎？如果是，請(qǐng)直接寫出其邊長(zhǎng)；如果

6、不是，請(qǐng)說明理由.解析:(1)由旋轉(zhuǎn)可得： EF FD DEVDEF為等邊三角形BF C四邊形ABCD是正方形，AD CD BC AB, A B C 90ED FD , VADEWCDFAE CF , BE BF，三角形BEF是等腰直角三角形設(shè) BE 的長(zhǎng)為 x ,則 DE EF J2X，AE 4 x在 RtVADE 中，de2 AD2 AE2(、2x)2 42 (4 x)2解得*4 4布，x24 4J3 (舍去)EF ,2x 4,2 4.6(2)四邊形 EFGH 的形狀為正方形，此時(shí) AE BF .理由如下:依題意畫出圖形，如答圖 1所示：馨圖1由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知， EF FG GH HE四邊形

7、EFGH的形狀為正方形.Q12 90 ,23 90,1 3 .Q34 90 ,23 90,2 4 .在VAEH 與VBFE中，1 3EH EF2 4VAEHVBFE (ASAAE BF .利用中結(jié)論，易證 VAEH、VBFE、VCGF、VDHG均為全等三角形,BF CG DH AE x , AH BE CF DG 4 x .在 RtVBEF 中，EF2 BE2 BF 2y 2x2 8x 16 2(x 2)2 8當(dāng)x 2時(shí)，y取得最小值8;當(dāng)x 0時(shí)，y 16. y的取值范圍是8 y <16(3)經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是8,它可能為正多邊形，邊長(zhǎng)為 4J2 4如

8、答圖2所示，粗線部分是由線段 ef經(jīng) 過7次操作所形成的正八邊形.設(shè)邊長(zhǎng)EF FG x ,則BFCG也x，2BC BF FG2CG x x212x 4,解得：x 4J2 44.已知，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)G在直線AD± ( P> G不與正方形頂點(diǎn)重合，且 在CD的同側(cè))，PD PG, DF PG于點(diǎn)H ,交直線AB于點(diǎn)F ,將線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得 到線段PE,連結(jié)EF .(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD上時(shí).求證：DG 2PC ；求證：四邊形PEFD是菱形；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段 BC與線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想

9、四邊形 PEFD是怎樣的特殊四邊形， 并證明你的猜想.7圖1圖2解析:(1)E彳PM AD于點(diǎn)MPD PG, MG MD又 MD PC, DG 2PC PG FD 于 H ,DGHADF 90又 ADF AFD 90DGP AFD四邊形ABCD是正方形，PM AD于點(diǎn)MA PMD 90 , PM ADVPMG二VDAF , DF PGPG PE, DF PEDF PG, PE PG , DF PPE.四邊形PEFD是平行四邊形又 PE PD， YPEFD是菱形(2)四邊形pefd是菱形證明：四邊形 ABCD是正方形，DH PG于HADCDHG90CDGDHG90CDPPDG90 , GDH G

10、 90PD PG,PDGGCDPGDHCDPADF又 AD DC, FADPCD 90VPCD仁VFAD , DF PDPD PG PE, DF PE又 FD PG, PE PG, DF PPE，四邊形PEFD是平行四邊形又 DF PD ,，平行四邊形PEFD是菱形5.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，且DE平分 ADF .(1)求證：AE CF DF ；(本小問不予評(píng)分，自行查看解析)(2)當(dāng)FE平分 BFD時(shí)(如圖2),將線 段DF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45 ,旋轉(zhuǎn)后的線段分別交 AD、ED于 點(diǎn)P、Q ,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,求VPEQ的面積.9EF國(guó)1nEB解析

11、:(1)證明:DC將VADE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 到 VCDG則 AE CG , ADECDG, AED. AB P DC , AEDEDCEDCADEEDF，CDGEDFFDGFDC CDGFDCEDFEDCFDG , DF FGCF CG FG , AE CFDF(2)過E作EG DF于G13則 VADERGDE, VBEFRGEFAE GE BE 2, de 2底ADPBC,. ADF BFD 180FE平分 BFD18090 , DEF 90EF 75，DF 5設(shè)QH xDE平分 ADF，ADF BFDEDF DFEVEDFsVADE ,CF 3, BF 1過Q作QH DF于HQ DF

