齊民友高數(shù)下冊復(fù)習(xí)考試

1、高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考試（下冊）第8章 空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量及其運(yùn)算1、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系：三條兩兩垂直相交于原點的坐標(biāo)軸，軸、軸和軸構(gòu)成右手關(guān)系。（1） 學(xué)會：a）找出空間中給定點的坐標(biāo)。b）找出空間中以給定為坐標(biāo)的點。c）空間各部分點坐標(biāo)的特點。（2） 兩點、的距離公式2、向量（1）向量的概念數(shù)量：只有大?。幌蛄浚杭扔写笮∮钟蟹较?。向量只有大小和方向。在空間中用有向線段表示向量。其長度表示向量的大小也稱為模或范數(shù)；其方向表示向量的方向。一個向量可以放在空間中任意位置。（2）特殊向量零向量：大小為0。任意方向都是的方向。只有一個零向量。單位向量：大小為1。有無窮多個單位向量。如果

2、，則是與方向一致的單位向量，稱為的單位化。（3）兩向量的關(guān)系向量和有夾角。當(dāng)時說；當(dāng)時說。（4）向量的坐標(biāo)把向量的始點放在原點，得的終點，則有的分解式其中是標(biāo)準(zhǔn)單位向量。是向量的坐標(biāo)。分別是在、軸上的投影；分別是在、軸上的投影向量。向量與坐標(biāo)一一對應(yīng)。向量的理論分為兩部分：用幾何描述的向量理論和用坐標(biāo)描述的向量理論。兩部分理論對應(yīng)地出現(xiàn)，互相翻譯。設(shè)、，則（終點坐標(biāo)減始點坐標(biāo)。）始點坐標(biāo)、終點坐標(biāo)、向量坐標(biāo)知其二求第三。（5）模和方向余弦設(shè)，則其中分別是與、軸的夾角，它們支定了的方向。一次性求出三個方向余弦：3、向量運(yùn)算（1）加減法a）幾何方法 兩向量用平行四邊形法則或三角形法則（接龍法）相加

3、。 與大小相等方向相反。b）坐標(biāo)方法設(shè)，則（2）數(shù)乘向量a）幾何方法。的方向：當(dāng)時與同向；當(dāng)時與反向。b）坐標(biāo)方法（3）兩向量的數(shù)量積a）幾何方法b）坐標(biāo)方法設(shè)，則c）物理意義位移外力做的功（4）兩向量的向量積 是一個新的向量。a）幾何方法；成右手關(guān)系。b）坐標(biāo)方法設(shè)，則c）幾何意義以為邊的平行四邊形的面積。（5）三向量的混合積a）。b）幾何意義以為邊的平行六面體的體積。（6）熟悉各種運(yùn)算的運(yùn)算律。4、平行、垂直、共面條件（1）設(shè)。下列命題等價：a）；b）存在實數(shù)使得；c）；d）。（2）下列命題等價：a）；b）；（3）共面。二、空間解析幾何1、一般概念空間幾何對象：曲面和曲線。平面是特殊的曲面

4、，直線是特殊的曲線。空間解析幾何就是用代數(shù)方程研究幾何對象。幾何對象和它的代數(shù)方程的關(guān)系如下：（1）上每點的坐標(biāo)都滿足方程；（2）坐標(biāo)滿足方程的點都在上。空間解析幾何的主要任務(wù):（1）根據(jù)已知條件寫出幾何對象的方程；（2）根據(jù)幾何對象的方程分析幾何對象的形狀。2、空間解析幾何（1）平面a）點法式方程其中是的隨便一個固定的法向量，是隨便固定的一點。利用條件求出即可寫出平面的點法式方程。b）一般方程其中是的法向量。軸可以用一般式方程寫滿足條件的平面方程。利用條件求出即可寫出平面的一般方程。c）三點式方程i）取ii）寫出點法式方程。d）截距式方程如果平面與軸分別交于非原點，則e）點到平面的距離f）設(shè)

