中考專題復(fù)習(xí)解直角三角形的應(yīng)用

1、解解 直直 角角 三三 角角 形形 的的 應(yīng)應(yīng) 用用中考專題復(fù)習(xí)中考專題復(fù)習(xí) 一、利用解直角三角形的知識來解決實際應(yīng)用問題，是一、利用解直角三角形的知識來解決實際應(yīng)用問題，是中考的一大類型題，主要涉及測量、航空、航海、工程等中考的一大類型題，主要涉及測量、航空、航海、工程等領(lǐng)域，解答好此類問題要先理解以下幾個概念：領(lǐng)域，解答好此類問題要先理解以下幾個概念： 1 仰角、俯角；仰角、俯角； 2 方向角；方向角； 3 坡角、坡度；坡角、坡度； 4 水平距離、垂直距離等。水平距離、垂直距離等。 再依據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)條件求解。再依據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)條件求解。 二、解實際問題常用的兩種思維方法：

2、二、解實際問題常用的兩種思維方法： （1）切割法：把圖形分成一個或幾個直角三角形與）切割法：把圖形分成一個或幾個直角三角形與 其他特殊圖形的組合；其他特殊圖形的組合； （2）粘補(bǔ)法：此方法大都通過延長線段來實現(xiàn)。）粘補(bǔ)法：此方法大都通過延長線段來實現(xiàn)。D15例例1 1 （2002年四川省中考題）要求年四川省中考題）要求tan30的值，可構(gòu)造如的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計算：作圖所示的直角三角形進(jìn)行計算：作RtABC，使，使C=90，斜邊斜邊AB=2，直角邊，直角邊AC=1，那么，那么BC= ，tan30= . 在此圖基礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)在此圖基礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可求出的輔助

3、線，可求出tan15的值。的值。請簡要寫出你添加的輔助線和求出的請簡要寫出你添加的輔助線和求出的tan15的值。的值。 33331BCACACB1230解：延長解：延長CB至至D，使，使BD=AB，連結(jié)，連結(jié)AD，則，則D=15，tan15= 。32DCACACB1230DExx132332例例2 2 （2002年河北省中考題）年河北省中考題）如圖，某建筑物如圖，某建筑物BC直立于水直立于水平地面，平地面，AC=9米要建造階梯米要建造階梯AB，使每階高不超過，使每階高不超過20厘米，厘米，則此階梯最少要建則此階梯最少要建 階（最后一階的高不足階（最后一階的高不足20厘米時，厘米時，按一階計算；

4、按一階計算； 取取1.732） 3ACB30解：在解：在RtACB中，中，C=90， BC=ACtan30=9 =3 =5.196 此階梯的階數(shù)此階梯的階數(shù)= 26（階）。（階）。 故填上故填上26。 2 . 0196. 53339米米AOFBC例例3 3 （2002年福州市中考題）某市在年福州市中考題）某市在“舊城改造舊城改造”中計劃在市中計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（元，則購買這種草皮至少需要（ ） A、450a元元 B、225a元

5、元 C、150a元元 D、300a元元 h30米20米150解：如圖所示，作出此三角形的高解：如圖所示，作出此三角形的高h(yuǎn)。 則則S= 3020sin（180150） = 3020 =150（平方米）（平方米） 購買這種草皮至少需要購買這種草皮至少需要150a元。故選（元。故選（C）。）。212121ABCD例例4 （濟(jì)南市（濟(jì)南市2002年中考題）在生活中需測量一些球（如足球、年中考題）在生活中需測量一些球（如足球、籃球籃球）的直徑）的直徑.某校研究性學(xué)習(xí)小組，通過實驗發(fā)現(xiàn)下面某校研究性學(xué)習(xí)小組，通過實驗發(fā)現(xiàn)下面測量方法：如圖將球放在水平的桌面上，在陽光的斜射下，得測量方法：如圖將球放在水平

6、的桌面上，在陽光的斜射下，得到球的影子到球的影子AB，設(shè)光線，設(shè)光線DA、CB分別與球相切于點分別與球相切于點E、F，則，則EF即為球的直徑，若測得即為球的直徑，若測得AB的長為的長為41.5cm， ABC=37.請請你計算出球的直徑你計算出球的直徑. (精確到精確到1cm,可用數(shù)可用數(shù)據(jù)據(jù):sin37=0.6,cos37=0.8).DEFACB37G解：過解：過A作作AG CB,垂足為垂足為G,則則AG=EF.在在Rt ABG中中, sinB B= = ,AG=ABsinB=41.5sin37=41.5 0.6=24.9 25(cm),即即EF 25cm.答：球的直徑約為答：球的直徑約為25

