雞兔同籠教師版

1、 雞兔同籠 第一部分：知識(shí)介紹雞兔同籠這個(gè)問題，是我國古代著名趣題之一大約在年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有個(gè)頭；從下面數(shù)，有只腳求籠中各有幾只雞和兔？ 你會(huì)解答這個(gè)問題嗎？你想知道孫子算經(jīng)中是如何解答這個(gè)問題的嗎？ 解雞兔同籠的基本步驟1.砍足法（金雞獨(dú)立）：解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多。因此，

2、腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差，就是兔子的只數(shù)，即（只）顯然，雞的只數(shù)就是（只）了。 這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已。除此之外，還有“雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路“假設(shè)法”。2.假設(shè)法：假設(shè)法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設(shè)法能做到，假設(shè)里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到。解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：如果假設(shè)全是兔，那么則有： 雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假設(shè)全是雞，那么就有： 兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的

3、腳數(shù)） 雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)3.雞兔關(guān)系：當(dāng)頭數(shù)一樣時(shí)，腳的關(guān)系：兔是雞的2倍；當(dāng)腳數(shù)一樣時(shí)，頭的關(guān)系：雞是兔的2倍。在學(xué)習(xí)的過程中，注重假設(shè)法的運(yùn)用，滲透假設(shè)法的重要性，在以后的專題中，如工程、行程、方程等專題中也都會(huì)接觸到假設(shè)法。第二部分：例題精講【例 1】雞兔同籠，頭共，足共，雞兔各幾只？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)只都是兔，一共應(yīng)有（只）腳，這和已知的只腳相比多了（只）腳，這是因?yàn)槲覀儼央u當(dāng)成了兔子，如果把只雞當(dāng)成只兔，就要比實(shí)際多（只）腳，那么只腳是我們把（只）雞當(dāng)成了兔子，所以雞的只數(shù)就是，兔的只數(shù)是（只）?！敬鸢浮侩u28只，兔18只【例 2】動(dòng)物園里有一群鴕鳥和大象,它們共有只眼

4、睛和只腳，問：鴕鳥和大象各有 多少？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】由于每只動(dòng)物有兩只眼睛，由題意知：動(dòng)物園里鴕鳥和大象總數(shù)為：（只），假設(shè)鴕鳥和大象一樣也有只腳，則應(yīng)該有（只）腳，多了（只）腳，由假設(shè)引起的差值：（只），則鴕鳥數(shù)為（只），大象數(shù)為（頭）?！敬鸢浮盔r鳥10只，大象8頭【例 3】動(dòng)物園里養(yǎng)了一些梅花鹿和鴕鳥，共有腳只，鴕鳥比梅花鹿多只，梅花鹿 和鴕鳥各有多少只？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)梅花鹿和鴕鳥的只數(shù)相同，則從總腳數(shù)中減去鴕鳥多的只的腳數(shù)得：(只)。這只腳是梅花鹿的腳數(shù)和鴕鳥的腳數(shù)(注意此時(shí)梅花鹿和鴕鳥的只數(shù)相同)腳數(shù)的和，一只梅花鹿和一只鴕鳥的腳數(shù)和是：(只)，所以梅花鹿的只數(shù)是

5、：(只)，從而鴕鳥的只數(shù)是：(只) 【答案】鴕鳥48只，梅花鹿28只【例 4】一個(gè)養(yǎng)殖園內(nèi)，雞比兔多36只，共有腳792只，雞兔各幾只？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】已知雞比兔多36只，如果把多的36只雞拿走，剩下的雞兔只數(shù)就相等了，拿走的36只雞有（只）腳，可知現(xiàn)在剩下（只）腳，一只雞與一只兔有6只腳，那么兔有（只），雞有（只）【答案】兔120只，雞156只【例 5】雞兔同籠，雞、兔共有只，兔的腳數(shù)比雞的腳數(shù)多只，問雞、兔各多少只？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】不妨假設(shè)只都是兔，沒有雞，那么就有兔腳：（只），而雞的腳數(shù)為零。這樣兔腳比雞腳多只，而實(shí)際上只多只，這說明假設(shè)的兔腳比雞腳多的數(shù)比實(shí)際上多：（只