5、則（2）直線a）點向式方程其中是的隨便一個固定的方向向量，是隨便固定的一點。利用條件求出即可寫出直線的點向式方程。b）參數(shù)方程其中是的隨便一個固定的方向向量，是隨便固定的一點，是參數(shù)。c）一般方程作為平面和的交線。d）點向式方程化為一般方程e）一般方程化點向式方程：i）求出方程組的一個解；ii）?。籭ii）用和寫出點向式方程。f）兩直線的夾角直線與平面的夾角g）過直線的平面束用已知條件確定，從而在平面束中求出滿足要求的平面。（3）常見的空間曲面（1）柱面二元方程在空間中表示母線平行于軸的柱面。（2）旋轉(zhuǎn)曲面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為其它曲線繞其它軸轉(zhuǎn)的情況類似（請你試寫出來）。（3）

6、二次曲面a）學(xué)會用“截痕法”分析曲面的形狀。b）熟悉P56-P64列出的各種二次曲面及它們的方程。c）特別常用的曲面：柱面、錐面、（橢）球面、拋物面。（4）空間曲線a）空間曲線的一般方程（曲線作為兩曲面的交線）參數(shù)方程b）由一般方程寫參數(shù)方程的常用方法：先由一般方程變形出；令；再進(jìn)一步寫出參數(shù)方程。c）曲線在坐標(biāo)平面上的投影由方程消去得到在面上的投影第9章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性1 多元函數(shù)的極限（1）計算多元函數(shù)極限的方法：（i）要善于變形；（ii）把一組東西看出一個整體，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)求極限的方法求極限。（2）證明極限不存在：舉一些的方式（比

7、如），使極限不存在或與方式（）有關(guān)。2 多元函數(shù)的連續(xù)性（1）證明在點不連續(xù)：（i）用前面方法證明不存在；或（ii）求出。（2）證明在點連續(xù)就是證明。二、 偏導(dǎo)數(shù)和全微分1偏導(dǎo)數(shù)（1）在點的偏導(dǎo)數(shù)分兩步：（i）作一元函數(shù)；（ii）。因此（2）偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：（i） = 曲線在點切線對軸的斜率；（ii）曲線在點切線對軸的斜率 = 。關(guān)于完全類似。（3）當(dāng)相應(yīng)的高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時，高階偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)。2全微分（1）全微分概念如果存在與和無關(guān)的和使則稱在點可微。在點的全微分 關(guān)于任意點的全微分，上面改為。當(dāng)是復(fù)合函數(shù)的中間變量時，全微分公式也一樣。（2）如果在點可微，則在點的偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且（

8、3）（i）在點可微(ii)證明在點不可微就是證明極限不存在或不為0。3 導(dǎo)數(shù)的計算（1）一般函數(shù)求導(dǎo)方法：（i）保留求導(dǎo)變元，固定其他變元為常數(shù)，得一元函數(shù)；（ii）對此一元函數(shù)求導(dǎo)。（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法：（i）畫復(fù)合函數(shù)圖；（ii）根據(jù)復(fù)合函數(shù)圖寫求導(dǎo)公式（設(shè)對求導(dǎo)）：每個所在的路徑都對應(yīng)一項：此路徑中的每個相鄰函數(shù)關(guān)系都求導(dǎo)，這些導(dǎo)數(shù)相乘作公式的一個求導(dǎo)項；（iii）根據(jù)求導(dǎo)公式求得偏導(dǎo)數(shù)。（iv）利用低階偏導(dǎo)數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)，遇到求偏導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，各階偏導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)有相同的函數(shù)圖。（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一定要求到底?。?）隱函數(shù)求導(dǎo)方法：（i）把隱函數(shù)變量看作其它變量的函數(shù)得恒等式（組）；

9、（ii）對恒等式（組）兩邊求導(dǎo)得含所求導(dǎo)數(shù)的方程（組）；（iii）解方程（組）得所求導(dǎo)數(shù)；（iv）求隱函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)有兩種方法：(a) 利用低階偏導(dǎo)數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)；(b)繼續(xù)對求低階導(dǎo)數(shù)時得的方程（組）求導(dǎo)，得含高階導(dǎo)數(shù)的方程（組），解此方程（組）得高階導(dǎo)數(shù)。不管用哪種方法，都要代入低階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果，都要清清楚楚地知道哪里含有要求導(dǎo)的變量。隱函數(shù)求導(dǎo)也可解出隱函數(shù)再求導(dǎo)。反函數(shù)看作隱函數(shù)處理。4 連續(xù)、可導(dǎo)、可微、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) th C3 可微連續(xù) thC1 C2 C3 th反例：；都在(0,0)點。要熟悉一些典型例題。三、 多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1曲線在的切向量切線：法平面：

