高中數學三角恒等式變形解題常用方法

1、高中數學三角恒等式變形解題常用方法一.知識分析1. 三角函數恒等變形公式（1）兩角和與差公式（2）二倍角公式（3）三倍角公式（4）半角公式    （5）萬能公式，   ，     （6）積化和差，（7）和差化積， 2. 網絡結構3. 基礎知識疑點辨析（1）正弦、余弦的和差角公式能否統(tǒng)一成一個三角公式？    實際上，正弦、余弦的和角公式包括它們的差角公式，因為在和角公式中，是一個任意角，可正可負。另外，公式雖然形式不同，結構不同，但本質相同：。（2）怎樣正確理解正切

2、的和差角公式？    正確理解正切的和差角公式需要把握以下三點：    推導正切和角公式的關鍵步驟是把公式，右邊的“分子”、“分母”都除以，從而“化弦為切”，導出了。公式都適用于為任意角，但運用公式時，必須限定，都不等于。用代替，可把轉化為，其限制條件同。（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些應用？    不用計算器或查表，只通過筆算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函數值。能由兩個單角的三角函數值，求得它們和差角的三角函數值；能由兩個單角的三角函數值

3、與這兩個角的范圍，求得兩角和的大?。ㄗ⒁膺@兩個條件缺一不可）。能運用這些和（差）角公式以及其它有關公式證明三角恒等式或條件等式，化簡三角函數式，要注意公式可以正用，逆用和變用。運用這些公式可求得簡單三角函數式的最大值或最小值。（4）利用單角的三角函數表示半角的三角函數時應注意什么？    先用二倍角公式導出，再把兩式的左邊、右邊分別相除，得到，由此得到的三個公式：， ，分別叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根號前的符號，由所在的象限來確定，如果沒有給出限制符號的條件，根號前面應保持正、負兩個符號。另外，容易證明  。  4. 三角函數變換的

4、方法總結三角學中，有關求值、化簡、證明以及解三角方程與解幾何問題等，都經常涉及到運用三角變換的解題方法與技巧，而三角變換主要為三角恒等變換。三角恒等變換在整個初等數學中涉及面廣，是常用的解題工具，而且由于三角公式眾多，方法靈活多變，若能熟練掌握三角恒等變換的技巧，不但能加深對三角公式的記憶與內在聯系的理解，而且對發(fā)展數學邏輯思維能力，提高數學知識的綜合運用能力都大有益處。下面通過例題的解題說明，對三角恒等變換的解題技巧作初步的探討研究。（1）變換函數名對于含同角的三角函數式，通常利用同角三角函數間的基本關系式及誘導公式，通過“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途徑來減少或統(tǒng)一所需變換的式

5、子中函數的種類，這就是變換函數名法它實質上是“歸一”思想，通過同一和化歸以有利于問題的解決或發(fā)現解題途徑?！纠?】已知同時滿足和,且a、b均不為0，求a、b的關系。解析：已知顯然有：由×cos2×cos，得：2acos22bcos=0即有：acosb=0又   a0 所以，cosb/a             將代入得：a（a/b）2b（b/a）2a即a4b42a2b2 （a2b2）20即ab點評：本例是“化弦”方法在解有關問題時的具體

6、運用，主要利用切割弦之間的基本關系式。 （2）變換角的形式對于含不同角的三角函數式，通常利用各種角之間的數值關系，將它們互相表示，改變原角的形式，從而運用有關的公式進行變形，這種方法主要是角的拆變它應用廣泛，方式靈活，如可變?yōu)椋ǎ?可變?yōu)椋ǎǎ?可變?yōu)椋ǎ?可看作4的倍角；（45°）可看成（90°2）的半角等等。【例2】求sin（75°）cos（45°）cos（15°）的值。解析：設15°，則原式sin（60°）cos （+30°）cos（sincos60°cossin60°

7、）（coscos30°sinsin30°）cossincoscossincos0點評：本例選擇一個適當的角為“基本量”，將其余的角變成某特殊角與這個“基本量”的和差關系，這也是角的拆變技巧之一。 【例3】已知sinsin（）  （其中cosA），試證明：tan（）證明：已知條件可變?yōu)椋簊in（）sin （）所以有：sin （） coscos （） sinsin （） sin （）（ cos）cos （） sin tan（）點評：在變換中通常用到視“復角”為“單角”的整體思想方法，它往往是尋找解題突破的關鍵。（3）以式代值利用特殊角的三角函數值以及含有1的