6、）?，F(xiàn)在以雞換兔，每換一只，兔腳減少只，雞腳增加只，即兔腳與雞腳的總數(shù)差就會(huì)減少（只）。雞的只數(shù)：（只），兔的只數(shù)：（只）。 【答案】兔45只，雞62只【例 6】每只完整的螃蟹有2只鰲、8只腳?，F(xiàn)有一批螃蟹，共有25只鰲，120只腳。其中 可能有多少缺鰲少腳的，但每只螃蟹至少保留1只鰲、4只腳。這批螃蟹最多有 只，至少有 只。【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】若要螃蟹盡量多，那么螃蟹的鰲和腳要盡量少，光看鰲的話，鰲最少為1，螃蟹最多為25只，只看腳的話，腳最少為4，螃蟹最多為（只），所以螃蟹最多為25只，同理若要螃蟹盡量少，那么螃蟹的鰲和腳要盡量多，光看鰲的話，鰲最多為2，螃蟹最少為（只），只看腳的話，

7、腳最多為8，螃蟹最少為（只），所以螃蟹最少為13只?！敬鸢浮矿π纷疃嘤?5只，至少有13只 【例 7】在一個(gè)停車場(chǎng)上，現(xiàn)有車輛輛，其中汽車有個(gè)輪子，摩托車有個(gè)輪子，這些 車共有個(gè)輪子，那么三輪摩托車有多少輛？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)都是三輪摩托車，應(yīng)有(個(gè))輪子，少了(個(gè))輪子。每把一輛汽車假設(shè)為三輪摩托車，會(huì)減少(個(gè))輪子汽車有(輛)；從而求出三輪摩托車有(輛)，或者假設(shè)都是汽車，應(yīng)有(個(gè))輪子，多了(個(gè))輪子；所以摩托車有(輛)【答案】摩托車有37輛?！纠?8】（10年上外口試題）一張數(shù)學(xué)試卷，只有道選擇題做對(duì)一題得分，做錯(cuò)一題 倒扣分；如不做，不得分也不扣分。若小明得了分，那么他做對(duì)

8、 題，做 錯(cuò) 題，沒做 題。【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】這道題不是普通的雞兔同籠問題，需要尋找一些特殊的線索。小明得了分，而且只有做對(duì)了題目才能得分。，所以可以知道小明至少做對(duì)道題目，否則一定低于(分)；再假設(shè)他做對(duì)題，發(fā)現(xiàn)即使另外四題都錯(cuò)，小明仍然有(分)，超過了分，所以小明至多做對(duì)道題目；綜上，可以斷定小明做對(duì)了道題。至此本題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單雞兔同籠問題。假設(shè)剩下題全部沒做，那么小明應(yīng)得(分)。但是只得了分，說明又倒扣了分，說明錯(cuò)了道題，道題沒做。所以小明做對(duì)了道題，做錯(cuò)了道題，沒做道題。【答案】小明做對(duì)了道題，做錯(cuò)了道題，沒做道題?！纠?9】大、小猴共只，它們一起去采摘水蜜桃。猴王不在時(shí)，一只大猴

9、一個(gè)小時(shí)可采 摘千克，一只小猴子一小時(shí)可摘千克；猴王在場(chǎng)監(jiān)督的時(shí)候，每只猴子不論 大小每小時(shí)都可以多采摘千克。一天，采摘了小時(shí)，其中第一小時(shí)和最后一小 時(shí)猴王在監(jiān)督，結(jié)果共采摘了千克水蜜桃。在猴群中，共有小猴子多少只？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】其實(shí)大猴子和小猴子就相當(dāng)于雞兔問題中的雞和兔。但是卻有猴王來搗亂，所以我們先讓猴王消失。一天中，猴王監(jiān)視了小時(shí)，假設(shè)猴王一直都不在，同猴王在時(shí)相比，每只猴子每小時(shí)都會(huì)少采千克，那樣猴群只能采摘(千克)；這是一天也就是小時(shí)的工作量，據(jù)此可以求出這群猴每小時(shí)采(千克)；假設(shè)都是大猴子，應(yīng)該每小時(shí)采摘(千克)，比實(shí)際多采了(千克)。而每只小猴子被假設(shè)成大猴子，會(huì)