10、如果則用作參數(shù)。（用或作參數(shù)的情況類似）2曲面在點的法向量切平面：法線：當(dāng)曲面以參數(shù)方程給出時，消去參數(shù)變成一般方程再做。3 方向?qū)?shù)與梯度（1）在點沿方向的方向?qū)?shù)其中是的方向余弦。 求在點沿方向的方向?qū)?shù)的方法：（i）求導(dǎo)；（ii）求的方向余弦；（iii）代入上面公式。有時要用上面極限求方向?qū)?shù)。（2）在點的梯度 梯度是方向?qū)?shù)最大的方向，梯度的反方向是方向?qū)?shù)最小的方向，與梯度垂直方向的方向?qū)?shù)為0：。梯度是等值面fx,y,z=C的法向量。4 極值與最值（1）無條件極值 如果存在去心鄰域使則稱為的極值點，稱fx0,y0為f(x,y)的極值?？梢?，極值是小范圍的最值。如果在點有二階偏導(dǎo)數(shù)，

11、必要條件：；充分條件： 其中。解無條件極值問題的方法：（i） (ii)用定義對逐點判定；用充分條件對逐點判定。是否極值點，是極大值點還是極小值點，一定要有明確的結(jié)論；(iii)必要時求出相應(yīng)的極值。（2）最值 在(閉)區(qū)域上的最大（小）值點有兩種可能 因此求最大（?。┲档姆椒ǎ海╥）求在的最大值（最小值）；（ii）求出（iii）結(jié)果 如果根據(jù)問題的實際知：最大（?。┲翟趦?nèi)部取得，并且，在內(nèi)部到處可導(dǎo)且只有唯一個駐點或?qū)?shù)不存在的點，則這點就是最大（?。┲迭c。5 條件極值條件極值問題的解法：（i）寫拉格朗日函數(shù)；（ii）求函數(shù)非條件極值的駐點（不用解出）；（iii）根據(jù)問題的實際判斷每個駐點是否

12、極值點，是極大值點還是極小值點。6泰勒公式設(shè)函數(shù)充分可導(dǎo)，則其中。有時可以把一組東西看作一個，利用一元函數(shù)寫出關(guān)于的泰勒公式，再把代回得到原函數(shù)的泰勒公式。四、相關(guān)題目1求多元函數(shù)的極限；2證明多元函數(shù)在某點的極限不存在；3證明多元函數(shù)在某點不連續(xù)（連續(xù)）；4求給定多元函數(shù)（在某點）的偏導(dǎo)數(shù)；5求多元函數(shù)（在某點）的全微分；6求多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的一階或高階偏導(dǎo)數(shù)，或全微分；7求曲線在某點的切線方程、法面方程；求曲面在某點的切面方程、法線方程；（可能要先 根據(jù)已知寫出方程）8求給定函數(shù)在某點的梯度，在某點沿某方向的方向?qū)?shù)；9求函數(shù)的極值、最大（?。┲?、條件極值；10證明多元函數(shù)在某點不可導(dǎo)

13、（不可微或?qū)Ш瘮?shù)不連續(xù)）。第10章 重積分一、二重積分1二重積分的概念 設(shè)是平面上的有界閉區(qū)域，是上有界函數(shù)。分割：把分割為個小區(qū)域：“近似”： ，作求和：取極限：記，當(dāng)有了實際意義，也相應(yīng)地有實際意義。例如，如果是質(zhì)量面密度，則二重積分就是的總質(zhì)量；當(dāng)是以為底的曲頂柱體的高度函數(shù)時，二重積分是此曲頂柱體的體積。2二重積分的性質(zhì)（1）線性性（2）可加性 如果分割成兩個區(qū)域和，則（3）單調(diào)性 如果則特別，如果則如果則其中是的面積。（4）中值定理 如果在上連續(xù)，則存在使其中是的面積。3二重積分的計算（1）直角坐標(biāo) X-型區(qū)域 其中，小邊界：；大邊界：。 y D x O a b Y-型區(qū)域其中，小邊

