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文檔簡(jiǎn)介
1、 雞兔同籠 第一部分:知識(shí)介紹雞兔同籠這個(gè)問題,是我國古代著名趣題之一大約在年前,孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問題。書中是這樣敘述的:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何?這四句話的意思是:有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里,從上面數(shù),有個(gè)頭;從下面數(shù),有只腳求籠中各有幾只雞和兔? 你會(huì)解答這個(gè)問題嗎?你想知道孫子算經(jīng)中是如何解答這個(gè)問題的嗎? 解雞兔同籠的基本步驟1.砍足法(金雞獨(dú)立):解答思路是這樣的:假如砍去每只雞、每只兔一半的腳,則每只雞就變成了“獨(dú)腳雞”,每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣,雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只;如果籠子里有一只兔子,則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多。因此,
2、腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差,就是兔子的只數(shù),即(只)顯然,雞的只數(shù)就是(只)了。 這一思路新穎而奇特,其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已。除此之外,還有“雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路“假設(shè)法”。2.假設(shè)法:假設(shè)法順口溜:雞兔同籠很奧妙,用假設(shè)法能做到,假設(shè)里面全是雞,算出共有幾只腳,和腳總數(shù)做比較,做差除二兔找到。解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是:如果假設(shè)全是兔,那么則有: 雞數(shù)=(每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù))÷(每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)) 兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假設(shè)全是雞,那么就有: 兔數(shù)=(實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù))÷(每只兔子腳數(shù)-每只雞的
3、腳數(shù)) 雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)3.雞兔關(guān)系:當(dāng)頭數(shù)一樣時(shí),腳的關(guān)系:兔是雞的2倍;當(dāng)腳數(shù)一樣時(shí),頭的關(guān)系:雞是兔的2倍。在學(xué)習(xí)的過程中,注重假設(shè)法的運(yùn)用,滲透假設(shè)法的重要性,在以后的專題中,如工程、行程、方程等專題中也都會(huì)接觸到假設(shè)法。第二部分:例題精講【例 1】雞兔同籠,頭共,足共,雞兔各幾只?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)只都是兔,一共應(yīng)有(只)腳,這和已知的只腳相比多了(只)腳,這是因?yàn)槲覀儼央u當(dāng)成了兔子,如果把只雞當(dāng)成只兔,就要比實(shí)際多(只)腳,那么只腳是我們把(只)雞當(dāng)成了兔子,所以雞的只數(shù)就是,兔的只數(shù)是(只)?!敬鸢浮侩u28只,兔18只【例 2】動(dòng)物園里有一群鴕鳥和大象,它們共有只眼
4、睛和只腳,問:鴕鳥和大象各有 多少?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】由于每只動(dòng)物有兩只眼睛,由題意知:動(dòng)物園里鴕鳥和大象總數(shù)為:(只),假設(shè)鴕鳥和大象一樣也有只腳,則應(yīng)該有(只)腳,多了(只)腳,由假設(shè)引起的差值:(只),則鴕鳥數(shù)為(只),大象數(shù)為(頭)?!敬鸢浮盔r鳥10只,大象8頭【例 3】動(dòng)物園里養(yǎng)了一些梅花鹿和鴕鳥,共有腳只,鴕鳥比梅花鹿多只,梅花鹿 和鴕鳥各有多少只?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)梅花鹿和鴕鳥的只數(shù)相同,則從總腳數(shù)中減去鴕鳥多的只的腳數(shù)得:(只)。這只腳是梅花鹿的腳數(shù)和鴕鳥的腳數(shù)(注意此時(shí)梅花鹿和鴕鳥的只數(shù)相同)腳數(shù)的和,一只梅花鹿和一只鴕鳥的腳數(shù)和是:(只),所以梅花鹿的只數(shù)是