8、三角公式，將原式中的1或其他特殊值用式子代換，往往有助于問題得到簡便地解決。這其中以“1”的變換為最常見且最靈活?！?”可以看作是sin2xcos2x,sec2xtan2x,csc2x cot2x，tanxcotx,secxcosx,tan45°等，根據解題的需要，適時地將“1”作某種變形，常能獲得較理想的解題方法。 【例4】化簡：解析：原式    點評：1“”的正用、逆用在三角變換中應用十分廣泛。 （4）和積互化積與和差的互化往往可以使問題得到解決，升冪和降次實際上就是和積互化的特殊情形。這往往用到倍、半角公式。【例5】解三角方程：sin2x

9、sin22xsin23x解析：原方程變形為：（1cos2x）（1cos4x）（1cos6x）即：1cos6x cos2xcos4x2cos23x 2cos3x cosx得：                    cos3x sin2x sinx 0解得：x或x（） 原方程的解集為x| x或x,點評：題中先降次后升冪，這種交錯使用的方法在解三角方程中時有出現，其目的是為了提取公因式。 （5）添補法與

10、代數恒等變換一樣，在三角變換中有時應用添補法對原式作一定的添項裂項會使某些問題很便利地得以解決。將原式“配”上一個因子，同時除以這個式子也是添補法的一種特殊情形?！纠?】求證：證明：左邊    右邊 原式成立。點評：本例中采用“加一項再減去一項”，“乘一項再除以一項”的方法，其技巧性較強，目的都是為了便于分解因式進行約分化簡。 （6）代數方法三角問題有時稍作置換，用各種代數方法對三角函數式作因式分解、等量置換等的變形，從而將三角問題轉換成代數問題來解，而且更加簡捷。這其中有設元轉化、利用不等式等方法。【例7】銳角、滿足條件，則下列結論中正確的是（）A.+

11、     B. +C. +     D. +解析：令sin,則有整理得：（ab）20即ab即：sin2cos2（，同為銳角）sincos，故應選D。點評：本例用設元轉化法將三角問題轉化為代數問題。換元法這種數學思想應用十分廣泛，往往能收到簡捷解題的效果 （7）數形結合有的三角變換問題蘊含著豐富的幾何直觀，此時若能以數思形，數形滲透，兩者交融，則可開辟解題捷徑。利用單位圓，構造三角形，利用直線、曲線的方程等方法都是數形結合的思想?！纠?】已知：，求的值。解析：點，均在單位圓上。由已知條件知：AB的中點坐標為

12、（1/6,1/8），即直線過   定點C如下圖所示xOC據萬能公式得：點評：本題用和差化積公式也不難求得，但在三角問題中利用單位圓是常見的研究方法。數形結合方法在三角變換中應用類型頗多，篇幅所限，僅舉一例，本文不贅。從六、七兩種方法可以看出，將代數、幾何與三角有機聯系起來，綜合運用，在解三角變換題中，不僅構思精巧，過程簡易，趣味橫生，而且還溝通數學知識的縱橫關系，也有利于多向探求，廣泛滲透，提高和發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維能力。以上探討了三角變換中的七種變換思想和解題方法，在實際解題中這些方法是交織在一起的，混合于同一問題中靈活使用。掌握這些變換方法的前提是熟悉公式，善于公式的變

13、形運用，同時注意縱橫聯系數學知識用發(fā)散性的思維考慮問題。三角變換的技巧除了以上七個方面外，還有平方消元，萬能置換，利用正余弦定理進行邊角轉換，利用輔助角，借用復數表示等方法我們以后有機會再介紹。 5. 非特殊角的化簡、求值問題的解題方法探究    非特殊角的化簡求值是給角求值中一類常見的三角求值類型，對于此類求值問題，由于涉及到的三角公式及其變形靈活多樣，因而如何利用三角公式迅速準確的求值應是解決這類問題的重點，現在我們通過一個題目的解法探尋，體會非特殊角三角函數的求法。【題目】求的值。分析1：這是一道給角求值中非特殊角的化簡求值問題，仔細觀察可看出在所

14、求式子中有一項是正切函數、一項是正弦函數，因此通常運用切割化弦，然后通過通分化簡，使其化為特殊的三角函數值。解法1：                            點評：通分以后，要將和式轉化為積式，需將拆項為，這是將和式轉化為積式中常用的變形手段，在將和差化積后要盡可能的出現特殊角特殊值，這樣才有可能使化簡得以進行下去。分析2：運用切割化弦，通過通分化簡后，