10、多采(千克)。因此可以求出小猴子有：(只)?！敬鸢浮啃『镒佑?0只【例 10】箱子里紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的倍多只，每次從箱子里取出只 白球、只紅球如果經(jīng)過若干次以后，箱子里剩下只白球、只紅球那么 箱子里原有紅球多少只？ 【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)每次一起取只白球和只紅球，由于每次拿得紅球都是白球的倍，所以最后剩下的紅球數(shù)應(yīng)該剛好是白球數(shù)的倍多。由于每次取的白球和原定的一樣多，所以最后剩下的白球應(yīng)該不變，仍然是個(gè)。按照我們的假設(shè)，剩下的紅球應(yīng)該是白球的倍多，即(只)。但是實(shí)際上最后剩了只紅球，比假設(shè)多剩只，因?yàn)槊恳淮螌?shí)際取得與假設(shè)相比少只，所以可以知道一共取了(次)。所以可以知道原

11、來有紅球(只)。【答案】紅球有158只【例 11】有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動(dòng)物共18只，共有腿118條，翅膀20對(duì)(蜘蛛8條腿；蜻 蜓6條腿，兩對(duì)翅膀；蟬6條腿，一對(duì)翅膀)，求蜻蜓有多少只？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題。觀察數(shù)字特點(diǎn)，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿。因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù)。我們假設(shè)三種動(dòng)物都是6條腿，則總腿數(shù)為(條)，所差(條)，必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的。所以，應(yīng)有(只)蜘蛛。這樣剩下的(只)便是蜻蜓和蟬的只數(shù)。再從翅膀數(shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)(對(duì))，比實(shí)際數(shù)少 (對(duì))，這是由于蜻蜓有兩對(duì)翅膀，而我們只按一對(duì)翅膀

12、計(jì)算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求(只)?！敬鸢浮框唑延?只【例 12】從甲地至乙地全長45千米,有上坡路、平路、下坡路。李強(qiáng)上坡速度是每小 時(shí)3千米,平路上速度是每小時(shí)5千米,下坡速度是每小時(shí)6千米.從甲地到 乙地,李強(qiáng)行走了10小時(shí);從乙地到甲地,李強(qiáng)行走了11小時(shí).問從甲地到 乙地,各種路段分別是多少千米？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】把來回路程45×2=90(千米)算作全程。去時(shí)上坡,回來是下坡；去時(shí)下坡回來時(shí)上坡。把上坡和下坡合并成"一種"路程,平均速度是每小時(shí)4千米?，F(xiàn)在形成一個(gè)非常簡(jiǎn)單的"雞兔同籠"問題。因此平路所用時(shí)間是 (90-4×

13、;21)÷(5-4)=6(小時(shí))。單程平路行走時(shí)間是6÷2=3(小時(shí))。從甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小時(shí))行走路程是45-5×3=30(千米)。又是一個(gè)"雞兔同籠"問題。從甲地至乙地,上坡行走的時(shí)間是(6×7-30)÷(6-3)=4(小時(shí))。行走路程是3×4=12(千米)。下坡行走的時(shí)間是7-4=3(小時(shí))。行走路程是6×3=18(千米)?！敬鸢浮可掀?2千米，平路15千米，下坡18千米第三部分：課堂檢測(cè)【檢測(cè) 1】體育老師買了運(yùn)動(dòng)服上衣和褲子共件，共用了元，其中上衣每件元、 褲子每件元，問

14、老師買上衣和褲子各多少件？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)買的都是上衣，那么褲子的件數(shù)為：（件），上衣：（件）?！敬鸢浮可弦?件，褲子13件【檢測(cè) 2】某學(xué)校有30間宿舍，大宿舍每間住6人，小宿舍每間住4人已知這些宿舍中 共住了168人，那么其中有多少間大宿舍？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】如果30間都是小宿舍，那么只能住（人），而實(shí)際上住了168人。大宿舍比小宿舍每間多?。ㄈ耍源笏奚嵊校ㄩg）。【答案】大宿舍有24間【檢測(cè) 3】春風(fēng)小學(xué)3名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共10道題，答對(duì)一道題得10分，答錯(cuò)一道題 扣3分，這3名同學(xué)都回答了所有的題，小明得了87分，小紅得了74分，小華 得了9分，他們?nèi)艘还泊?/p>