5、:(只),從而鴕鳥的只數(shù)是:(只) 【答案】鴕鳥48只,梅花鹿28只【例 4】一個(gè)養(yǎng)殖園內(nèi),雞比兔多36只,共有腳792只,雞兔各幾只?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】已知雞比兔多36只,如果把多的36只雞拿走,剩下的雞兔只數(shù)就相等了,拿走的36只雞有(只)腳,可知現(xiàn)在剩下(只)腳,一只雞與一只兔有6只腳,那么兔有(只),雞有(只)【答案】兔120只,雞156只【例 5】雞兔同籠,雞、兔共有只,兔的腳數(shù)比雞的腳數(shù)多只,問雞、兔各多少只?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】不妨假設(shè)只都是兔,沒有雞,那么就有兔腳:(只),而雞的腳數(shù)為零。這樣兔腳比雞腳多只,而實(shí)際上只多只,這說明假設(shè)的兔腳比雞腳多的數(shù)比實(shí)際上多:(只
6、)?,F(xiàn)在以雞換兔,每換一只,兔腳減少只,雞腳增加只,即兔腳與雞腳的總數(shù)差就會(huì)減少(只)。雞的只數(shù):(只),兔的只數(shù):(只)。 【答案】兔45只,雞62只【例 6】每只完整的螃蟹有2只鰲、8只腳?,F(xiàn)有一批螃蟹,共有25只鰲,120只腳。其中 可能有多少缺鰲少腳的,但每只螃蟹至少保留1只鰲、4只腳。這批螃蟹最多有 只,至少有 只。【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】若要螃蟹盡量多,那么螃蟹的鰲和腳要盡量少,光看鰲的話,鰲最少為1,螃蟹最多為25只,只看腳的話,腳最少為4,螃蟹最多為(只),所以螃蟹最多為25只,同理若要螃蟹盡量少,那么螃蟹的鰲和腳要盡量多,光看鰲的話,鰲最多為2,螃蟹最少為(只),只看腳的話,
7、腳最多為8,螃蟹最少為(只),所以螃蟹最少為13只?!敬鸢浮矿π纷疃嘤?5只,至少有13只 【例 7】在一個(gè)停車場(chǎng)上,現(xiàn)有車輛輛,其中汽車有個(gè)輪子,摩托車有個(gè)輪子,這些 車共有個(gè)輪子,那么三輪摩托車有多少輛?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)都是三輪摩托車,應(yīng)有(個(gè))輪子,少了(個(gè))輪子。每把一輛汽車假設(shè)為三輪摩托車,會(huì)減少(個(gè))輪子汽車有(輛);從而求出三輪摩托車有(輛),或者假設(shè)都是汽車,應(yīng)有(個(gè))輪子,多了(個(gè))輪子;所以摩托車有(輛)【答案】摩托車有37輛?!纠?8】(10年上外口試題)一張數(shù)學(xué)試卷,只有道選擇題做對(duì)一題得分,做錯(cuò)一題 倒扣分;如不做,不得分也不扣分。若小明得了分,那么他做對(duì)
8、 題,做 錯(cuò) 題,沒做 題。【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】這道題不是普通的雞兔同籠問題,需要尋找一些特殊的線索。小明得了分,而且只有做對(duì)了題目才能得分。,所以可以知道小明至少做對(duì)道題目,否則一定低于(分);再假設(shè)他做對(duì)題,發(fā)現(xiàn)即使另外四題都錯(cuò),小明仍然有(分),超過了分,所以小明至多做對(duì)道題目;綜上,可以斷定小明做對(duì)了道題。至此本題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單雞兔同籠問題。假設(shè)剩下題全部沒做,那么小明應(yīng)得(分)。但是只得了分,說明又倒扣了分,說明錯(cuò)了道題,道題沒做。所以小明做對(duì)了道題,做錯(cuò)了道題,沒做道題。【答案】小明做對(duì)了道題,做錯(cuò)了道題,沒做道題?!纠?9】大、小猴共只,它們一起去采摘水蜜桃。猴王不在時(shí),一只大猴
9、一個(gè)小時(shí)可采 摘千克,一只小猴子一小時(shí)可摘千克;猴王在場(chǎng)監(jiān)督的時(shí)候,每只猴子不論 大小每小時(shí)都可以多采摘千克。一天,采摘了小時(shí),其中第一小時(shí)和最后一小 時(shí)猴王在監(jiān)督,結(jié)果共采摘了千克水蜜桃。在猴群中,共有小猴子多少只?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】其實(shí)大猴子和小猴子就相當(dāng)于雞兔問題中的雞和兔。但是卻有猴王來搗亂,所以我們先讓猴王消失。一天中,猴王監(jiān)視了小時(shí),假設(shè)猴王一直都不在,同猴王在時(shí)相比,每只猴子每小時(shí)都會(huì)少采千克,那樣猴群只能采摘(千克);這是一天也就是小時(shí)的工作量,據(jù)此可以求出這群猴每小時(shí)采(千克);假設(shè)都是大猴子,應(yīng)該每小時(shí)采摘(千克),比實(shí)際多采了(千克)。而每只小猴子被假設(shè)成大猴子,會(huì)
