橢球面上的常用坐標系及其相互關(guān)系

1、§6.2 橢球面上的常用坐標系及其相互關(guān)系6.2.1大地坐標系點的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角，叫做點的大地經(jīng)度，由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°180°），向西為負，叫西經(jīng)（0o180°）。點的法線與赤道面的夾角，叫做點的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0°90°）；向南為負，叫南緯(0°90°)。大地坐標系是用大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高H表示地面點位的。過地面點P的子午面與起始子午面間的夾角叫P點的大地經(jīng)度。由起始子午面起算，向東為正，叫東經(jīng)（0°180°

2、;），向西為負，叫西經(jīng)（0°-180°）。過P點的橢球法線與赤道面的夾角叫P點的大地緯度。由赤道面起算，向北為正，叫北緯（0°90°），向南為負，叫南緯（0°-90°）。從地面點P沿橢球法線到橢球面的距離叫大地高。大地坐標坐標系中，點的位置用,表示。如果點不在橢球面上，表示點的位置除,外，還要附加另一參數(shù)大地高，它同正常高及正高有如下關(guān)系 6.2.2空間直角坐標系以橢球體中心為原點，起始子午面與赤道面交線為軸，在赤道面上與軸正交的方向為軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為軸，構(gòu)成右手坐標系-，在該坐標系中，點的位置用表示。地球空間直角坐標系的坐標原點

3、位于地球質(zhì)心（地心坐標系）或參考橢球中心（參心坐標系），z軸指向地球北極，x軸指向起始子午面與地球赤道的交點，y軸垂直于XOZ面并構(gòu)成右手坐標系。6.2.3子午面直角坐標系 設(shè)點的大地經(jīng)度為，在過點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立平面直角坐標系。在該坐標系中，點的位置用,表示。6.2.4大地極坐標系 為橢球體面上任意一點，為過點的子午線，為連結(jié)的大地線長，為大地線在點的方位角。以為極點，為極軸，為極半徑，為極角，這樣就構(gòu)成大地極坐標系。在該坐標系中點的位置用,表示。 橢球面上點的極坐標（,）與大地坐標(,）可以互相換算，這種換算叫做大地主題解算。 6.2.5各坐標系間的關(guān)系 橢球面上的

4、點位可在各種坐標系中表示，由于所用坐標系不同，表現(xiàn)出來的坐標值也不同。 1.子午面直角坐標系同大地坐標系的關(guān)系 過點作法線，它與軸之夾角為，過點作子午圈的切線，它與軸的夾角為（90°+）。子午面直角坐標同大地緯度的關(guān)系式如下： 2.空間直角坐標系同子午面直角坐標系的關(guān)系空間直角坐標系中的相當(dāng)于子午平面直角坐標系中的，前者的相當(dāng)于后者的，并且二者的經(jīng)度相同。3.空間直角坐標系同大地坐標系的關(guān)系同一地面點在地球空間直角坐標系中的坐標和在大地坐標系中的坐標可用如下兩組公式轉(zhuǎn)換。式中：e子午橢圓第一偏心率，可由長短半徑按式算得。N法線長度，可由式算得。§6.3 幾種主要的橢球公式

5、過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法截面同橢球面交線叫法截線（或法截弧）。包含橢球面一點的法線，可作無數(shù)多個法截面，相應(yīng)有無數(shù)多個法截線。橢球面上的法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑，而是不同方向的法截弧的曲率半徑都不相同。6.3.1子午圈曲率半徑子午橢圓的一部分上取一微分弧長，相應(yīng)地有坐標增量，點是微分弧的曲率中心，于是線段及便是子午圈曲率半徑。任意平面曲線的曲率半徑的定義公式為：子午圈曲率半徑公式為： 或 與緯度有關(guān)它隨的增大而增大，變化規(guī)律如下表所示：說 明在赤道上，小于赤道半徑此間隨緯度的增大而增大在極點上, 等于極點曲

6、率半徑6.3.2卯酉圈曲率半徑過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。在圖中即為過點的卯酉圈。卯酉圈的曲率半徑用表示。 為了推導(dǎo)的表達計算式，過點作以為中心的平行圈的切線，該切線位于垂直于子午面的平行圈平面內(nèi)。因卯酉圈也垂直于子午面，故也是卯酉圈在點處的切線。即垂直于。所以是平行圈及卯酉圈在點處的公切線。 卯酉圈曲率半徑可用下列兩式表示：6.3.3 任意法截弧的曲率半徑 子午法截弧是南北方向，其方位角為0°或180°。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90°或270°。現(xiàn)在來討論方位角

7、為的任意法截弧的曲率半徑的計算公式。 任意方向的法截弧的曲率半徑的計算公式如下： （7-87） 6.3.4 平均曲率半徑 在實際際工程應(yīng)用中，根據(jù)測量工作的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)成具有適當(dāng)半徑的球面。取過地面某點的所有方向的平均值來作為這個球體的半徑是合適的。這個球面的半徑平均曲率半徑R：或 因此，橢球面上任意一點的平均曲率半徑等于該點子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑的幾何平均值。6.3.5 子午線弧長計算公式 子午橢圓的一半，它的端點與極點相重合；而赤道又把子午線分成對稱的兩部分。 如圖所示，取子午線上某微分弧，令點緯度為，點緯度為，點的子午圈曲率半徑為，于是有： 從赤道開始到任意

8、緯度的平行圈之間的弧長可由下列積分求出： 式中M可用下式表達： 其中： 經(jīng)積分，進行整理后得子午線弧長計算式：為求子午線上兩個緯度及間的弧長，只需按上式分別算出相應(yīng)的及，而后取差：，該即為所求的弧長。克拉索夫斯基橢球子午線弧長計算公式：1975年國際橢球子午線弧長計算公式：6.3.6 底點緯度計算 在高斯投影反算時，已知高斯平面直角坐標（X，Y）反求其大地坐標（L，B）。首先X當(dāng)作中央子午線上弧長，反求其緯度，此時的緯度稱為底點緯度或垂直緯度。計算底點緯度的公式可以采用迭代解法和直接解法。（1）迭代法在克拉索夫斯基橢球上計算時，迭代開始時設(shè)以后每次迭代按下式計算：重復(fù)迭代直至為止。在1975年國際橢球上計算時，也有類似公式。（2）直接解法1975年國際橢球： 克拉索夫斯基橢球：6.3.7 大地線 橢球面上兩點間的最短程曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測地線）另有這樣的定義：“大地線上每點的密切面（無限接近的三個點構(gòu)成的平面）都包含該點的曲面法線”，亦即“大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間曲面曲線。 假如在橢球模型表面,兩點之間，畫出相對法截線如圖所示，然后在,兩點上各插定一個大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細