12、P 45 , FH QH x又 Q ADEAE 2 1EDH , tan ADEtan EDHAD 4 2DH 2x5_ 5 5 x 2x 5, x - , DQ -V5, QF -V2333EQ DE DQ過e作EI P BF交pf于I ,則EI是梯形ABFP的中位線設(shè) EI t,EQ1DPEQ1Q ，DQ5EIDQ5DP5t, AP45t1 , t (4 5t 1), t7 DP25T2過P作PK DE于K，則 PKPD sin ADE25272.5_1 -Svpeq-EQ PK2-1! 55 25237、426.在 RtVABC 中,ACB 90A 30,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE BC,垂

13、足為點(diǎn)E,連接CD.（1）如圖1, DE與BC的數(shù)量關(guān)系是 （2）如圖2,若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 , 得到線段DF，連接BF ,請(qǐng)猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若點(diǎn)P是線段CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出 de、BF、BP 三者之間的數(shù)量關(guān)系.解析：(1)Q ACB 90, A 30B 60 ,Q點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),DB DC ,VDCB為等邊三角形,Q DE BCDE BC； 2故答案為de 23 BC2(或 BC 2V3DE )32 (2) BF BP 、3

14、DE3(或(BF BP) DEC E P B證明：.在 RtVABC中， ACB 90 , A 30ABC 601 . D是AB的中點(diǎn)， CD AB BD 2VDCB是等邊三角形，CDB PDF 60CDP BDP BDF BDP即 CDP BDF又 DP DF， VCDPVBDFCP BFDE 2 -BC BP CP, BC BP BF , BC CD 2V3DEsin60 3BP BF 2 v3DE315（3）如圖,C E B P與(2)一樣可證明VDCPVDBFBP ,BC , 2>/3DE (或近CP BF而 CP BCBF BP(BF BP) DE)BF BP7.在VABC中，

15、AC BC 4, ACB 90 , D是AC的中點(diǎn)，E為射線DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段DF，連接FC ,過點(diǎn)F作FG FC ,交直線AB于點(diǎn)G .（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，判斷FG與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)e在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由;（3）當(dāng)點(diǎn)E從DC的中點(diǎn)M移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段 FG的中點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).解析：（1） FG FC證明:連接EF，延長(zhǎng)DF交AB于HEDF ACB 90 , DH P BC1 _D是AC的中點(diǎn)，H為AB的中點(diǎn)，DC AC 21 DH是VABC的

16、中位線，DH -BC2AC BC, DC DHDE DF， CE FHEDF 90 , FG FCECF DFC 90 , HFG DFC 90ECF HFG VDEF和VADH都是等腰直角三角形DEF AHD 45 , CEF FHG 135VCEFWFHG , FG FC(2)成立證明：連接 EF ,設(shè)DF交AB于H同理可證 CE FH , CEF FHG 45ECF 90 FCB, HFG 90 DFC.DF P BC , . DFC FCBECF HFG , VCEFWFHGFG FC(3)線段FG的中點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為提示：延長(zhǎng)df交AB于H，取DH中點(diǎn)P，連接PC、PN、則 CD

17、 2DP, CF 2FNVCDgVCFN ,DCP FCNDCF PCN. CD 2DP, CF 2FN 5- 5CP CD，CN -CF22CNCPCNCDCF,VCDFsVCPNCPN CDF 90FPN 90 DPC ,是定值，線段FG的中點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑是一條線段 當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，F(xiàn)是DH的中點(diǎn)連接 MF、CG,則MF是VDCH的中位線由(1)知，VCMF WFHG11HG MF -CH BH 22當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn) G與點(diǎn)B重合，此時(shí)N為BH的中點(diǎn)點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)即為圖中 NG的長(zhǎng)AC BC 4, CD 2, DF 1，fg FC J5NG8.已知 ACD 90, AC D

18、C, MN是過點(diǎn)A的直線，DB MN于點(diǎn)B(1)如圖 1,求：bd ab >/3cb；(2)當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖(2)和圖(3)兩個(gè)位置時(shí)，猜想 BD、AB、CB滿足的關(guān)系式，并給予證明；(3)在MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) BCD 30 , BD J2時(shí)，則CD , CB 解析:19(1)證明：如圖1,過點(diǎn)C作CE CB,交MN于點(diǎn)EACB ACE 90 , ACB BCD 90ACE BCD四邊形ACDB內(nèi)角和為360D CAB 180EAC CAB 180 , EAC D又 AC DC , VACEVDCBAE DB , CE CB VECB為等腰直角三角形BE2CB又 BE AE

