高數(shù)函數(shù)與極限

1、授課時間： 20 年9月 日 使用班級： 授課時間： 20 年9月 日 使用班級： 授課章節(jié)名稱：第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)第1節(jié) 函數(shù)（二）、第2節(jié) 極限教學目的：1.理解復合函數(shù)的定義及復合過程，分段函數(shù)的定義及表示方法，極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念；2.熟練掌握和時f(x)的極限存在的充要條件；3.理解無窮大、無窮小的概念；4.掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質(zhì)，會用無窮小量的性質(zhì)求教學重點：1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的概念，求極限的方法；2. 無窮大量與無窮小量的概念及性質(zhì).教學難點：1.函數(shù)極限的定義；2.無窮大量與無窮小量的概念和性質(zhì)及其應用。教學方法：講授，啟發(fā)式、講練

2、結(jié)合教學手段：傳統(tǒng)講授。作業(yè)：層次1：書16頁1、2（1）（2）、4、6層次2：書16頁5、7教案實施效果追記：（手書）第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)第1節(jié) 函數(shù)（二）、第2節(jié) 極限復習及課題引入（時間：5分鐘）：1、作業(yè)題處理；2、復習函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及基本初等函數(shù)的相關(guān)知識點。講授新內(nèi)容一、函數(shù)的概念（二）（時間：15分鐘）1、復合函數(shù)：【引例】（公司員工問題）某公司員工的工資占公司利潤的若干比例，而公司的利潤又取決于所銷售的商品的數(shù)量，因此，該公司員工的工資由所銷售商品的數(shù)量決定。定義7設,其中,且函數(shù)的值域包含在函數(shù)的定義域內(nèi),則稱為由與復合而成的復合函數(shù),其中稱為中間變量.例如，可復合成.

3、注意：、并不是任意兩個函數(shù)都能構(gòu)成復合函數(shù).如，和就不能構(gòu)成復合函數(shù)。因為對函數(shù)而言，必須要求變量，而，所以對任何的值，都得不到確定的對應值。、利用復合函數(shù)不僅能將若干個簡單的函數(shù)復合成一個函數(shù)，還可以把一個較復雜的函數(shù)分解成幾個簡單的函數(shù)，這對于今后掌握微積分的運算時很重要的。例4、將下列復合函數(shù)進行分解.(1); (2).解 (1)是由,復合而成的.(2)是由,復合而成的.2、初等函數(shù)：定義8：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復合步驟所構(gòu)成并用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).例如：，等都是初等函數(shù)。3、分段函數(shù)：定義9：在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子表示的函數(shù)，

4、稱為分段函數(shù).注:(1)分段函數(shù)仍舊是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集. (2)分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).除例如：符號函數(shù)： 就是一個分段函數(shù)，其定義域為。例5、設，求及函數(shù)的定義域。解：，函數(shù)的定義域為。二、極限概念：（時間：10分鐘）【引例】：中國古代哲學家莊周在莊子天下篇中引述惠施的話：“一尺之錘，日取一半，萬世不竭?！蔽觯哼@句話的意思是指一尺的木棒，第一天取它的一半，即尺，；第二天再取剩下的一半，即尺；第三天再取第二天剩下的一半，即尺；這樣一天天地去下去，而木棒是永遠也取不完的。盡管木棒永遠也取不完，可到了一定的時候，還能看得見嗎？看不見意味著什么？不就

5、是快沒了嗎？終極的時候，就近乎沒有了。它的終極狀態(tài)就趨于零?！緲O限概念引出】事實上，假設木棒為一個單位長，用表示第天截取之后所剩下的長度，可得，這樣構(gòu)成一列有次序的數(shù)。設想無限增大（記為），在這個過程中，無限接近于一個確定的數(shù)值（零），這個確定的數(shù)值在數(shù)學上稱為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列），當時的極限。復習(高中知識)：數(shù)列的概念、通項概念數(shù)列就是按照一定順序排列成的一列數(shù)，一般記為，簡記為，其中稱為數(shù)列的通項。例如，數(shù)列1,2,3,4,5，的通項是，可以記為；數(shù)列的通項是，可以記為；數(shù)列,的通項是，可以記為。數(shù)列也可看成自變量為正整數(shù)的函數(shù)：，其定義域是全體正整數(shù)，當自變量依次取1,2,3

