汽車(chē)的生產(chǎn)與銷(xiāo)售問(wèn)題數(shù)模

1、108汽車(chē)公司的最佳生產(chǎn)方案摘要 本文針對(duì)汽車(chē)的生產(chǎn)策略中最佳生產(chǎn)方案的確定做了深入的研究，根據(jù)生產(chǎn)方案的不同對(duì)最終利潤(rùn)的影響分析可知該問(wèn)題是基于整數(shù)規(guī)劃的尋找最優(yōu)值問(wèn)題。對(duì)此，本文建立了規(guī)劃模型進(jìn)行討論求解。對(duì)于問(wèn)題A（1），根據(jù)文中所給的數(shù)據(jù)及車(chē)間生產(chǎn)零件的規(guī)律，我們可以知道，車(chē)間的生產(chǎn)能力是一定的。所以，我們采取將能力歸一化的方法，對(duì)車(chē)間的能力進(jìn)行約束。例如就發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間而言，生產(chǎn)1臺(tái)A101型貨車(chē)需要消耗的車(chē)間生產(chǎn)能力，生產(chǎn)1臺(tái)A102型貨車(chē)需要消耗的車(chē)間生產(chǎn)能力。沖壓車(chē)間的情況也類(lèi)似。最后得到的最優(yōu)方案為每月生產(chǎn)A101型貨車(chē)2048臺(tái)，生產(chǎn)A102型貨車(chē)632臺(tái)，此時(shí)獲利4506

2、00元/月。對(duì)于問(wèn)題A（2），根據(jù)上半年度的收入報(bào)表可知在當(dāng)前生產(chǎn)方案下獲得的毛收益211166.7元/月。若要通過(guò)“外包加工”增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，則“外包加工”后的毛收益必須比當(dāng)前方案所得的毛收益高，這樣“外包加工”才有意義。根據(jù)生產(chǎn)部門(mén)經(jīng)理的意見(jiàn)，A102型貨車(chē)的生產(chǎn)方案已定，各車(chē)間剩余的生產(chǎn)能力只分配給A101型貨車(chē)?！巴獍庸ぁ辟M(fèi)用在537908.3元/月以下可以接受。這只是總費(fèi)用，若要求得到外包單價(jià)，需要進(jìn)一步的規(guī)劃。對(duì)于問(wèn)題B，公司考慮通過(guò)加工，增加發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的生產(chǎn)能力，使其他車(chē)間能充分發(fā)揮它們的生產(chǎn)能力。在發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的生產(chǎn)能力提高的同時(shí)該車(chē)間的直接勞動(dòng)費(fèi)用提高，在加班情

3、況下的最佳生產(chǎn)方案是A101型貨車(chē)生產(chǎn)1428輛，A102型貨車(chē)生產(chǎn)1500輛，此時(shí)的利潤(rùn)為495460元。比不考慮加班的最佳生產(chǎn)方案獲得的利潤(rùn)高，所以可以考慮用加班的方法提高發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的生產(chǎn)能力，進(jìn)而提高收益。關(guān)鍵詞：整數(shù)規(guī)劃；生產(chǎn)能力歸一；最佳生產(chǎn)方案一、 問(wèn)題的重述南洋汽車(chē)公司生產(chǎn)2種型號(hào)貨車(chē)：A101型和A102型，為完成這兩種車(chē)型生產(chǎn)，公司設(shè)有4各車(chē)間，其分別為沖壓車(chē)間、發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間、A101型裝配車(chē)間、A102型裝配車(chē)間，而各車(chē)間的生產(chǎn)能力有一定限制的。當(dāng)前的市場(chǎng)情況是：A101型售價(jià)為2100元，A102型為2000元，且在這樣的價(jià)格下，不管生產(chǎn)多少輛貨車(chē)，都能售出。根據(jù)前