15、若不考慮將和式轉化為積式，而是對角進行變換，觀察到運算的式子中出現的兩角為20°，40°，與特殊角比較則會有60°40°20°，變角后再應用兩角差的正弦公式展開進行化簡。解法2：                                    

16、    分析3：我們在運用“切割化弦”時，若不利用商數關系，而是將 tan200利用半角公式 進行化弦，也能進行求值。解法3：                             分析4：從以上路徑可以看出，而是一個特殊的三角函數值，考慮它等于什么呢？，因而考慮可否會有，這樣問題就轉化為等式的驗證。解法4：  &#

17、160;                                                    

18、;                   有點評：本路徑采用了綜合法，只進行等式 的驗證，問題就得以解決。分析5：利用倍角公式可得到，能否再對角進行適當的變換，出現特殊角，我們發(fā)現40°60°一20°，這樣變角后利用兩角差的正弦公式展開化簡，也能求值。解法5：        將等式可寫成     &#

19、160;          兩邊同除以得    點評：本題利用綜合法求得了的值，在這里首先進行角的變換，然后利用兩角差的正弦公式展開，合并同類項后，再進行弦化切割，從而得到所要求的值。以上我們探尋了不查表求非特珠角的三角函數的值的問題，對于這類問題，要從多方面考慮解決的方法，在這里我們是從三角函數的“變名”“變角”“變式”“切割化弦”弦化切割”等方面而進行了三角恒等變形，這在以后的學習訓練中要逐步體會掌握。 【典型例題】例1. 化簡cos（）cos（），其中kZ。解析：解法一：原式co

20、sk（）cosk（）coskcos（）sinksin（）coskcos（）sinksin（）2coskcos（），（kZ）當k為偶數時，原式2cos（）cossin當k為奇數時，原式2cos（）sincos總之，原式（1）k（cossin），kZ解法二：由（k）（k）2k，知cos（k）cos2k（k）cos（k）cos（k）原式2cos（k）2×（1）kcos（）（1）k（cossin），其中kZ 點評：原式cos（k）cos（k）cosk（）cosk（）這就啟發(fā)我們用余弦的和（差）角公式。 例2. 已知sin（），cos（），求的值。解析：解法一：由已知條件及

21、正弦的和（差）角公式，解法二：（設未知數）令x解之得 例3. 在中，求的值和的面積。解析：解法一：解方程組得，故。解法二：由及得，可得因為，所以，故，即解方程組得，故。（以下同解法一）解法三：因為，所以。又，故，（以下同解法一） 例4. 解析：解法一：此題可利用降冪、積化和差、和差化積等公式進行恒等變形化簡。原式解法二：利用“整體配對”思想，構造對偶式來解題設則兩式相加得即 例5. （第5屆IMO試題）證明解析：設則或（舍去） 【模擬試題】一、選擇題： 1. 已知的值為（     ）A.   &

22、#160;             B.                 C.                   D. 2. 的值為（  

23、   ）A. 0                       B.                   C.       

24、0;              D. 3. 的值為（      ）A. 1                       B.       &

25、#160;         C.                    D. 4. 的兩內角A,B滿足，則此三角形的形狀為（      ）A. 銳角三角形       B. 直角三角形    

26、; C. 鈍角三角形           D. 不能確定5. 已知，則的值為（     ）A.                  B.              

27、0;    C.                         D. 6. ,則的值為（      ）A.                

28、  B. 1                 C.                    D. 7. 若，則的值為（       ）A.     &#

29、160;                          B. C.                        &

30、#160;             D. 8. 函數的值域是（     ）A.                 B.             C.   

31、0;             D. 9. 已知等腰三角形頂角的余弦值等于，則這個三角形底角的正弦值為（     ）A.                B.            C.  &#

32、160;                D. 10. 等于（     ）A. 1                   B. 1        

33、0;            C. 2                           D. 2 二、填空題11. 在中，已知tanA ,tanB是方程的兩個實根，則12. 已知，則的值為13. 觀察下列各等式：，根據

34、其共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式                                      。14. 已知直線，A是之間的一定點，并且A點到的距離分別為，B是直線上一動點，作ACAB，且使AC與直線交于點C，則

35、面積的最小值為          。 三、解答題：15. 化簡  16. 已知，求的值17. 證明：18. 知函數，求（1）函數的最小值及此時的的集合（2）函數的單調減區(qū)間（3）此函數的圖像可以由函數的圖像經過怎樣變換而得到19. 已知向量，。（1）當，且時，求的值（2）當，且時，求的值【試題答案】一、選擇題：1. C            2. B  &#