6、,，一切正整數(shù)時，對應的函數(shù)值就排列成數(shù)列。2、（極限概念）定義10：（教學方法：板書）對于數(shù)列,若當無限增大時,通項無限接近于某個確定的常數(shù),則常數(shù)稱為數(shù)列的極限,此時也稱數(shù)列收斂于,記為或若數(shù)列的極限不存在,則稱數(shù)列發(fā)散.注意：數(shù)列極限是個動態(tài)概念，是變量無線運動漸進變化的過程，是一個變量（項數(shù)為）無線運動的同時另一個變量（對應的通項）無限接近于某一個確定常數(shù)的過程，這個常數(shù)（極限）是這個無線運動變化的最終趨勢。（根據(jù)函數(shù)關(guān)系的定義，引出數(shù)列是特殊的函數(shù)這個概念）例1、（畫數(shù)軸數(shù)形結(jié)合思想）（1）；（2）；（3）；解：當時，數(shù)列（1）的通項越來越接近于常數(shù)1；而數(shù)列（2）的通項越來越接近于

7、常數(shù)0，數(shù)列（3）的通項在-1與1之間交替出現(xiàn)而不趨于任何確定的常數(shù)，所以，（1）；（2）；（3）不存在。（析：從數(shù)軸上標出一些點，來說明數(shù)列無限運動變化的最終趨勢）三、函數(shù)的極限（時間：20分鐘）數(shù)列是一種特殊形式的函數(shù)，把數(shù)列的極限推廣可得到函數(shù)的極限。根據(jù)自變量的變化過程，分兩種情況討論。1、時函數(shù)的極限（教學方法：講解）（7分鐘）【引例】（設備折舊問題）某高校為進行以工作過程為導向的課程教學，購置一批數(shù)控機床為教學設備，投資額是100萬元，每年的折舊費為這批數(shù)控機床賬面價格（即以前各年折舊費用提取后余下的價格），那么這批數(shù)控機床的賬面價格（單位：萬元）第一年為100，第二年為100*，

8、第三年為100*，第四年為100*，,第年為100*，那么，當無限增大時，該批數(shù)控機床的賬面價格如何變化？顯然，從它的變化趨勢可以看出，隨著年數(shù)的無限增大時，賬面價格無限接近于0.引例反映了一個特點：當自變量逐漸增大時，相應的函數(shù)值逐漸接近于一個確定的常數(shù)。為此給出下面定義。定義11：函數(shù) 在 內(nèi)有定義，若 無限增大時，相應的函數(shù)值 無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱函數(shù) 以A為極限。記為=A或A（ ）.若當 （或 ）時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)A，記為=A或=A.例如， （畫出圖形解釋）不難證明，函數(shù) 在 時的極限與在，時的極限有以下關(guān)系。定理1： 例2、（書16頁3）討論 是否存在。（根

9、據(jù)函數(shù)圖像觀察）2、時函數(shù)的極限（13分鐘）（1）鄰域概念：設且,則開區(qū)間稱為點的鄰域,記為，即.點稱為這鄰域的中心，稱為這鄰域的半徑.有時用到的領域需要把領域的中心去掉。點的領域去掉中心后，稱為點的去心鄰域，記為，即為了方便，有時把開區(qū)間稱為的左領域，把開區(qū)間稱為的右鄰域。（2）舉例說明： 時，函數(shù)無限接近于多少？（書13頁圖像）觀察：當：時， ，無限接近2當：時， ，無限接近2f(x)在x=1有定義，g(x)在x=1處無定義定義12：如果當時,函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)A, 則稱A為函數(shù)當時的極限,記作 或 (當時).此時也稱存在。如果當時, 函數(shù)不趨近于任何一個確定的常數(shù),則稱不存在。