14、界：；大邊界：。(cyd) y d D c O x 如果是X-型區(qū)域，則（后積分） 如果是Y-型區(qū)域，則（后積分） 如果既是X-型區(qū)域又是Y-型區(qū)域，則哪個簡單就計算哪個。里層上下限總是外層積分變量的函數(shù)。 如果既不是X-型區(qū)域又不是Y-型區(qū)域，則需作適當(dāng)分割。（2）極坐標(biāo) 如果其中是的張角；是小邊界；是大邊界（右圖）。則（總是后積分） O （注意：面積元素多一個；當(dāng)包含原點時 ）。當(dāng)?shù)倪吔缡菆A弧或被積函數(shù)含有x2+y2時，用極坐標(biāo)積分比較簡單。 曲線極坐標(biāo)方程的求法：設(shè)曲線方程，則，解出。二、三重積分1三重積分的概念 設(shè)是空間的有界閉區(qū)域，是上有界函數(shù)。分割：把分割為個小區(qū)域：“近似”：，作

15、求和：取極限：記，當(dāng)f(x,y,z)有了實際意義，也相應(yīng)地有實際意義。例如，如果是質(zhì)量體密度，則三重積分就是的總質(zhì)量。2三重積分的性質(zhì)（1）線性性（2）可加性 如果分割成兩個區(qū)域和，則（3）單調(diào)性 如果則特別，如果則如果則其中是的體積。（4）中值定理 如果在上連續(xù)，則存在使其中是的體積。 z3三重積分的計算（1）直角坐標(biāo) v（i）二套一 設(shè)區(qū)域 其中，是在xy平面上的投影，小邊界：；大邊界：。（右圖）。則 y Dxyx（ii）一套二 設(shè)區(qū)域其中，是在z軸上的投影；是平面截的截口。則 d z v z c O yx 一般情況下用二套一方法計算；當(dāng)不含，或用極坐標(biāo)計算時不含，用一套二計算比較簡單。往

16、其它坐標(biāo)平面或坐標(biāo)軸投影完全類似。（2）柱面坐標(biāo)用柱面坐標(biāo)計算三重積分的方法：（i）先把三重積分寫成二套一（ii）再用極坐標(biāo)計算外層積分往其它坐標(biāo)平面投影完全類似。（3）球面坐標(biāo)（i）球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系（ii）主要掌握以下三種簡單情形：(a) 原點是的內(nèi)點。此時其中是的外邊界。(b) 的邊界在原點與xy平面相切，包含z軸正向。此時其中是的外邊界。(c) 是錐面與外邊界包圍。此時 不管是計算二重積分還是三重積分，如果區(qū)域邊界的表達(dá)式不一致，就要作適當(dāng)區(qū)域分割。里層上下限總是外層積分變量的函數(shù)。三、重積分的應(yīng)用1體積2曲面的面積其中是面積微分；是曲面在xy上的投影。 曲面表示成或時類似。3質(zhì)

17、心設(shè)區(qū)域的密度為，則的質(zhì)量質(zhì)心坐標(biāo)在平面情形少一個坐標(biāo)且為二重積分。4轉(zhuǎn)動慣量（1）平面情形 設(shè)區(qū)域的密度為，則轉(zhuǎn)動慣量（2）空間情形 設(shè)區(qū)域的密度為，則的轉(zhuǎn)動慣量5引力設(shè)區(qū)域的密度為，則對以外的質(zhì)量為的質(zhì)點的引力為其中的復(fù)雜性是由力的分解時乘引起的。計算時注意對稱性。四、 相關(guān)題目1用直角坐標(biāo)計算二重積分，當(dāng)邊界的表達(dá)式不一致時會適當(dāng)分割區(qū)域；知道什么時候用極坐標(biāo)計算簡單并會用極坐標(biāo)計算二重積分；2用直角坐標(biāo)計算三重積分，當(dāng)邊界的表達(dá)式不一致時會適當(dāng)分割區(qū)域；知道什么時候用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)計算簡單并會用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)坐標(biāo)計算三重積分；3用二重積分或三重積分計算幾何體的體積；4用二重積分

18、計算空間曲面的面積；5用二重積分或三重積分計算質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等物理應(yīng)用。第11章 曲線積分與曲面積分一、 曲線積分1 對弧長的曲線積分（1）概念 設(shè)是空間有界曲線，是上有界函數(shù)。分割：把分割為個小弧段：“近似”：，為弧的弧長，作求和：取極限：記當(dāng)有了實際意義，也相應(yīng)地有實際意義。例如，如果是質(zhì)量弧長密度，則曲線積分就是的總質(zhì)量。 平面曲線積分是空間曲線積分的特例。 （2）性質(zhì)（i）線性性（ii）曲線段可加性 把分割成兩段和，則（iii）單調(diào)性 如果在上有，則特別，如果在上有，則如果在上有，則其中是的弧長。（iv）中值定理 如果在上連續(xù)，則存在使其中是的弧長。（3）計算 設(shè)，則其中是

19、弧長微分。當(dāng)時就用作參數(shù)；類似地有時用或作參數(shù)。2 對坐標(biāo)的曲線積分（1）概念 設(shè)是空間有界的有向曲線，是始點是終點，是上有界向量函數(shù)。分割：把分割為個小弧段：“近似”：。設(shè)的長是，是在點與方向一致的單位切向量。作求和：取極限：記其中是與方向一致的單位切向量，。當(dāng)有了實際意義，也相應(yīng)地有實際意義。例如，如果是外力，則上面曲線積分就是質(zhì)點沿從運(yùn)動到外力做的功。 平面曲線積分是空間曲線積分的特例。 （2）性質(zhì)（i）線性性（ii）曲線段可加性 把分割成方向一致的兩段和，則（iii）方向性 如果記的反方向為，則其中。（iv）中值定理其中是的弧長。（3）計算（三個積分一個一個地計算） 設(shè) ，則當(dāng)時就用作

20、參數(shù)；類似地有時用或作參數(shù)。注意：和不管哪個大哪個小。 可以利用把三個積分互相轉(zhuǎn)化。如果垂直于軸則；垂直于軸則；垂直于軸，則。平面是空間的特例。二、 格林公式、第二類曲線積分與路徑無關(guān)、原函數(shù)1格林公式條件：在有界閉區(qū)域上無奇點。結(jié)論： 如果不封閉，添上簡單的使封閉，再用格林公式計算注意：要保持成為的正向邊界。如果在區(qū)域上有奇點，用很小的曲線把奇點挖掉再用格林公式。但要保持的方向成為新的的正向邊界。2第二類曲線積分與路徑無關(guān)前提：是單聯(lián)通區(qū)域；在上沒有奇點。結(jié)論：在內(nèi)與路徑無關(guān)（只與始終點有關(guān)）。 只要驗證了，就知道在內(nèi)與路徑無關(guān)，就可以選一條簡單的路徑計算積分。一般來說，平行于坐標(biāo)軸的折線最

21、簡單。3原函數(shù)前提：是單聯(lián)通區(qū)域；在上沒有奇點。結(jié)論：在內(nèi)是某原函數(shù)的全微分。此時（選平行于坐標(biāo)軸的折線計算曲線積分）。也可以用湊微分法求。 驗證了后，的通解為，其中。三、 曲面積分1對面積的曲面積分 設(shè)在有界曲面上有界。分割：把分割為小塊：“近似”：，作求和：取極限：記當(dāng)有了實際意義，也相應(yīng)地有實際意義。例如，如果是質(zhì)量面密度，則曲面積分就是的總質(zhì)量。（2）性質(zhì)（i）線性性（ii）可加性 把分割成兩片和，則（iii）單調(diào)性 如果在上有，則特別，如果在上有，則如果在上有，則其中是的面積。（iv）中值定理 如果在上連續(xù)，則存在使其中是的面積。（3）計算 設(shè)，則 設(shè)，則 設(shè)，則其中，分別是在xy，

22、xz，yz平面上的投影；是曲面的面積元素。2對坐標(biāo)的曲面積分 設(shè)在有界的有向曲面上有界。分割：把分割為小塊：“近似”：，設(shè)是在點與同向的單位法向量，作求和：取極限：記其中是與同向的單位法向量，。當(dāng)有了實際意義，也相應(yīng)地有實際意義。例如，如果是流體速度，則曲面積分就是流體在單位時間內(nèi)通過流向選定側(cè)的總體積。（2）性質(zhì)（i）線性性（ii）可加性 把分割成兩片和，方向一致，則（iii）方向性 如果記的反側(cè)為-，則其中，是面積元素向量。（iv）中值定理（3）計算（三個積分一個一個地計算） 設(shè)，則當(dāng)為上側(cè)時取+號，下側(cè)時取-號。 設(shè)，則當(dāng)為右側(cè)時取+號，左側(cè)時取-號。 設(shè)，則當(dāng)為前側(cè)時取+號，后側(cè)時取-

23、號。其中。分別是在xy，xz，yz平面上的投影。 可以利用把三個積分互相轉(zhuǎn)化。 如果垂直于xy平面，則。垂直于yz平面或zx平面類似。四、 高斯公式、散度、斯特克斯公式、旋度1高斯公式條件：在區(qū)域上無奇點。結(jié)論： 如果不封閉，添上簡單的使封閉，再用高斯公式計算注意：要保持成為的外側(cè)。如果在區(qū)域上有奇點，用很小的曲面把奇點挖丟再用高斯公式。但要保持的方向成為新的的外側(cè)。2散度向量函數(shù)在的散度是實數(shù)因此3斯特克斯公式條件：在曲面上無奇點。結(jié)論：可適當(dāng)選擇。4旋度向量函數(shù)在的旋度是向量因此五、 相關(guān)題目1計算第一、二類曲線積分；2用格林公式（補(bǔ)曲線、挖奇點）計算第二類曲線積分；3驗證第二類曲線積分與

24、路徑無關(guān)，然后選簡單曲線計算之；4已知某第二類曲線積分與路徑無關(guān)，求被積函數(shù)中的未知函數(shù)；5驗證某表達(dá)式是某原函數(shù)的全微分，并求原函數(shù)；6已知某表達(dá)式是某原函數(shù)的全微分，求表達(dá)式中的未知函數(shù)；7計算第一、二類曲面積分；8用高斯公式（補(bǔ)曲面、挖奇點）計算第二類曲面積分；9計算向量函數(shù)的散度、旋度。第13章 無窮級數(shù)一、常數(shù)項級數(shù)1常數(shù)項級數(shù)的概念形式地用加號把一個數(shù)列連起來 （1）稱為一個常數(shù)項級數(shù)。稱為一般項。一般項確定了級數(shù)也就確定了。 （1）的前項的和稱為（1）的部分和。級數(shù)是收斂還是發(fā)散的性質(zhì)稱為級數(shù)的收斂性。判定級數(shù)是否收斂稱為審斂。審斂是級數(shù)的核心內(nèi)容。2常數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（1）收斂也

25、收斂。如果，則和同斂散。（2）和都收斂也收斂。 三個級數(shù)、和，如果任意兩個收斂，則第三個也收斂；如果有一個發(fā)散，則至少有兩個發(fā)散。（3）級數(shù)的收斂性與前面有限項無關(guān)。（但級數(shù)的和有關(guān)。）（4）收斂的級數(shù)可以隨便添括號，不影響收斂性，也不影響和。（注意：逆不成立。）（5）收斂。（千萬注意：逆不成立。） 最常用是（5）的逆否：如果不存在或不是0，則發(fā)散。3熟記一些級數(shù)（1）等比級數(shù)（2）調(diào)和級數(shù)發(fā)散。但交錯級數(shù)收斂。（3）級數(shù)4常數(shù)項級數(shù)的審斂（1）正項級數(shù)審斂法 如果，則稱為正項級數(shù)。定理1 正項級數(shù)收斂它的部分和數(shù)列有上界。定理2（比較審斂法） 設(shè)和都是正項級數(shù)。如果， （*）則（i）收斂 收

26、斂；（ii）發(fā)散發(fā)散。（大項級數(shù)收斂則小項級數(shù)也收斂；小項級數(shù)發(fā)散則大項級數(shù)也發(fā)散。） 因為前有限項不影響級數(shù)的收斂性，與同斂散，所以（*）可改為， 定理3（比較審斂法） 設(shè)和都是正項級數(shù)，。（i）如果（是的高價無窮?。?，則收斂 收斂；（ii）如果（是的低價無窮?。?，則發(fā)散發(fā)散；（iii）如果（和是同價無窮?。?，則與同斂散。（常常用等比級數(shù)或級數(shù)與要審斂的級數(shù)比較。） 定理4（比值審斂法） 設(shè)是正項級數(shù)，。（i）如果，則收斂；（ii）如果，則發(fā)散；（iii）如果，此法無效。 定理4（根值審斂法） 設(shè)是正項級數(shù)，。（i）如果，則收斂；（ii）如果，則發(fā)散；（iii）如果，此法無效。 審斂正項級數(shù)

27、，當(dāng)可擴(kuò)大（縮?。┮稽c點得簡單級數(shù)時，用比較審斂法；當(dāng)是的簡單遞推時，用比值審斂法；當(dāng)是次冪時，用根值審斂法。定理5（積分審斂法） 設(shè)是正項級數(shù)，如果存在在單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)使得，則和同斂散。（2）交錯級數(shù)審斂法 如果且，則收斂。并且，（3）絕對審斂法收斂 收斂（絕對收斂）。 如果收斂但發(fā)散，則稱條件收斂。二、冪級數(shù)1函數(shù)項級數(shù)項是函數(shù)的級數(shù) （#）稱為函數(shù)項級數(shù)。如果收斂（發(fā)散），則稱為（#）的收斂（發(fā)散）點。集合稱為（#）的收斂域（可能為空集）。函數(shù)稱為（#）的和函數(shù)。函數(shù)稱為（#）的余項。2冪級數(shù)的收斂域和收斂半徑函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)。（1）對于任意冪級數(shù)，。定理1 對于任意冪級數(shù)，收斂

28、域都是以為中心的區(qū)間（可能是、全實數(shù)、開區(qū)間、閉區(qū)間或半開半閉的區(qū)間）。冪級數(shù)收斂域的可能性(iii)中的稱謂的收斂半徑，（ii）時收斂半徑，（i）時收斂半徑。和的收斂性要單獨審斂。冪級數(shù)在內(nèi)絕對收斂。 定理2 如果則的收斂半徑，即（2）求收斂半徑和收斂域的方法：（i）求收斂半徑；（ii）如果，分別討論和的收斂性；（iii）根據(jù)（i）和（ii）確定的收斂域。（3）連續(xù)性、逐項定積分、逐項求導(dǎo) 定理3 （i）和函數(shù)在收斂域上連續(xù)、可積；在中任意階可導(dǎo)；（ii）可以逐項定積分，（） （*）可以逐項求導(dǎo)，（） （*）并且，、（*）和（*）三級數(shù)有相同的收斂半徑。（但是，三級數(shù)在端點的收斂情況可能不同

29、。必要時要分別判定。）利用逐項定積分、逐項求導(dǎo)、四則運(yùn)算和一些已知的冪級數(shù)和函數(shù)，可以方便地求冪級數(shù)的和函數(shù)。當(dāng)要在點討論冪級數(shù)時，令利用關(guān)于的冪級數(shù)討論得到在點冪級數(shù)的結(jié)論。（4）把函數(shù)展開成冪級數(shù)若找到使在某區(qū)間內(nèi)則稱在內(nèi)函數(shù)展開成冪級數(shù)。 由定理3知，不是無限階可導(dǎo)的函數(shù)一定不能展開成冪級數(shù)。下面設(shè)無限階可導(dǎo)。（i）泰勒級數(shù)和麥克勞琳級數(shù)稱為在點的泰勒級數(shù)（不管是否收斂，也不管和函數(shù)是否）。當(dāng)時，稱為麥克勞琳級數(shù)。（ii）展開冪級數(shù)的唯一性根據(jù)逐項求導(dǎo)，如果在點能展開成冪級數(shù)，則這冪級數(shù)一定是在點的泰勒級數(shù)。（iii）展開定理定理4 設(shè)在點的泰勒公式能在點鄰域內(nèi)展開成（泰勒）冪級數(shù)的充要條件是在內(nèi)（iv）把展開成冪級數(shù)的方法 第一步 寫出的麥克勞琳級數(shù)第二步 在某個范圍內(nèi)證明則， 如果通過恒等變換、逐項求導(dǎo)、逐項積分、變量代換，利用已知的冪級數(shù)展開式寫出的冪級數(shù)，就不需要證明。這就是間接展開法。需要熟記一些常用展開式：， 如果要把f(x)展開成的冪級數(shù)，先作變換然后展開，最后代回。三、傅里葉級數(shù)1三角函數(shù)系及三角級數(shù)（1）三角函數(shù)系的正交性是指如下積分性質(zhì)，(2)函數(shù)項級數(shù) （*）稱