10、多采(千克)。因此可以求出小猴子有:(只)?!敬鸢浮啃『镒佑?0只【例 10】箱子里紅、白兩種玻璃球,紅球數(shù)是白球數(shù)的倍多只,每次從箱子里取出只 白球、只紅球如果經(jīng)過若干次以后,箱子里剩下只白球、只紅球那么 箱子里原有紅球多少只? 【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)每次一起取只白球和只紅球,由于每次拿得紅球都是白球的倍,所以最后剩下的紅球數(shù)應(yīng)該剛好是白球數(shù)的倍多。由于每次取的白球和原定的一樣多,所以最后剩下的白球應(yīng)該不變,仍然是個(gè)。按照我們的假設(shè),剩下的紅球應(yīng)該是白球的倍多,即(只)。但是實(shí)際上最后剩了只紅球,比假設(shè)多剩只,因?yàn)槊恳淮螌?shí)際取得與假設(shè)相比少只,所以可以知道一共取了(次)。所以可以知道原
11、來有紅球(只)。【答案】紅球有158只【例 11】有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動(dòng)物共18只,共有腿118條,翅膀20對(duì)(蜘蛛8條腿;蜻 蜓6條腿,兩對(duì)翅膀;蟬6條腿,一對(duì)翅膀),求蜻蜓有多少只?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題。觀察數(shù)字特點(diǎn),蜻蜓、蟬都是6條腿,只有蜘蛛8條腿。因此,可先從腿數(shù)入手,求出蜘蛛的只數(shù)。我們假設(shè)三種動(dòng)物都是6條腿,則總腿數(shù)為(條),所差(條),必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的。所以,應(yīng)有(只)蜘蛛。這樣剩下的(只)便是蜻蜓和蟬的只數(shù)。再從翅膀數(shù)入手,假設(shè)13只都是蟬,則總翅膀數(shù)(對(duì)),比實(shí)際數(shù)少 (對(duì)),這是由于蜻蜓有兩對(duì)翅膀,而我們只按一對(duì)翅膀
12、計(jì)算所差,這樣蜻蜓只數(shù)可求(只)?!敬鸢浮框唑延?只【例 12】從甲地至乙地全長45千米,有上坡路、平路、下坡路。李強(qiáng)上坡速度是每小 時(shí)3千米,平路上速度是每小時(shí)5千米,下坡速度是每小時(shí)6千米.從甲地到 乙地,李強(qiáng)行走了10小時(shí);從乙地到甲地,李強(qiáng)行走了11小時(shí).問從甲地到 乙地,各種路段分別是多少千米?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】把來回路程45×2=90(千米)算作全程。去時(shí)上坡,回來是下坡;去時(shí)下坡回來時(shí)上坡。把上坡和下坡合并成"一種"路程,平均速度是每小時(shí)4千米?,F(xiàn)在形成一個(gè)非常簡(jiǎn)單的"雞兔同籠"問題。因此平路所用時(shí)間是 (90-4×
13、;21)÷(5-4)=6(小時(shí))。單程平路行走時(shí)間是6÷2=3(小時(shí))。從甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小時(shí))行走路程是45-5×3=30(千米)。又是一個(gè)"雞兔同籠"問題。從甲地至乙地,上坡行走的時(shí)間是(6×7-30)÷(6-3)=4(小時(shí))。行走路程是3×4=12(千米)。下坡行走的時(shí)間是7-4=3(小時(shí))。行走路程是6×3=18(千米)?!敬鸢浮可掀?2千米,平路15千米,下坡18千米第三部分:課堂檢測(cè)【檢測(cè) 1】體育老師買了運(yùn)動(dòng)服上衣和褲子共件,共用了元,其中上衣每件元、 褲子每件元,問
14、老師買上衣和褲子各多少件?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)買的都是上衣,那么褲子的件數(shù)為:(件),上衣:(件)?!敬鸢浮可弦?件,褲子13件【檢測(cè) 2】某學(xué)校有30間宿舍,大宿舍每間住6人,小宿舍每間住4人已知這些宿舍中 共住了168人,那么其中有多少間大宿舍?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】如果30間都是小宿舍,那么只能住(人),而實(shí)際上住了168人。大宿舍比小宿舍每間多?。ㄈ耍源笏奚嵊校ㄩg)。【答案】大宿舍有24間【檢測(cè) 3】春風(fēng)小學(xué)3名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,共10道題,答對(duì)一道題得10分,答錯(cuò)一道題 扣3分,這3名同學(xué)都回答了所有的題,小明得了87分,小紅得了74分,小華 得了9分,他們?nèi)艘还泊?/p>
15、對(duì)了_ 道題?!究键c(diǎn)】雞兔同籠【解析】三人共得(分),比滿分(分)少(分) 因此三個(gè)人共做錯(cuò):(道)題,一共答對(duì)了(道)題?!敬鸢浮恳还泊饘?duì)了20道題。 【檢測(cè) 4】某場(chǎng)足球賽賽前售出甲、乙、丙三類門票共400張,甲類票50元張,乙類票 40元/張,丙類票30元/張,共收入15500元,其中乙類、丙類門票張數(shù)相同 則甲類、乙類、丙類門票分別售出多少張?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】乙類、丙類門票張數(shù)相同,則可以看成價(jià)格為35元張的同一類門票。 容易得到甲類門票售出(張), 乙類、丙類各售出(400 -100)÷2=150(張)。【答案】甲類售出100張,乙類售出150張,丙類售出150張第