4、6個(gè)月的銷(xiāo)售情況，A101型的銷(xiāo)售為每月333輛，A102型為每月1500輛。此時(shí)，A102型裝配車(chē)間和發(fā)動(dòng)機(jī)車(chē)間已在滿負(fù)荷情況下運(yùn)行，而沖壓車(chē)間和A101型裝配車(chē)間能力還未充分發(fā)揮出來(lái)?，F(xiàn)在生產(chǎn)方案不能使公司獲得最大的利益，所以各部門(mén)經(jīng)理提出自己的建議：銷(xiāo)售部門(mén)經(jīng)理認(rèn)為，銷(xiāo)售A101型貨車(chē)無(wú)利可圖，建議A101型貨車(chē)停產(chǎn)。財(cái)務(wù)部門(mén)經(jīng)理認(rèn)為，A101型貨車(chē)銷(xiāo)售量太小，因此分?jǐn)偨o每輛車(chē)的固定成本大。因此，應(yīng)增加A101型貨車(chē)的產(chǎn)量，與此同時(shí)，適當(dāng)減少A102型貨車(chē)的產(chǎn)量。生產(chǎn)部門(mén)經(jīng)理認(rèn)為，在不減少A102型貨車(chē)產(chǎn)量的情況下，以適當(dāng)?shù)膬r(jià)格，通過(guò)其他廠商的協(xié)作，即外包加工，增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，從而

5、增加A101型的產(chǎn)量?，F(xiàn)在我們的問(wèn)題是：A 在現(xiàn)有條件下，考慮：(1) 在現(xiàn)有資源的條件下，怎樣安排生產(chǎn)最為合理？(2) 如果可以通過(guò)“外包加工”增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，怎樣的“外包加工”費(fèi)是可以接受的？B考慮用加班的方法來(lái)提高發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的生產(chǎn)能力。假設(shè)加班后，發(fā)動(dòng)機(jī)裝配能力的增加相當(dāng)于2000輛A101型貨車(chē)，而直接勞動(dòng)力費(fèi)用提高50，加班的固定管理費(fèi)用為40000元，可變的管理費(fèi)用仍保持原來(lái)數(shù)值。問(wèn)：加班的方法是否值得采用？二、問(wèn)題的分析 生產(chǎn)方案的選擇需要考慮到各生產(chǎn)車(chē)間的生產(chǎn)能力約束，在能盈利的情況下，讓車(chē)間盡可能地發(fā)揮其能力。在求解最佳生產(chǎn)方案時(shí)，我們將各車(chē)間的生產(chǎn)能力歸一化，方便

6、規(guī)劃時(shí)的約束。利用lingo軟件求解最優(yōu)解。在某種車(chē)間的生產(chǎn)能力增加時(shí)，重新進(jìn)行規(guī)劃并進(jìn)行求解。針對(duì)問(wèn)題A（1）：汽車(chē)的生產(chǎn)費(fèi)用包括3部分：直接材料費(fèi)用、直接勞力費(fèi)用、管理費(fèi)用。其中管理費(fèi)用又包括固定管理費(fèi)用與可變管理費(fèi)用。我們假設(shè)可變費(fèi)用只與產(chǎn)品數(shù)目相關(guān)，再通過(guò)對(duì)過(guò)去6個(gè)月的管理費(fèi)用詳情分析，我們可以得到可變管理費(fèi)用與生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是一維線性的關(guān)系。通過(guò)對(duì)車(chē)間生產(chǎn)能力的約束，利用lingo求解，獲得最佳生產(chǎn)方案。針對(duì)問(wèn)題A（2）：公司考慮通過(guò)“外包加工”增加發(fā)動(dòng)機(jī)的裝配能力，而公司要在采取該手段后，獲得的利益要不小于原先方案的利益才是有效的。我們認(rèn)為可以接受的“外包加工”費(fèi)用是在采取該手段后

7、，得到的利益至少與先前相等的最大“外包加工”費(fèi)用以下。由于根據(jù)生產(chǎn)部門(mén)經(jīng)理的提議（A102型貨車(chē)的產(chǎn)量不減?。覀兛梢园褯_壓車(chē)間、發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的剩余生產(chǎn)能力只分配給A101型貨車(chē)。 針對(duì)問(wèn)題B：公司考慮通過(guò)加工，增加發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的生產(chǎn)能力，使其他車(chē)間能充分發(fā)揮他們的生產(chǎn)能力。在生產(chǎn)能力提高的同時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的直接勞動(dòng)費(fèi)用提高，固定管理費(fèi)用增加。此時(shí)成本由未加班成本與加班成本組成，加班時(shí)的可變成本為A101型貨車(chē)1830元/輛，A102型貨車(chē)1710元/輛。固定成本F=425000/月。若通過(guò)該方法，公司獲得的利益增加則認(rèn)為可?。环駝t，不可取。三、模型假設(shè)1、各車(chē)間的生產(chǎn)過(guò)程是獨(dú)立的；2

