橢圓講義及例題

1、7.橢圓1、橢圓的第一定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù) ,這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。.注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形.2、橢圓的標準方程1）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；2）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；注意：在兩種標準方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點總在長軸上；兩種標準方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 。 3、橢圓：的簡單幾何性質（1）對稱性：對于橢圓標準方程：是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍

2、：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足，。（3）頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為，。 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。 當且僅當時，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）： 假設已知橢圓方程（），且已知橢圓的準線方程為

3、，試推導出下列式子：（提示：用三角函數(shù)假設P點的坐標4、橢圓的另一個定義：到焦點的距離與到準線的距離的比為離心率的點所構成的圖形。即上圖中有5、橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標準方程 圖形性質焦點，焦距范圍，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點，軸長長軸長=，短軸長=離心率準線方程焦半徑，一般而言：橢圓有兩條對稱軸，它們分別是兩焦點的連線及兩焦點連線段的中垂線；橢圓都有四個頂點，頂點是曲線與它本身的對稱軸的交點；離心率確定了橢圓的形狀（扁圓形狀），當離心率越接近于0，橢圓越圓；當離心率越接近于1時，橢圓越扁。6.直線與橢圓的位置關系1.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，然后通過判別式來判斷直

4、線和橢圓是否相交、相切或相離。2.消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標，通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式，這是進一步解題的基礎。7.橢圓方程的求解方法 1.要學會運用待定系數(shù)法來求橢圓方程，即設法建立或者中的方程組，要善于抓住條件列方程。先定型，再定量，當焦點位置不確定時，應設橢圓的標準方程為（）或（）；或者不必考慮焦點的位置，直接把橢圓的標準方程設為 或者 mx2+ny2=1 （），這樣可以避免討論及繁雜的計算，當已知橢圓上的兩點坐標時這種解題更方便。但是需要注意的是m和n（或者）誰代表，誰代表要分清。不要忘記隱含條件和方程，例如：，等等。不同的圓錐曲線有不同的隱含

5、條件和方程，切勿弄混。 2.求解與橢圓幾何性質有關的問題時要結合圖形分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想圖形，注意數(shù)形結合法的使用，切勿漏掉一種情況。課上例題： 方程化簡的結果是 已知點A（4,0）和B（2，2），M是橢圓上的一動點，則|MA|+|MB|的最大值是 3. 求與橢圓共焦點，且過點的橢圓方程。4. 已知橢圓，焦點為、，是橢圓上一點若，求的面積5. 已知橢圓，M為橢圓上一動點，為橢圓的左焦點，求線段 的中點P的軌跡方程。橢圓課后練習1. 已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程2.已知橢圓方程，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）3.以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應在何處？并求出此時的橢圓方程4. 求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過和兩點的橢圓方程5. 已知B是橢圓E：上的一點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，且BF軸，B（1，）。（1）求橢圓E的方程；（2）設和是長軸的兩個端點，直線垂直于的延長線于點D，|OD|=4，P是上異于點D的任意一點，直線交橢圓E于