16、四部分:家庭作業(yè)【作業(yè) 1】雞兔共有只,關(guān)在同一個(gè)籠子中,籠中共有條腿。試計(jì)算,籠中有雞多少 只?兔子多少只?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】若假設(shè)所有的只動(dòng)物都是兔子,那么一共應(yīng)該有(條)腿,比實(shí)際多算(條)腿。而每將一只雞算做一只兔子會(huì)多算兩條腿,所以有(只)雞被當(dāng)作了兔子,所以共有只雞,有(只)兔子?!敬鸢浮侩u40只,兔子18只【作業(yè) 2】100名學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐,高年級(jí)學(xué)生兩人一組,低年級(jí)學(xué)生三人一組,共有41 組。問:高、低年級(jí)學(xué)生各多少人?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】如全為高年級(jí)學(xué)生,則只需41×282(人),實(shí)際100人,1008218(人),所以有18組低年級(jí)學(xué)生,411823(
17、組)高年級(jí)學(xué)生,高年級(jí)學(xué)生為23×246(人),低年級(jí)學(xué)生為18×354(人)?!敬鸢浮扛吣昙?jí)46人,低年級(jí)54人【作業(yè) 3】某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽,共有道題,每道題做對(duì)得分,沒做或做錯(cuò)都要扣分,小聰 得了分,他做對(duì)了多少道題?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】做錯(cuò) (道),因此,做對(duì)的 (道)【答案】做對(duì)了17道【作業(yè) 4】個(gè)和尚個(gè)饃,大和尚人分個(gè)饃,小和尚人分個(gè)饃問:大、小和 尚各有多少人?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔,饃看作腿,那么就成了雞兔同籠問題,可以用假設(shè)法來解。假設(shè)人全是大和尚,那么共需饃個(gè),比實(shí)際多(個(gè))?,F(xiàn)在以小和尚去換大和尚,每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變
18、,而饃就要減少(個(gè)),因?yàn)椋市『蜕?0人,大和尚 (人)?!敬鸢浮看蠛蜕?0人,小和尚70人【作業(yè) 5】現(xiàn)有大小油桶50個(gè),每個(gè)大桶可裝油4千克,每個(gè)小桶可裝油2千克,大桶比 小桶共多裝油20千克,問大小桶各多少個(gè)?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】假設(shè)50個(gè)油桶都是大桶,則共裝油千克,而這小桶所裝油則為0。這樣大桶比小桶多裝200千克,比條件所給的差數(shù)多了(千克),若在50個(gè)大桶中把一部分大桶換成小桶,則每拿一個(gè)大桶換成小桶,大桶裝的油就減少4千克,而小桶共裝的油就增加2千克,那么大桶比小桶多裝的數(shù)量就減少(千克),所以小桶有:(個(gè)),大桶有:(個(gè))。【答案】大桶有20個(gè),小桶有30個(gè) 【作業(yè) 6】
19、一份稿件,甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成,現(xiàn)在甲單獨(dú)打若 干小時(shí)后,因有事由乙接著打完,共用了7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)?【考點(diǎn)】雞兔同籠【解析】我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)),甲每小時(shí)打30÷6=5(份),乙每小時(shí)打30÷10=3(份)?,F(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成"兔"頭數(shù),乙打字的時(shí)間看成"雞"頭數(shù),總頭數(shù)是7。"兔"的腳數(shù)是5,"雞"的腳數(shù)是3,總腳數(shù)是30,就把問題轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問題了。根據(jù)前面的公式"兔"數(shù)=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "雞"數(shù)=7-4.
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