7、cm.ABAG例例5 5 （2002年黑龍江省哈爾濱市中考題）為了申辦年黑龍江省哈爾濱市中考題）為了申辦2010年冬年冬奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況。在大直街拓寬工程中，奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況。在大直街拓寬工程中，要伐掉一棵樹要伐掉一棵樹AB，在地面上事先劃定以，在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與為圓心，半徑與AB等長的圓形危險區(qū)?，F(xiàn)在某工人站在離等長的圓形危險區(qū)?，F(xiàn)在某工人站在離B點點3米遠(yuǎn)的米遠(yuǎn)的D處測得處測得樹的頂端樹的頂端A點的仰角為點的仰角為60，樹的底部，樹的底部B點的俯角為點的俯角為30。問。問距離距離 B點點8米遠(yuǎn)的保護(hù)物是否在危險區(qū)內(nèi)？米遠(yuǎn)的保護(hù)物是否在危險區(qū)內(nèi)？C

8、DBE3060A73. 13 解：過點解：過點C作作CE AB于于E.在在RtCBE中中,tan30=BE=CE tan30=在在RtCAE中中,tan60=AE=CE tan60=AB=AE+EB= 6.92(米）米） 8(米）米）距離距離 B點點8米遠(yuǎn)的保護(hù)物不在危險區(qū)米遠(yuǎn)的保護(hù)物不在危險區(qū).333CEBECEAE34若這艘輪船自若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在處按原速度繼續(xù)航行，在途中會不會遇到臺風(fēng)？若會，試求輪船最途中會不會遇到臺風(fēng)？若會，試求輪船最初遇到臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由。初遇到臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由。輪船自輪船自A處立即提高船速，向位于東偏北處立即提高船速，

9、向位于東偏北30方向，相距方向，相距60里的里的D港駛?cè)?。為使臺風(fēng)港駛?cè)?。為使臺風(fēng)到來之前到達(dá)到來之前到達(dá)D港，問船速至少應(yīng)提高多少？港，問船速至少應(yīng)提高多少？（提高的船速取整數(shù)，（提高的船速取整數(shù)， ）？）？ 北北東東DAB30例例6 如圖所示，一艘輪船以如圖所示，一艘輪船以20里里/時的速度由西向東航行，途中時的速度由西向東航行，途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中心正以接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中心正以40里里/時的速度由南向北移動，距時的速度由南向北移動，距臺風(fēng)中心臺風(fēng)中心20 里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風(fēng)區(qū)。當(dāng)輪船里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風(fēng)區(qū)。當(dāng)輪船到到A處時，測得臺風(fēng)中心移到位于點處時，測得

10、臺風(fēng)中心移到位于點A正南方向正南方向B處，且處，且AB=100里。里。106 . 313 解題點撥：解題點撥：（1）假設(shè)會遇到臺風(fēng)，設(shè)最初遇到臺風(fēng)時間為）假設(shè)會遇到臺風(fēng)，設(shè)最初遇到臺風(fēng)時間為t小時，此時，輪船在小時，此時，輪船在C處，臺風(fēng)中心到達(dá)處，臺風(fēng)中心到達(dá)E處（如圖），則處（如圖），則有有AC2+AE2=EC2，顯然，顯然，AC=20t里，里，AE=ABBE=10040t，EC=20 ，則（，則（20t）2+（10040t）2=(20 )2， 若若可求出可求出t，則會遇到臺風(fēng)，若不能求出，則會遇到臺風(fēng)，若不能求出t，則不會遇到臺風(fēng)。，則不會遇到臺風(fēng)。解：（解：（1）設(shè)途中會遇到臺風(fēng)，且最

11、初遇到臺風(fēng)的時間為）設(shè)途中會遇到臺風(fēng)，且最初遇到臺風(fēng)的時間為t小小時，此時輪船位于時，此時輪船位于C處，臺風(fēng)中心移到處，臺風(fēng)中心移到E處，連結(jié)處，連結(jié)CE，則有，則有AC=20t，AE=10040t，EC=20 ，在，在RtAEC中，由勾中，由勾股定理，得股定理，得(20t)2+(10040t)2=(20 )2，整理，得整理，得t24t+3=0 =（4）2413=40, 途中會遇到臺風(fēng)。途中會遇到臺風(fēng)。 解解得，得，t1=1,t2=3 最初遇到臺風(fēng)的時間為最初遇到臺風(fēng)的時間為1小時。小時。10101010ACEB北北南南西西東東解題點撥：解題點撥： 先求出臺風(fēng)抵達(dá)先求出臺風(fēng)抵達(dá)D港的時間港的時

12、間t t，因，因AD=60，則，則6060 t=t=提高后的船速，減去原來的船速，就是應(yīng)提高的速度。提高后的船速，減去原來的船速，就是應(yīng)提高的速度。 解：解： 設(shè)臺風(fēng)抵達(dá)設(shè)臺風(fēng)抵達(dá)D港時間為港時間為t小時，此時臺風(fēng)中心至小時，此時臺風(fēng)中心至M點。點。 過過D作作DFAB，垂足為，垂足為F，連結(jié)，連結(jié)DM。 在在RtADF中，中，AD=60，F(xiàn)AD=60 DF=30 ，F(xiàn)A=30 又又FM=FA+ABBM=13040t，MD=20 （30 ）2+（13040t）2=(20 )2 整理，得整理，得4t2-26t+39=0 解之，得解之，得 臺風(fēng)抵達(dá)臺風(fēng)抵達(dá)D港的時間為港的時間為 小時。小時。 輪船