8、、A101型貨車(chē)與A102型貨車(chē)的市場(chǎng)銷(xiāo)售價(jià)穩(wěn)定，且在這樣的價(jià)格下，不管生產(chǎn)多少量貨車(chē)，都能售出；3、可變費(fèi)用只與車(chē)的數(shù)量有關(guān)；4、考慮“外包加工”加工的前提是發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的能力已用盡；5、考慮加班的前提是發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的生產(chǎn)能力已經(jīng)用盡，別的車(chē)間能力還未充分發(fā)揮出來(lái)。四、符號(hào)及變量說(shuō)明：兩種類(lèi)型貨車(chē)的銷(xiāo)售價(jià)；：兩種類(lèi)型貨車(chē)的月生產(chǎn)數(shù)量； ：加班前后各車(chē)間生產(chǎn)A101型貨車(chē)的月生產(chǎn)能力；：加班前后各車(chē)間生產(chǎn)A102型貨車(chē)的月生產(chǎn)能力；：“外包加工”的單價(jià)；：“外包加工”的數(shù)量；：加班前后兩種類(lèi)型貨車(chē)的各車(chē)間的可變費(fèi)用；：兩種類(lèi)型貨車(chē)在各車(chē)間的產(chǎn)量；：各車(chē)間的可變管理費(fèi)用；：加班前后固定管理費(fèi)

9、用；：原方案的利潤(rùn)與最優(yōu)生產(chǎn)線的利潤(rùn)；五、模型的建立與求解5.1問(wèn)題A（1）的模型建立與求解 初步建立模型 正常情況下汽車(chē)生產(chǎn)過(guò)程的流程圖如下：發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間沖壓車(chē)間 A101型裝配車(chē)間A102型裝配車(chē)間A101型貨車(chē)A102型貨車(chē)圖1：正常情況下汽車(chē)生產(chǎn)流程示意圖 根據(jù)題意，汽車(chē)的生產(chǎn)費(fèi)用包括3部分：直接材料費(fèi)用、直接勞力費(fèi)用、管理費(fèi)用。其中管理費(fèi)用又包括固定管理費(fèi)用與可變管理費(fèi)用。而可變的管理費(fèi)用直接與生產(chǎn)的輛數(shù)線性相關(guān)。固定管理費(fèi)用費(fèi)F=385000.最佳生產(chǎn)方案就是在現(xiàn)有的資源條件下，使公司獲得的利益最大。對(duì)已知數(shù)據(jù)的整理我們得到各部分的可變費(fèi)用：表1：各部分可變費(fèi)用，單位：元 車(chē)型

10、直接材料費(fèi)直接勞力費(fèi)可變管理費(fèi)總計(jì)沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)總裝配沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)總裝配A101120040601001201051751800A102100030120751002001251650 在車(chē)間能力的約束中，我們將車(chē)間生產(chǎn)車(chē)型的能力歸一化再進(jìn)行約束，例如沖壓車(chē)間生產(chǎn)1臺(tái)A101型貨車(chē)需要消耗的車(chē)間生產(chǎn)能力，生產(chǎn)一臺(tái)A102型貨車(chē)消耗的車(chē)間生產(chǎn)能力。發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間也類(lèi)似情況。這樣一來(lái)我們就有如下模型： （1） 模型的優(yōu)化 要使公司獲得的利益最大，則要使每個(gè)零件充分發(fā)揮其作用，例如，A101型貨車(chē)，在流程中是不會(huì)有多余的零件剩余。所以對(duì)上一個(gè)模型進(jìn)一步優(yōu)化就有如下模型： （2）求解得最佳生產(chǎn)方案為輛，輛，