36、160;     3. D        4. C        5. A6. C            7. B        8. D        9. C

37、0;       10. A二、填空題：11. 7             12.          13.14.  三、解答題：15. 解：原式16. 解：   （2）（1）得    （2）（1）得       

38、60;（4）（3）得17. 略18. 解：由    （1）當時，此時，由得（2）由得減區(qū)間為（3）其圖像可由的圖像向左平移個單位，再向上平移2個單位而得到。19.（1）由，得，         （2）由得而所以 關于簡單三角變換的問題1、同角的三角函數有三種關系：平方關系：sin2cos2=1；商式關系：；倒數關系：tancot=1它們的主要應用有：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一個，求其他兩個；（2）化簡三角函數式；（3）證明簡單三角恒等式等同角三角函數變換，要突

39、出弦、切互化，同時要注意各種變換技巧，如“1”可以用“sin2cos2”代換等2、誘導公式有兩組，可概括為對k·90°±(Z)的各三角函數值滿足規(guī)律“奇變偶不變，符號看象限”，即當k為偶數時，得的同名函數；當k為奇數時，得的余名函數；然后在前面加一個把看成銳角時原函數的符號在利用誘導公式求任意角的三角函數值時，不必拘泥于課本上列出的幾個步驟，可以結合三角函數的性質，靈活使用3、三角函數的恒等變換中最基本、最常見的變換有：（1）公式變換：要注意正確理解公式中和、差、倍的相對性，抓住公式中角、函數、結構的特點，靈活地對公式進行正向、逆向及變形使用；（2）角度變換：要善

40、于分析角之間的和、差、倍、半的關系，要特別注意能否產生特殊角，正確使用誘導公式及輔助角公式；（3）函數變換：弦切互化；（4）1的變換：如1= sin2cos2，1= tancot，等；（5）冪的變換：用公式來升、降冪4、三角恒等變換的基本題型有三種（1）求值：給角求值，其關鍵是正確分析角間的關系，準確地選用公式，將非特殊角轉化為特殊角或將非特殊角的三角函數值相約或相消；給值求值，其關鍵是分析已知和待求式之間的角、函數、結構的差異，有目的地消化；給值求角，其關鍵是先求出該角某一三角函數值，在對應函數的單調區(qū)間內求解（2）化簡：未指明答案的恒等變形，應把結果化為最簡形式；根據解題需要將三角函數式化

41、為某種特定的形式，如一角一函數形式，以便研究函數的各種性質（3）證明：主要有兩種：無條件恒等式證明和條件恒等式證明5、在求值、化簡、證明中應注意的問題有：（1）三角式化簡的目標項數盡可能少；三角函數種類盡可能少；角盡可能少、小；次數盡可能低；分母盡可能不含三角式；盡可能不帶根號；能求出值的要求出值（2）三角運算的基本原則異角化同角；（角分析法）常數的處理（特別注意“1”的代換）（3）幾個重要的三角變換思想sin·cos湊倍角公式；1±cos升冪公式；1±sin配方或化為1±cos(/2)再升冪；asinbcos輔助角公式；tg±tg兩角和與差的

42、正切公式逆用三、例題講解：例1、求證：tan3Atan2AtanA=tan3A·tan2A·tanA證明：欲證等式即為tan3A(1tan2A·tanA)=tan2AtanA，即根據正切的和角公式，結論成立小結：1、分析法“執(zhí)果索因”，便于尋找解題途徑，也是三角恒等式證明中的一種常用方法；2、本題可以推廣如下：若=，則tantantan=tan·tan·tan特殊地，若ABC是非直角三角形，則（1）tanAtanBtanC=tanA·tanB·tanC，（2）tannAtannBtannC=tannA·tannB&

43、#183;tannC例2、已知(a0)的定義域為0，值域為5，1，求常數a、b的值分析：觀察函數的特征，需將它化歸為形如y=Asin(x)B型三角函數求值域，特別注意此時x0，故首先要求出x的范圍并進而求出sin(x)的取值范圍，同時注意系數A的符號解：（1）求得a=2，b=5（2）求得a=2，b=1例3、已知sin是sin和cos的等差中項，sin是sin和cos的等比中項，求證：cos44cos4=3證明：由已知條件得：2sin=sincos，sin2=sin·cos式平方得：4sin2=12sincos，式代入得：4 sin2=12sin2，即2cos2=cos2式平方得：4cos22=cos22，再降冪：2(1cos4)=(1cos4)，cos44cos4=3小結：在三角變換中，為了達到化繁為簡的目的，降冪應該是最主要的手段，但在某些情況下，升冪也是必要的例4、已