泰勞公式2009

1、第15講 泰勒公式授課題目泰勒公式教學(xué)內(nèi)容1. 帶佩亞諾余項(xiàng)和帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式；2. 帶佩亞諾余項(xiàng)和帶拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式；3. 六個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林公式；泰勒公式的應(yīng)用.教學(xué)目的和要求通過(guò)本次課的教學(xué)，使學(xué)生能較好地了解帶佩亞諾余項(xiàng)和帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式和麥克勞林公式，熟記六個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林公式，會(huì)應(yīng)用泰勒公式計(jì)算某些 型極限和函數(shù)的近似值教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：佩亞諾余項(xiàng)和帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式、麥克勞林公式，六個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林公式；教學(xué)難點(diǎn)：佩亞諾余項(xiàng)和帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式、麥克勞林公式.教學(xué)方法及教材處理提示(1) 從函數(shù)的多項(xiàng)式逼近的角度，引入函數(shù)的

2、泰勒多項(xiàng)式概念，進(jìn)而引出帶佩亞諾余項(xiàng)本的泰勒公式、麥克勞林公式(2) 以例題的形式講授六個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林公式，并要求學(xué)生熟記這六個(gè)式子.可以采用老師一邊講，學(xué)生一邊練的互動(dòng)方式進(jìn)行授課.(3) 泰勒公式的應(yīng)用十分廣泛，本講只應(yīng)用泰勒公式來(lái)討論極限問(wèn)題和函數(shù)的近似計(jì)算問(wèn)題.(4) 本節(jié)的難點(diǎn)是掌握帶佩亞諾余項(xiàng)和帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式、麥克勞林公式的證明對(duì)較好學(xué)生可要求掌握證明的方法作業(yè)布置作業(yè)內(nèi)容：教材 :1（2，3），2（1），3（1，2），5（1）.講授內(nèi)容 一 、帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 由微分概念知：在點(diǎn)可導(dǎo)，則有 即在點(diǎn)附近，用一次多項(xiàng)式逼近函數(shù)時(shí)，其誤差為()的高階無(wú)窮小量然

3、而在很多場(chǎng)合，取一次多項(xiàng)式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項(xiàng)式去逼近，并要求誤差為，其中為多項(xiàng)式的次數(shù)為此，我們考察任一次多項(xiàng)式 (1)逐次求它在點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)，得到 ，即 由此可見(jiàn)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)由其在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值所唯一確定 對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù)由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)次多項(xiàng)式 （2）稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒(Taylor)多項(xiàng)式，的各項(xiàng)系數(shù)1，2，)稱(chēng)為泰勒系數(shù)由上面對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)的討論，易知與其泰勒多項(xiàng)式在點(diǎn)有相同的函數(shù)值和相同的直至階導(dǎo)數(shù)值，即 （3）下面將要證明，即以(2)式所示的泰勒多項(xiàng)式逼近時(shí)，其誤差為關(guān)于的高階無(wú)窮小量 定理68 若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù)，則

4、有 （4）證：設(shè) (現(xiàn)在只要證 由關(guān)系式(3)可知，并易知因?yàn)榇嬖?，所以在點(diǎn)的某鄰域U()內(nèi)存在1階導(dǎo)函數(shù)于是，當(dāng)且時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)法則1次，得到 定理所證的(4)式稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒公式，稱(chēng)為泰勒公式的余項(xiàng)，形如的余項(xiàng)稱(chēng)為佩亞諾(Peano)型余項(xiàng)所以(4)式又稱(chēng)為帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式注1 若在點(diǎn)附近滿足 （5） 注2 滿足(5)式要求(即帶有佩亞諾型誤差)的n次逼近多項(xiàng)式是唯一的 以后用得較多的是泰勒公式(4)在時(shí)的特殊形式： （6）它也稱(chēng)為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林(Maclaurin)公式例1 驗(yàn)證下列函數(shù)的麥克勞林公式： (2) (4) ； (6) 證：這里只驗(yàn)證其中

5、兩個(gè)公式，其余請(qǐng)讀者自行證明(2) 設(shè)，由于，因此代人公式(6)，便得到的麥克勞林公式由于這里有，因此公式中的余項(xiàng)可以寫(xiě)作，也可以寫(xiě)作)關(guān)于公式3)中的余項(xiàng)可作同樣說(shuō)明設(shè)因此代人公式(6)，便得的麥克勞林公式 例2 寫(xiě)出的麥克勞林公式，并求與解：用替換公式1)中的，便得根據(jù)定理68注2，知道上式即為所求的麥克勞林公式 由泰勒公式系數(shù)的定義，在上述的麥克勞林公式中，與的系數(shù)分別為由此得到例3 求在處的泰勒公式解：由于因此例 4 求極限. 解：本題可用洛必達(dá)法則求解(較繁瑣)，在這里可應(yīng)用泰勒公式求解考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子(取，并利用例2)：因而求得二 、帶有拉格朗

6、日型余項(xiàng)的泰勒公式上面我們從微分近似出發(fā)，推廣得到用次多項(xiàng)式逼近函數(shù)的泰勒公式（4）。它的佩亞諾型余項(xiàng)只是定性地告訴我們：當(dāng)時(shí)，逼近誤差是較高階的無(wú)窮小量?，F(xiàn)在我們將泰勒公式構(gòu)造一個(gè)定量形式的余項(xiàng)，以便于對(duì)逼近誤差進(jìn)行具體的計(jì)算或估計(jì)。定理 6.9 （泰勒定理）若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，至少存在一點(diǎn)，使得 證：作輔助函數(shù)所要證明的(7)式即為或.不妨設(shè),則與在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且又因，所以由柯西中值定理證得其中.它的余項(xiàng)為稱(chēng)為拉格朗日型余項(xiàng)所以稱(chēng)為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式。當(dāng)時(shí)，得到也稱(chēng)為(帶有拉格朗日余項(xiàng)的)麥克勞林公式例5 把例1中六個(gè)麥克勞林公式改寫(xiě)為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的形式解：(1)，由，得到 (2) 由得到