11、此時(shí)獲利450600元/月。此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)成本如表所示：兩種類(lèi)型貨車(chē)的標(biāo)準(zhǔn)成本A101型A102型直接材料費(fèi)用直接勞力費(fèi)用沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)裝配總裝配管理費(fèi)用沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)裝配總裝配合計(jì)12004060100（200174131219（+524192410003012075（225139251244（6341859根據(jù)此時(shí)的成本表所示，A101型貨車(chē)的成本比之前降低267，A102型貨車(chē)的成本比之前提高39元。之前方案的不足之處是A101型貨車(chē)生產(chǎn)量太小，分?jǐn)偨o每輛車(chē)的固定成本大。所以銷(xiāo)售部門(mén)經(jīng)理的眼光短淺，只著眼眼前利益，不從長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮；財(cái)務(wù)部門(mén)經(jīng)理眼光銳利，很快發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)方案的不足之處。5.2 問(wèn)題A（2）模

12、型的建立與求解 基本模型的建立與求解 由題意可知，發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的生產(chǎn)能力最小，所以考慮通過(guò)“外包加工”的方法使其他車(chē)間盡可能得發(fā)揮能力并使公司能夠得到更大的利益。根據(jù)生產(chǎn)部門(mén)經(jīng)理的提議（在不減小A102型貨車(chē)產(chǎn)量的前提下），輛，所以各車(chē)間對(duì)A102型貨車(chē)的生產(chǎn)數(shù)量已經(jīng)確定：，剩余的生產(chǎn)力只分配給A101車(chē)型。假設(shè)考慮“外包加工”加工的前提是發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的能力已用盡，即發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的已經(jīng)不能再生產(chǎn)貨車(chē)了，所以。而需要我們求解的能夠接受的“外包加工”費(fèi)用，就是加工費(fèi)用在某個(gè)值以上，公司獲得的利益會(huì)減小，在這個(gè)值以下，能獲得更多的利益。假定加工費(fèi)用為，外包加工的個(gè)數(shù)為。由此我們得到如下模型：

13、（3）求解得可以接受的“外包加工”費(fèi)用為537908.3元/月，此時(shí)沖壓車(chē)間已在滿負(fù)荷情況下運(yùn)行?！巴獍庸ぁ钡腁101型貨車(chē)為1095輛，單價(jià)為491.2元/輛。：模型的擴(kuò)展 在模型三的基礎(chǔ)上，我們解除不減少A102型貨車(chē)產(chǎn)量的限制，觀察“外包加工”采取外包加工能否比在現(xiàn)有資源條件下獲得更大的利益。同樣考慮在發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間已經(jīng)滿負(fù)荷運(yùn)行情況下，采取“外包加工”行為，由于是整數(shù)規(guī)劃，能力和正好達(dá)到1的概率很小，所以把這項(xiàng)約束放寬。建立如下模型： （4） 此時(shí)仍存在一個(gè)不為0的“外包加工”費(fèi)用F=863055.5元/月，說(shuō)明“外包加工”的方法可以使公司的最大利益提高。具體情況要結(jié)合所給的“外包加

14、工”單價(jià)判斷該方法是否可行。5.3 問(wèn)題B模型的建立與求解 考慮用加班的方法來(lái)提高發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的生產(chǎn)能力，在發(fā)動(dòng)機(jī)裝配能力增加的同時(shí)相應(yīng)的直接勞動(dòng)費(fèi)用提高50%，固定管理費(fèi)用提高40000；根據(jù)已知數(shù)據(jù)，重新列得各車(chē)間的月生產(chǎn)能力、在加班的生產(chǎn)水平下各車(chē)間的可變費(fèi)用及固定管理費(fèi)用的詳細(xì)情況：表2：各車(chē)間的月生產(chǎn)能力車(chē)間A101A102沖壓車(chē)間正常發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間 加班發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間 A101型裝配車(chē)間A102型裝配車(chē)間25003300200022503500166710101500表3：加班水平下各車(chē)間的可變費(fèi)用，單位：元 車(chē)型 直接材料費(fèi)直接勞力費(fèi)可變管理費(fèi)總計(jì)沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)總裝配沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)總裝