15、對(duì)了_ 道題?！究键c(diǎn)】雞兔同籠【解析】三人共得(分)，比滿分(分)少(分) 因此三個(gè)人共做錯(cuò)：(道)題，一共答對(duì)了(道)題?！敬鸢浮恳还泊饘?duì)了20道題。 【檢測(cè) 4】某場(chǎng)足球賽賽前售出甲、乙、丙三類門票共400張，甲類票50元張，乙類票 40元/張，丙類票30元/張，共收入15500元，其中乙類、丙類門票張數(shù)相同 則甲類、乙類、丙類門票分別售出多少張?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】乙類、丙類門票張數(shù)相同，則可以看成價(jià)格為35元張的同一類門票。 容易得到甲類門票售出（張）， 乙類、丙類各售出(400 -100)÷2=150（張）。【答案】甲類售出100張，乙類售出150張，丙類售出150張第

16、四部分：家庭作業(yè)【作業(yè) 1】雞兔共有只，關(guān)在同一個(gè)籠子中，籠中共有條腿。試計(jì)算，籠中有雞多少 只？兔子多少只？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】若假設(shè)所有的只動(dòng)物都是兔子，那么一共應(yīng)該有(條)腿，比實(shí)際多算(條)腿。而每將一只雞算做一只兔子會(huì)多算兩條腿，所以有(只)雞被當(dāng)作了兔子，所以共有只雞，有(只)兔子?！敬鸢浮侩u40只，兔子18只【作業(yè) 2】100名學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐，高年級(jí)學(xué)生兩人一組，低年級(jí)學(xué)生三人一組，共有41 組。問：高、低年級(jí)學(xué)生各多少人?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】如全為高年級(jí)學(xué)生，則只需41×282（人），實(shí)際100人，1008218（人），所以有18組低年級(jí)學(xué)生，411823（

17、組）高年級(jí)學(xué)生，高年級(jí)學(xué)生為23×246（人），低年級(jí)學(xué)生為18×354（人）?！敬鸢浮扛吣昙?jí)46人，低年級(jí)54人【作業(yè) 3】某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有道題，每道題做對(duì)得分，沒做或做錯(cuò)都要扣分，小聰 得了分，他做對(duì)了多少道題？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】做錯(cuò) (道)，因此，做對(duì)的 (道)【答案】做對(duì)了17道【作業(yè) 4】個(gè)和尚個(gè)饃，大和尚人分個(gè)饃，小和尚人分個(gè)饃問：大、小和 尚各有多少人？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。假設(shè)人全是大和尚，那么共需饃個(gè)，比實(shí)際多(個(gè))?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變

18、，而饃就要減少(個(gè))，因?yàn)椋市『蜕?0人，大和尚 (人)?！敬鸢浮看蠛蜕?0人，小和尚70人【作業(yè) 5】現(xiàn)有大小油桶50個(gè)，每個(gè)大桶可裝油4千克，每個(gè)小桶可裝油2千克，大桶比 小桶共多裝油20千克，問大小桶各多少個(gè)?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)50個(gè)油桶都是大桶，則共裝油千克，而這小桶所裝油則為0。這樣大桶比小桶多裝200千克，比條件所給的差數(shù)多了（千克），若在50個(gè)大桶中把一部分大桶換成小桶，則每拿一個(gè)大桶換成小桶，大桶裝的油就減少4千克，而小桶共裝的油就增加2千克，那么大桶比小桶多裝的數(shù)量就減少（千克），所以小桶有：(個(gè))，大桶有：(個(gè))。【答案】大桶有20個(gè)，小桶有30個(gè) 【作業(yè) 6】

19、一份稿件,甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成,現(xiàn)在甲單獨(dú)打若 干小時(shí)后,因有事由乙接著打完,共用了7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)？【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)),甲每小時(shí)打30÷6=5(份),乙每小時(shí)打30÷10=3(份)?，F(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成"兔"頭數(shù),乙打字的時(shí)間看成"雞"頭數(shù),總頭數(shù)是7。"兔"的腳數(shù)是5,"雞"的腳數(shù)是3,總腳數(shù)是30,就把問題轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問題了。根據(jù)前面的公式"兔"數(shù)=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "雞"數(shù)=7-4.