概率論部分習題及答案

1、7 均勻分布指數(shù)分布隨機變量函數(shù)的概率分布一、公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過乘客到達汽車站的任一時刻是等可能的求乘客候車時間不超過3分鐘的概率解：設(shè)隨機變量表示“乘客的候車時間”，則服從上的均勻分布，其密度函數(shù)為于是有二、已知某種電子元件的使用壽命(單位:h)服從指數(shù)分布，概率密度為任取個這種電子元件，求至少有個能使用1000h以上的概率解：設(shè)表示“至少有個電子元件能使用1000h以上”；分別表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”則（另解）設(shè)表示“至少有個電子元件能使用1000h以上”則從而有，進一步有三、(1) 設(shè)隨機變量服從指數(shù)分布證明：對于任意非負實數(shù)及，有 這個性質(zhì)叫做指數(shù)分布

2、的無記憶性(2) 設(shè)電視機的使用年數(shù)服從指數(shù)分布某人買了一臺舊電視機，求還能使用年以上的概率解：（）因為，所以，有，其中為的分布函數(shù)設(shè)，因為及都是非負實數(shù)，所以，從而根據(jù)條件概率公式，我們有另一方面，我們有綜上所述，故有（）由題設(shè)，知的概率密度為設(shè)某人購買的這臺舊電視機已經(jīng)使用了年，則根據(jù)上述證明的（）的結(jié)論，該電視機還能使用5年以上的概率為答：該電視機還能使用5年以上的概率約為四、 設(shè)隨機變量服從二項分布，求下列隨機變量函數(shù)的概率分布： （1）；（2）解：的分布律為0123（1）的分布律為1（2）的分布律為0110即01五、設(shè)隨機變量的概率密度為求隨機變量函數(shù)的概率密度解：因為 所以隨機變量

3、函數(shù)的概率密度為，即 二維隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布一、把一顆均勻的骰子隨機地擲兩次設(shè)隨機變量表示第一次出現(xiàn)的點數(shù)，隨機變量表示兩次出現(xiàn)點數(shù)的最大值，求二維隨機變量的聯(lián)合概率分布及的邊緣概率分布解：二維隨機變量的聯(lián)合概率分布為的邊緣概率分布為二、設(shè)二維隨機變量（，）的聯(lián)合分布函數(shù)求：（1）系數(shù)A、B及C；（2）（，）的聯(lián)合概率密度：（3）邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度解：（1）由，得 解得，（2）因為，所以（，）的聯(lián)合概率密度為（3）及的邊緣分布函數(shù)分別為及的邊緣概率密度分別為三、設(shè)的聯(lián)合概率密度為求：（1）系數(shù)；（2）的聯(lián)合分布函數(shù)；（3）及的邊緣概率密度；（4）落在區(qū)域R：內(nèi)的概率解：（1）

4、由，有，解得 （2）的聯(lián)合分布函數(shù)為 （3）及的邊緣概率密度分別為 （4）四、設(shè)二維隨機變量在拋物線與直線所圍成的區(qū)域上服從均勻分布求：(1) 的聯(lián)合概率密度；(2) 概率解：(1) 設(shè)的聯(lián)合概率密度為則由解得故有(2) 13 正態(tài)分布的概率密度、分布函數(shù)、數(shù)學期望與方差一、 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，求（1）；（2）解：(1)(2)二、 已知某種機械零件的直徑（mm）服從正態(tài)分布規(guī)定直徑在（mm）之間為合格品，求這種機械零件的不合格品率解：設(shè)表示這種機械零件的不合格品率，則而故三、測量到某一目標的距離時發(fā)生的誤差(m)具有概率密度求在三次測量中至少有一次誤差的絕對值不超過m的概率解：三次測量中

5、每次誤差絕對值都超過30米可表為 因為，所以由事件的相互獨立性，有 于是有四、設(shè)隨機變量，求隨機變量函數(shù)的概率密度（所得的概率分布稱為對數(shù)正態(tài)分布）解：由題設(shè)，知的概率密度為從而可得隨機變量的分布函數(shù)為當時，有；此時亦有當時，有此時亦有從而可得隨機變量的概率密度為五、設(shè)隨機變量與獨立，求：(1) 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望與方差，其中及為常數(shù)；(2) 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望與方差解：由題設(shè)，有；從而有(1)；(2)；四、100臺車床彼此獨立地工作著，每臺車床的實際工作時間占全部工作時間的80%，求： （1） 任一時刻有70至86臺車床在工作的概率； （2） 任一時刻有不少于80臺車床在工作的概率解：設(shè)表示“任一時刻正在工作的車床數(shù)”，則 （1）（2）五、在一家保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元問：（1） 保險公司虧本的可能性是多大？