15、配A101120040901001201051751830A102100030180751002001251710表4：固定管理費(fèi)用的詳細(xì)情況，單位：元車(chē)間沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)裝配A101型車(chē)裝配A102型車(chē)裝配合計(jì)每月固定管理費(fèi)用1350001250009000075000425000考慮加班的前提是發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的生產(chǎn)能力已經(jīng)用盡，別的車(chē)間能力還未充分發(fā)揮出來(lái)。此時(shí)的成本為未加班所得產(chǎn)品成本與加班所得產(chǎn)品成本之和。圖2：成本費(fèi)用組成示意圖直接材料費(fèi)用直接勞力費(fèi)用正常工作成本費(fèi)用固定費(fèi)用管理費(fèi)用可變費(fèi)用成本費(fèi)用直接材料費(fèi)用直接勞力費(fèi)用加工成本的費(fèi)用固定費(fèi)用管理費(fèi)用可變費(fèi)用參照模型我們建立如下模型： （

16、3） 同樣得把發(fā)動(dòng)機(jī)裝配車(chē)間的能力約束放寬，求解模型，最終解得，其中有1098臺(tái)A101型貨車(chē)的發(fā)動(dòng)機(jī)是在加班條件下裝配的。在該生產(chǎn)方案下產(chǎn)生的利益F=495460。比在現(xiàn)有資源條件下得到的最大利益F=450600元/月高出44860元。若不考慮銷(xiāo)售、行政和其他費(fèi)用會(huì)隨著銷(xiāo)售量的提高而增加的情況，加班是一種可行的方法。六、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)6.1 模型的評(píng)價(jià) 模型的優(yōu)點(diǎn)1、將車(chē)間生產(chǎn)能力歸一化，既方便理解，又方便求解；2、利用模型二可以求得多種生產(chǎn)線的最優(yōu)方案；3、考慮多種途徑使車(chē)間能力提高； 模型的缺點(diǎn)1、未能考慮隨機(jī)因素對(duì)生產(chǎn)能力的影響；2、模型假定銷(xiāo)售價(jià)恒定不變，但實(shí)際情況中銷(xiāo)售價(jià)會(huì)有所波

17、動(dòng)，在短期內(nèi)波動(dòng)不明顯；6.2 模型的改進(jìn)影響市場(chǎng)定價(jià)的因素有很多，成本價(jià)的改變，市場(chǎng)需求量的改變，貨幣的比率等直接關(guān)系著市場(chǎng)定價(jià)。由于市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)沒(méi)有明顯的規(guī)律性可言，所以只能建立模糊的模型并不能具體求解。 其中為價(jià)格的改變量，不能寫(xiě)出其具體的函數(shù)關(guān)系式。七、模型的推廣與應(yīng)用汽車(chē)公司的最佳生產(chǎn)方案問(wèn)題屬于線性規(guī)劃中的整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。在我們生活中，不僅僅只有這個(gè)需要規(guī)劃出最佳生產(chǎn)方案。還有倉(cāng)儲(chǔ)問(wèn)題，運(yùn)輸問(wèn)題等都需要運(yùn)用線性規(guī)劃思想來(lái)求解出最佳方案。1姜啟源，謝金星，葉俊 主編 數(shù)學(xué)模型(第三版)M.北京:高等教育出版社.2009；2姜啟源，謝金星 數(shù)學(xué)模型案例選集M.北京:高等教育出版社.200

18、6；附錄一：!;max=2100*x1+2000*x2-1800*x1-1650*x2-385000;x1/2500+x2/35001;x1/3300+x2/16671;x12250;x21500;gin(x1);gin(x2);!5.2.1;max=lamda*y;x11/2500+1500/35001;!x21/3300+1500/16771;333+y211166.7;gin(x11);gin(x21);gin(y);!;max=lamda1*y1+lamda2*y2;x11/2500+x21/35001;x12/3300+x22/16670.9997;x132250;x231500;x12+y1x11;x12+y1x13;x22+y2x21;x12+y2450600;gin(x