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文檔簡介
1、幾個(gè)一題多解的小例子對(duì)于一個(gè)題目多種解法很多同學(xué)往往不以為然,總是認(rèn)為我做出來就可以了,為什么非要用那么多種方法。其實(shí)我們做題的目的不應(yīng)該僅僅是把題目做出來,而是掌握隨時(shí)隨地把題目做出來的強(qiáng)大武器,一題多解的訓(xùn)練正是其一。1.一題多解可以極大的提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。坦白講對(duì)一題多解不以為然的同學(xué)其實(shí)因?yàn)樽约褐幌氲揭环N方法,如果自己也能想到這些方法,自然他也會(huì)為之興奮;2.一道數(shù)學(xué)題因思考的角度不同可得到多種不同的解法,這有助于拓寬解題思路,提高學(xué)生分析問題的能力;3.說的更直白一些,經(jīng)常訓(xùn)練一題多解可以提高學(xué)生解決綜合問題的能力,另外不同的思路解決同一個(gè)問題,有利于讓自己的知識(shí)體系更網(wǎng)絡(luò)化,從而
2、在考試之中利于不敗之地;下面大家具體看幾個(gè)例子,希望用心體會(huì)一下。例1.(2009全國1卷)若,則函數(shù)的最大值為 。法一:二次函數(shù)求最值令, 法二:二次除以一次,均值定理令當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立法三:導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性令則取到最大值為-8例2.(2010年高考全國卷第11題)已知圓O的半徑為1,PA、PB為該圓的兩條切線,A、B為兩切點(diǎn),那么的最小值為( ) (A) (B) (C) (D)第7題圖法一:設(shè)PA、PB 的長度如圖所示:設(shè)PA=PB=,APO=,則APB=,PO=,=,令,則,令,則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立。故.此時(shí).,選擇答案D。法二:設(shè)OP的長度設(shè)OP=t(t>1), APO=,則A
3、PB=, PA=PB= , = 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立法三:設(shè)角設(shè)APO=,則APB=, PA=PB= 。當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立例3.(2009年山東高考數(shù)學(xué)理科20題)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 已知對(duì)任意的 ,點(diǎn),均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.(1)求r的值; (11)當(dāng)b=2時(shí),記 證明:對(duì)任意的 ,不等式成立解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn),均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,公比為,(2)當(dāng)b=2時(shí),, 則,所以法一:數(shù)學(xué)歸納法下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式
4、也成立. 由、可得不等式恒成立.法二:構(gòu)造數(shù)列設(shè)數(shù)列滿足則所以原不等式等價(jià)于 顯然上式成立法三:構(gòu)造函數(shù)令則所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增所以原式成立法四:放縮法法五:均值定理例4.解不等式 法一:根據(jù)絕對(duì)值的定義,進(jìn)行分類討論求解(1)當(dāng)時(shí),不等式可化為 (2)當(dāng)時(shí),不等式可化為 綜上:解集為法二:轉(zhuǎn)化為不等式組求解原不等式等價(jià)于 綜上:解集為法三:利用等價(jià)命題法 原不等式等價(jià)于,即 解集為法四:利用絕對(duì)值的集合意義原不等式可化為,不等式的幾何意義時(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)的距離大于,且小于,由圖得, 解集為例5.橢圓的焦點(diǎn)是,橢圓上一點(diǎn)P滿足,下面結(jié)論正確的是( )(A)P點(diǎn)有兩個(gè) (B)P點(diǎn)有四個(gè) (C)
5、P點(diǎn)不一定存在 (D)P點(diǎn)一定不存在法一:以為直徑構(gòu)圓,知:圓的半徑,即圓與橢圓不可能有交點(diǎn)。故選D法二:由題知,而在橢圓中:,不可能成立故選D法三:由題意知當(dāng)p點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處最大,設(shè),此時(shí)為銳角,與題設(shè)矛盾。故選D法四:設(shè),由知,而無解,故選D解法五:設(shè),假設(shè),則,而即:,不可能。故選D法六:,故不可能。故選D法七:設(shè)由焦半徑知:而在橢圓中而>,故不符合題意,故選D法八:設(shè)圓方程為: 橢圓方程為:兩者聯(lián)立解方程組得:不可能,故圓與橢圓無交點(diǎn)即 不可能垂直故選D小結(jié)一下,各位同學(xué)想一想有沒有過類似的經(jīng)歷比如講評(píng)試卷,只要是該題做對(duì)了,甭管老師講課時(shí)用什么方法都能難讓自己注意力集中,甚至有時(shí)候即使聽了老師講的方法也會(huì)固執(zhí)的認(rèn)為自己的方法是最好的。結(jié)果到最后自己會(huì)做的方法還是自己原來的那種。這種事情在我歷年的教學(xué)中屢見不鮮,但是真的是錯(cuò)誤至極。一題多解首要的目的并不只是解決這道題目,我們想通過這道題目達(dá)到把各個(gè)知識(shí)
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