13、從輪船從A處用處用 小時到達(dá)小時到達(dá)D港的速度為港的速度為60 25.5。為使臺風(fēng)抵達(dá)為使臺風(fēng)抵達(dá)D D港之前輪船到港之前輪船到D D港，輪船至少應(yīng)提速港，輪船至少應(yīng)提速6 6里里/ /時。時。 341313t ,41313t21310131341313413134DAMB30北北東東10F例例7 7 如圖，公路如圖，公路MN和公路和公路PQ在點在點P處交會，且處交會，且QPN=30，點點A處有處有一所中學(xué)，一所中學(xué)，AP=160米，（米，（1 1）假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周）假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么拖拉機(jī)在公路米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿上沿P

14、N方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由（方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由（2 2）如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18千米千米/時，那么學(xué)校受影響時，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？的時間為多少秒？ 解題點撥解題點撥 （1） 作作ABMN于于B，求，求出出AB，若，若AB100米，則受影響，若米，則受影響，若AB100米，則不受影響米，則不受影響. .PQMNAB30160解解（1）作作ABMN，B為垂足。為垂足。 在在RtABP中中 ABP=90，APB=30， AP=160米，米， AB= AP=80米米 點點A到直線到直線MN的距離小于的

15、距離小于100米。米。 這所中學(xué)會受到噪聲的影響。這所中學(xué)會受到噪聲的影響。21MPQNACDB（2）如圖，如果以點）如圖，如果以點A為圓心，為圓心，100米為半徑畫圓，那么米為半徑畫圓，那么圓圓A和直線和直線MN有兩個交點，設(shè)交點分別為有兩個交點，設(shè)交點分別為C、D，連結(jié)，連結(jié)AC、AD，那么，那么AC=AD=100（米）。（米）。 根據(jù)勾股定理和垂徑定理，根據(jù)勾股定理和垂徑定理，CB=DB = =60（米），（米）， CD=120（米）（米） 學(xué)校受噪聲影響的時間學(xué)校受噪聲影響的時間t=120米米18千米千米/時時= 時時=24秒。秒。 2280100 1150解題點撥解題點撥 （2 2）

16、 既然受影響，既然受影響，怎樣求受影響的時間呢？因拖拉怎樣求受影響的時間呢？因拖拉機(jī)速度已知，故應(yīng)求學(xué)校在受噪機(jī)速度已知，故應(yīng)求學(xué)校在受噪聲影響時拖拉機(jī)行駛的路程，即聲影響時拖拉機(jī)行駛的路程，即以以A為圓心，為圓心，100米為半徑畫圓米為半徑畫圓A，則則A交交MN于于C、D兩點，弦兩點，弦CD的長為所求的路程，用垂徑定理的長為所求的路程，用垂徑定理可求可求CD。小結(jié)：小結(jié)：1、將實際問題經(jīng)提煉數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模、將實際問題經(jīng)提煉數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模 型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。2、設(shè)法尋找或構(gòu)造可解的直角三角形，尤其、設(shè)法尋找或構(gòu)造可解的直角三角形，尤其 是對于一些非直角三角形圖形，

17、必須添加是對于一些非直角三角形圖形，必須添加 適當(dāng)?shù)妮o助線，才能轉(zhuǎn)化為直角三角形的適當(dāng)?shù)妮o助線，才能轉(zhuǎn)化為直角三角形的 問題來解決。問題來解決。作業(yè)作業(yè)：如圖，有一位同學(xué)用一個有如圖，有一位同學(xué)用一個有30角的直角三角板估測他們學(xué)角的直角三角板估測他們學(xué)校的旗桿校的旗桿AB的高度，他將的高度，他將30角的直角邊水平放在角的直角邊水平放在1.3米高米高的支架的支架CD上，三角板的斜邊與旗桿的頂點在同一直線上，上，三角板的斜邊與旗桿的頂點在同一直線上，他又量得他又量得D、B的距離為的距離為15米。米。 （1）試求旗桿）試求旗桿AB的高度（精確到的高度（精確到0.1米，米， ）；）； （2）請你設(shè)計

18、出一種更簡便的估測方法。）請你設(shè)計出一種更簡便的估測方法。 732. 13 30CDBEA （2002年南京市中考題）如圖，客輪沿折線年南京市中考題）如圖，客輪沿折線ABC，從，從A出出發(fā)經(jīng)發(fā)經(jīng)B再到再到C勻速直線航行，將一批物品送達(dá)客輪。兩船同時起勻速直線航行，將一批物品送達(dá)客輪。兩船同時起航，并同時到達(dá)折線航，并同時到達(dá)折線ABC上的某點上的某點E處，已知處，已知AB=BC=200海里，海里，ABC=90，客輪速度是貨輪速度的，客輪速度是貨輪速度的2倍。倍。 選擇：兩船相遇之處選擇：兩船相遇之處E點（點（ ） （A）在線段）在線段AB上上 （B）在線段）在線段BC上上 求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里?(結(jié)果保留根號結(jié)果保留根號)ABCD祝同學(xué)們學(xué)習(xí)進(jìn)步！祝同學(xué)