19、 AB， BE BD ABBD AB，2cB.2CB(2)圖2 中，AB BD J2CB；圖3 中，BD AB證明：如圖2,過點(diǎn)C作CE CB,交MN于“ACB ACE 90 , ACB BCDACE BCDACD ABD 90 , EAC D又 AC DC , VACEVDCBAE DB，CE CB VECB為等腰直角三角形E90BE 2cB又 BE AB AE, BE AB BDAB BD J2CB如圖3,過點(diǎn)C作CE CB ,交MN于點(diǎn)EACBACE 90 ACB, BCD 90ACE BCD. ABD ACD 90 , EAC D又 AC DC , . VACEVDCBAE DB ,

20、CE CBVECB為等腰直角三角形BE 2cB又 BE AE AB, BE BD ABBD AB . 2CB cd 2, cb 73 i或73 i提示：過點(diǎn)C作CE CB ,交MN于點(diǎn)E，連接AD，VACD和VECB都是等腰直角三角形CAD CEB 45VACEWDCB,ACE BCD 30當(dāng)C、D兩點(diǎn)在直線MN異側(cè)時(shí)則 EAC 15 , BAD 30BD E AE BD 72, AD 2豉，AB 76CD 2AB BD >/2CB ； 76 6 V2CBCB 3 1當(dāng)C、D兩點(diǎn)在直線MN同側(cè)時(shí)ABC ADC 45 , . BAD BCD 30BD 萬 AE BD 短，AD 2應(yīng)，AB

21、娓CD 2BD AB 72cb ,四娓 2ccbCB .3 19.在YABCD中，過點(diǎn)C作CE CD交AD于點(diǎn)E，將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EF （如 圖1）.（1）在圖1中畫圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)（P不與C點(diǎn)重合）時(shí)，連結(jié)EP,將線段EP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EG1 ,判斷直線FG1與直線CD的位置關(guān)系并加以證明；當(dāng)Pc為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連ZER,將線段EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EGc ,判斷直線G1G2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.一 一4若AD 6, tanB AE 1,在的條件下，設(shè) CP1 x, Svrfg1y,求y

22、與x之間的函數(shù)關(guān)31 1系式，并寫出自變量 x的取值范圍.解析：（1）直線FG1與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.證明：如圖，設(shè)直線 FG1與直線CD的交點(diǎn)為H .二線段EC、EP分別繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90依次得到線段 EF、EG1.PEGi CEF 90 , EGi EP, EF EC .G1EF 90REF , PEC 90 PEF .G1EFPEC , VG1EFWPEC .GiFEPCE 90 , . EFH 90 , . FHC 90 .FGi CD.圖】按題目要求所畫圖形見圖1,直線G1G2與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.(2)四邊形ABCD是平行四邊形，B ADC .254AD 6,

23、 AE 1, tanB -.34DE 5, tan EDC tanB -.3可彳導(dǎo)CE 4由（1）可得四邊形FECH為正方形CH CE 4圖2如圖2,當(dāng)p點(diǎn)在線段CH的延長(zhǎng)線上時(shí)QVGiEFWREC （已證）FG1 CP xQ四邊形ABCD為平行四邊形B DQ AE 1, AD 6,ED 54又Q tan B -3EC 4Q 四邊形 EFHC 中 CEF 90 , EOD 90 , FDH 90 且 EF EC四邊形EFHC為正方形CH EC 4PH CP CH x 4.-SVP1 FG11 - FG1 P1H21 x(x 4)2ix1 2 2x33如圖3,當(dāng)P點(diǎn)在線段CH上（不與C、1 2-x 2x(x 4)2x( x> 4)H兩點(diǎn)重合）時(shí)FG1 CP x, PH 4 x.八1 一，1 一、12八SVPiFGi2FG1 PH2x(4X)2x2x-1 2或 y -x 2x(0vxv4)CE上,10.在VABC中，AB AC, D為BC中點(diǎn)，CE為AB邊的高，點(diǎn) M在AB邊上，點(diǎn)N在線段 且 DM DN .(1)如圖i,當(dāng) B 45時(shí)，線段 AM與CN的數(shù)量關(guān)系為 ;(2)如圖 2,當(dāng) B 30 時(shí)，求證：me cn 1AB；32(3)如圖3,在(2)的條件下，將射線 dm繞點(diǎn)d順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30 ,交AC邊于點(diǎn)F ,連接MF若BM:CN 5: