高中數(shù)學(xué)平面向量23平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示232233知識(shí)巧解學(xué)案新人教A版必修4

1、 平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示皰工巧解牛知識(shí)巧學(xué)一、平面向量的正交分解1.由平面向量基本定理可知，我們選定平面中的一組不共線(xiàn)向量作為基底，則這個(gè)平面內(nèi)的任意一向量都可用這組基底唯一表示.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往根據(jù)需要，人為地選定一組基底來(lái)表示相關(guān)的量.如圖2-3-11，ABC中，D、E分別是邊、的中點(diǎn).圖2-3-11求證：DEBC.證明：先選定一組基底，設(shè)=a，=b，則=b-a.又=a，=b，=-=ba= (b-a).=2，即ABC中，DEBC.學(xué)法一得 利用平面向量的基本定理證明向量共線(xiàn)的過(guò)程是：先選好一組基底，用該基底把相關(guān)的向量表示出來(lái)，再根據(jù)兩向量共線(xiàn)的條件，確定唯

2、一的實(shí)數(shù)，證得兩向量共線(xiàn)，其實(shí)質(zhì)是判定出兩向量的方向與模的關(guān)系.2.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此時(shí)，這兩個(gè)互相垂直的基底為正交基底.二、正交分解下向量的坐標(biāo)1.向量的坐標(biāo)表示 在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，任作一個(gè)向量a.由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)(x，y)，使得a=xi+yj.由于向量a與有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此，我們就把(x，y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a=(x，y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，a=(x，y)叫做向量的坐標(biāo)表示.顯然，i=(1，0)，j=(0，1

3、)，0=(0，0).圖2-3-12設(shè)向量a=(x，y)，a方向相對(duì)于x軸正方向的旋轉(zhuǎn)角為.由三角函數(shù)的定義可知：x=|a|cos，y=|a|sin，即向量a的坐標(biāo)由它的模和方向唯一確定，與它的位置無(wú)關(guān).2.向量坐標(biāo)的唯一性 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作=a，則點(diǎn)A的位置由a唯一確定. 設(shè)=xi+yj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)也就是向量的坐標(biāo).圖2-3-13 如圖2-3-13所示，=a，向量的坐標(biāo)怎樣表示?由向量相等的定義可知，對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，是可以任意平行移動(dòng)的，這就是我們常說(shuō)的自由向量.向量在移動(dòng)的過(guò)程中，其坐標(biāo)是不變的

4、，此時(shí)向量的坐標(biāo)等于的坐標(biāo)，即相等向量的坐標(biāo)相同.3.一一對(duì)應(yīng)原理 任何一個(gè)平面向量都有唯一的坐標(biāo)表示，但是每一個(gè)坐標(biāo)表示的向量卻不一定是唯一的，也就是說(shuō)，向量的坐標(biāo)表示和向量不是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，但和起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 由此可見(jiàn)，在全體有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面內(nèi)的所有向量之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)或向量都可以看作有序?qū)崝?shù)對(duì)的直觀(guān)形象.學(xué)法一得 平面向量的坐標(biāo)表示是平面向量基本定理的具體運(yùn)用，其關(guān)鍵是在直角坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸上取與正方向一致的兩個(gè)單位向量作為基底，用該基底把平面直角坐標(biāo)系中的某一向量表示出來(lái).由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向

5、量，所以平面內(nèi)任一向量所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，與把該向量的起點(diǎn)移至原點(diǎn)，終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)相等.三、向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.加法運(yùn)算 對(duì)于向量的加法除了用向量線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)合律和分配律去證明外，還可用幾何作圖的方法予以證明.設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求a+b.圖2-3-14 如圖2-3-14所示，=a，=b，以a、b為鄰邊作平行四邊形，則=a+b. 作BBx軸，垂足為B，AAx軸，垂足為A，CDx軸，垂足為D，ACCD，垂足為C. 從作圖過(guò)程可知RtBBORtCCA.所以O(shè)B=AC=AD，BB=CC. 所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為xC=OA+AD=x1+x2，yC=CD+CC=y1+y2， 即=(x1+x2，

6、y1+y2)，也就是a+b=(x1+x2，y1+y2). 也就是說(shuō)：兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和. 上述結(jié)論對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上向量加法仍然成立.2.減法運(yùn)算 由向量線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)合律和分配律，可得a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1-x2)i+(y1-y2)j，即a-b=(x1-x2，y1-y2)，也就是說(shuō)：兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差. 類(lèi)似于向量的加法運(yùn)算，也可以通過(guò)作圖驗(yàn)證減法的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則.3.實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo) 如圖2-3-15，已知=a，=a，不妨設(shè)0，作AAx軸，BBx軸，垂足分別為A、B.圖2-3-15由AOABOB，.由，OA=