10、注意：1.函數(shù)當 x x時的極限是否存在，與在點處是否有定義無關(guān).（如上例）2.若函數(shù)極限存在，則極限值必唯一。 （唯一性）1、 單側(cè)極限：（10分鐘）在討論當 時函數(shù) 的極限問題中，對的過程，若限制或，便出現(xiàn)了單側(cè)極限的概念。定義13：設在 的某左（或右） 鄰域內(nèi)有定義，當自變量 從的左（或右）側(cè)無限接近于時，函數(shù)的值無限接近于某一確定的常數(shù)A，則稱A為 時函數(shù) 的左（或右）極限，記為=A（或=A）.函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)極限。顯然，下面結(jié)論成立。定理2：例3 設 ，求 并討論解：因為， ，又因為由定理2可知，不存在。（畫出圖像書14頁圖1-6）練習：判斷函數(shù) 在點是否存在極限

11、？（講授方法：數(shù)形結(jié)合，作圖板演）四、無窮大量與無窮小量（時間：32分鐘）1、無窮小量的定義：【洗滌效果】在用洗衣機清洗衣物時，清洗次數(shù)越多，衣物上殘留的污漬就越少。當洗滌次數(shù)無限增大時，衣物上的污漬趨于零。在對許多事物進行研究時，常遇到事物數(shù)量的變化趨勢為零。為此，給出如下定義。定義14：在自變量的某一變化過程中，極限為0的量稱為該變化過程的無窮小量，簡稱無窮??；例如：當時，是， (0)，1-cosx無窮?。划敃r，是無窮?。划敃r，是無窮小。注意：1、無窮小量不是很小的數(shù),它是一個極限的概念。2、數(shù)零是唯一可作為無窮小的常數(shù)。3、無窮小是個變量。2、無窮小量的性質(zhì)：性質(zhì)1、有限個無窮小量的代數(shù)

12、和是無窮小量。例如，當x0時， 是無窮小量；而無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小，如。性質(zhì)2、無窮小量與有界量之積是無窮小量。例如，當x0時， 是無窮小量；當 時， 是無窮小量。推輪1、任一常數(shù)與無窮小量之積是無窮小量。例如，當x0時， 是無窮小量。推論2、有限個無窮小量之積是無窮小量。（注：兩個無窮小之商未必是無窮小）3、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系：定理3 函數(shù)的充分必要條件是（其中）注意 定理3中，下面沒有標明自變量變化過程的記號“l(fā)im”是指自變量的變化過程可以是，中的任何一種。例如：，則，其中。又如，因為，而，所以。2、 無窮大量的定義：【本利核算】某人又本金A元，銀行存款年利率為,不考慮

13、個人所得稅，那么，此人第一年末的本利和為，第二年，本利和為，,第年末的本利和為，存款時間越長，本利和也無限增長。定義15：若（或）,則稱為當（或 ）時的無窮大量,簡稱無窮大。例如，=，所以當 時, 為無窮大；因為，所以 是當 時的無窮大. 注意：1.無窮大量不是一個很大的數(shù),它是極限的概念; 2.無窮大量的實質(zhì)是極限不存在,為了表示記作 或 .5、無窮小與無窮大的關(guān)系：定理4：在自變量的同一變化過程中，（1） 如果函數(shù) 是無窮小，且 ，則 是無窮大；（2） 如果函數(shù) 是無窮大，則 是無窮小。注意：（1）說一個函數(shù)時無窮?。o窮大）時，必須知名其自變量的變化趨勢。（2）便于描述無窮大的變化趨勢，我們把“是（或）時的無窮大”記為（或）。如當時，是無窮大，記作。課堂練習：書16頁，6小結(jié)（時間：3分鐘）：1、本次課講授了函數(shù)中，復合函數(shù)、初等函數(shù)以及分段函數(shù)的知識，函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相