高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題 學(xué)生版

1、高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1 求過(guò)兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓心在上，故圓的方程為又該圓過(guò)、兩點(diǎn)解之得：，所以所求圓的方程為解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過(guò)、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)椋实男甭蕿?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為：即又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為半徑故所求圓的方程為又點(diǎn)到圓心的距離為點(diǎn)在圓外例2 求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標(biāo)為或又已知圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為3若兩圓相切，則或(1)當(dāng)

2、時(shí)，或(無(wú)解)，故可得所求圓方程為，或(2)當(dāng)時(shí)，或(無(wú)解)，故所求圓的方程為，或例3 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程解：圓和直線與相切，圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等兩直線交角的平分線方程是或又圓過(guò)點(diǎn)，圓心只能在直線上設(shè)圓心到直線的距離等于，化簡(jiǎn)整理得解得：或圓心是，半徑為或圓心是，半徑為所求圓的方程為或例4、 設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程解法一：設(shè)圓心為，半徑為則到軸、軸的距離分別為和由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為，故圓截軸所得弦長(zhǎng)為又圓截軸

3、所得弦長(zhǎng)為2又到直線的距離為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)這時(shí)有或又故所求圓的方程為或解法二：同解法一，得將代入上式得：上述方程有實(shí)根，故，將代入方程得又由知、同號(hào)故所求圓的方程為或類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5已知圓，求過(guò)點(diǎn)與圓相切的切線解：點(diǎn)不在圓上，切線的直線方程可設(shè)為根據(jù) 解得 所以 即 因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見(jiàn)另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為例6 兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：得：

4、、的坐標(biāo)滿足方程方程是過(guò)、兩點(diǎn)的直線方程又過(guò)、兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓、的公共弦所在直線的方程為例7、過(guò)圓外一點(diǎn)，作這個(gè)圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別是、，求直線的方程。練習(xí)：1 求過(guò)點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程2、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為 3、已知直線與圓相切，則的值為 .類型三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題例8、求直線被圓截得的弦的長(zhǎng).例9、直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為 例10、求兩圓和的公共弦長(zhǎng)類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例12、若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例13 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線

5、、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答解法一：圓的圓心為，半徑設(shè)圓心到直線的距離為，則如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意又與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)設(shè)所求直線為，則，即，或，也即，或設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)練習(xí)1：直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 練習(xí)2：若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 .3、圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（ ）（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3

6、個(gè) （D）4個(gè)4、過(guò)點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線與圓有公共點(diǎn)，如圖所示PEOyx類型五：圓與圓的位置關(guān)系例14、判斷圓與圓的位置關(guān)系，例15：圓和圓的公切線共有 條。解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，.，兩圓相交.共有2條公切線。練習(xí)1：若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值集合是 .2：求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程.類型六：圓中的對(duì)稱問(wèn)題例16、圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是 類型七：圓中的最值問(wèn)題例18：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是 例19(1)已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值練習(xí)：1：已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（1） 求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.2 設(shè)點(diǎn)是圓是任一點(diǎn)，求的取值范圍八：軌跡問(wèn)題例21已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，求點(diǎn)的軌跡方程.例22、已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、 已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值分析：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因?yàn)橥ㄟ^(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問(wèn)題得以解決解法一：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、一方面，由，得，即，也即：