7、x，AA=y，得OB=x，BB=y，即=(x，y)，即a=(x，y).同理可證當(dāng)0時(shí)，結(jié)論也成立；當(dāng)=0時(shí)，a=0，結(jié)論顯然也成立.綜上所述，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).學(xué)法一得 當(dāng)0時(shí)，a所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)可看作把a(bǔ)的坐標(biāo)伸長(zhǎng)(1)或縮短(01)到原來(lái)的倍而得到；當(dāng)0時(shí)，可看作把a(bǔ)的相反向量的坐標(biāo)伸長(zhǎng)(-1)或縮短(-10)到原來(lái)的-倍而得到.典題熱題知識(shí)點(diǎn)一 利用圖形間的關(guān)系求坐標(biāo)例1 在平面內(nèi)以點(diǎn)O的正東方向?yàn)閤軸正向，正北方向?yàn)閥軸的正向建立直角坐標(biāo)系.質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，分別求下列位移向量的坐標(biāo).(1)向量a表示沿東北方向移動(dòng)了2個(gè)長(zhǎng)度單位；(2)向量b表示

8、沿北偏西30°方向移動(dòng)了3個(gè)長(zhǎng)度單位；(3)向量c表示沿南偏東60°方向移動(dòng)了4個(gè)長(zhǎng)度單位.解：設(shè)=a，=b，=c，并設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3).圖2-3-16(1)如圖2-3-16,可知POP=45°，|=2，所以a=i+j,所以a=(，).(2)因?yàn)镼OQ=60°，|=3，所以b=+=i+j，所以b=(，).(3)因?yàn)镽OR=30°，|=4，所以c=+=i-2j.所以c=(，-2).方法歸納 求解向量坐標(biāo)時(shí)，常用到解直角三角形的知識(shí)或任意角的三角函數(shù)的定義.構(gòu)造直角三角形是學(xué)習(xí)過(guò)程中常用到的一種解題手段.知識(shí)點(diǎn)二

9、 向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2 已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+.求：(1)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上?P在y軸上?P在第二象限?(2)四邊形OABP能成為平行四邊形嗎?若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)=+=(1+3t，2+3t).若P在x軸上，只需2+3t=0，即t=；若P在y軸上，只需1+3t=0，即t=；若P在第二象限，則需解得-t-.(2)=(1，2)，=(3-3t，3-3t).若四邊形OABP為平行四邊形，需=.于是無(wú)解，故四邊形OABP不能成為平行四邊形.巧解提示:向量的坐標(biāo)表示為用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問(wèn)題搭起了橋梁.向量的坐標(biāo)表示實(shí)際是向量的代數(shù)表

10、示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，為幾何問(wèn)題的解決又提供了一種嶄新的方法.知識(shí)點(diǎn)三 求向量坐標(biāo)例3 已知A(0，0)，B(，)，C(，)，則下列計(jì)算正確的是( )A.向量的坐標(biāo)為(，) B.向量的坐標(biāo)為(0，)C.向量的坐標(biāo)為(，) D.向量+的坐標(biāo)為(0，)思路分析：利用“向量的坐標(biāo)=終點(diǎn)坐標(biāo)-起點(diǎn)坐標(biāo)”直接得到結(jié)果.=(，)-(0，0)=(，)，=(，)-(，-)=(-1，1)，=(0，0)-(，)=(，)，+=(，)+(，)=(0，).答案：D例4 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(3，2)、B(-2，4)，求向量+的方向和長(zhǎng)度.解：如圖2-3-17,可知=(3，2)，=(-2，4).圖2-3-

11、17設(shè)=+，則=+=(3，2)+(-2，4)=(1，6).由兩點(diǎn)間距離公式，得|=.設(shè)相對(duì)x軸正向的轉(zhuǎn)角為，則tan=6，使用計(jì)算器計(jì)算得=80°32.所以向量+的方向偏離x軸正方向約為80°32，長(zhǎng)度等于.知識(shí)點(diǎn)四 利用向量坐標(biāo)解綜合題例5 已知a=(6，-4)，b=(0，2)，c=a+b，若c的終點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上，求實(shí)數(shù)的值.思路分析：此題是向量與直線(xiàn)結(jié)合的問(wèn)題，關(guān)鍵是建立關(guān)于的等式關(guān)系.圖2-3-18解：如圖2-3-18所示，過(guò)A作平行于y軸的直線(xiàn)交直線(xiàn)y=x于C點(diǎn)，則可求得C(6，3)，過(guò)C點(diǎn)作直線(xiàn)OA的平行線(xiàn)，交y軸于D點(diǎn)，則四邊形AODC為平行四邊形，易求得|O

12、D|=7，所以，即=.巧解提示:設(shè)c=(x，y)，由題設(shè)，可得(x，y)=(6，-4)+(0，2)，即(x，y)=(6，-4+2).c的終點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上，-4+2=×6.解得=.例6 已知向量u=(x，y)與向量v=(y，2y-x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用v=f(u)表示.(1)設(shè)a=(1，1)，b=(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)；(2)證明對(duì)于任意向量a、b及常數(shù)m、n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；(3)求使f(c)=(p，q)(p，q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo).思路分析：為應(yīng)用題設(shè)條件，必須將向量用坐標(biāo)表示，通過(guò)坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，從而使問(wèn)題解決.解：(1)f(a)=

13、(1，2×1-1)=(1，1)；f(b)=(0，2×0-1)=(0，-1).(2)設(shè)a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，則ma+nb=(ma1+nb1，ma2+nb2)，f(ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)，mf(a)+nf(b)=m(a2，2a2-a1)+n(b2，2b2-b1)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1).f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(3)設(shè)c=(x，y)，則f(c)=(y，2y-x)=(p，q)，x=2p-q，即向量c=(2p-q，p).例7 已知任意四邊形ABCD中，E、F分別是A

14、D、BC的中點(diǎn)，如圖2-3-19所示.圖2-3-19求證：=(+).思路分析：根據(jù)向量加法的三角形法則或坐標(biāo)運(yùn)算法則可以用不同方法證明.證明：建立直角坐標(biāo)系，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).則=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x4，y3-y4)，(+)=().又E()，F(xiàn)()，則=()，=(+).巧解提示:E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，圖2-3-20+=+=0.又=+，=+，兩式相加得2=+，即=(+).問(wèn)題探究材料信息探究材料：一個(gè)力可以分解為平面內(nèi)任意兩個(gè)方向上的力.如圖2-3-21：圖2-3-21 拖拉機(jī)拉著耙，對(duì)耙的拉力是斜向上方的，我們可

15、以說(shuō)，這個(gè)力產(chǎn)生兩個(gè)效果：使耙克服泥土的阻力前進(jìn)，同時(shí)把耙向上提，使它不會(huì)插得太深.這兩個(gè)效果相當(dāng)于兩個(gè)力分別產(chǎn)生的：一個(gè)水平的力F1使耙前進(jìn)，一個(gè)豎直向上的力F2把耙上提，即力F可以用兩個(gè)力F1和F2來(lái)代替，即力F被分解成兩個(gè)力F1和F2.問(wèn)題 能不能將上面的物理知識(shí)抽象為數(shù)學(xué)知識(shí)？這一數(shù)學(xué)知識(shí)有何作用？探究過(guò)程:由物理學(xué)知識(shí)可知力是矢量，它可以抽象為數(shù)學(xué)中的向量.因此物理學(xué)中力的分解可以抽象為數(shù)學(xué)中一個(gè)平面內(nèi)的向量都可以分解為兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，即平面內(nèi)任意一向量都可以沿兩個(gè)不共線(xiàn)的方向分解成兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的，其實(shí)質(zhì)就是平面向量基本定理.這一定理是向量坐標(biāo)表示的理論基礎(chǔ).同

16、時(shí)這個(gè)定理體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想方法，在用向量解決幾何問(wèn)題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕谆瘹w，從而導(dǎo)致問(wèn)題的解決.探究結(jié)論:上面的物理知識(shí)可以抽象為數(shù)學(xué)中的平面向量基本定理，該定理是向量坐標(biāo)化的理論基礎(chǔ)，也是聯(lián)系向量問(wèn)題與幾何問(wèn)題的橋梁與紐帶.方案設(shè)計(jì)探究 問(wèn)題 試探究用向量求的值的方法.探究過(guò)程:要求可先求cos0+cos+cos+cos+cos +cos+cos的值，由于0、這七個(gè)角每相鄰兩個(gè)角都相差，則可考慮在直角坐標(biāo)系中構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正七邊形OABCDEF，且使A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，則由此可得出、和的坐標(biāo)，再利用它們的和是零向量及零向量的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為零即可求解.探究結(jié)論:如圖2-

17、3-22所示，將邊長(zhǎng)為1的正七邊形OABCDEF放入直角坐標(biāo)系中，則圖2-3-22=(1，0)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin)，=(cos,sin).由于+=0，則有cos0+cos+cos+cos+cos+cos+cos=0.又cos=cos，cos=cos，cos=cos，cos0=1，所以有1+2(cos+cos+cos)=0，即cos+cos+cos=.思想方法探究問(wèn)題 在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常遇到一個(gè)點(diǎn)把一條線(xiàn)段分成兩部分，如果已經(jīng)知道了兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，那么怎樣用兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示這個(gè)分點(diǎn)的坐標(biāo)就成為我們關(guān)心的問(wèn)題.向量是解決幾何問(wèn)題的有效工具，能否用向量分析這一問(wèn)題？探究過(guò)程:在數(shù)學(xué)上，我們把分線(xiàn)段成兩部分的點(diǎn)稱(chēng)為定比分點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)P分有向線(xiàn)段的比為，即=，O為平面上一定點(diǎn)，那么會(huì)有+=0，=.事