PDE數(shù)值計算的有限差分法

1、PDE數(shù)值計算的有限差分法圖像處理的PDE方法對給定的PDE往往很難求其解析解，尤其是在實際問題中，這就需要求助于數(shù)值計算以獲取該問題的近似解，常用的PDE數(shù)值方法有有限差分法、有限元法和譜法等，其中，有限差分法應(yīng)用得最為廣泛。因為待處理的圖像通常已經(jīng)是在二維空間中，按等采樣而得到的離散化數(shù)字圖像，這就自然構(gòu)成了有限差分法所需要的等分網(wǎng)格（Grid）。1、有限差分格式有限差分的基本思想是：利用相距有限距離的兩鄰點的函數(shù)值的差與兩點間距離的比值來近似函數(shù)對變量的偏導(dǎo)數(shù)。例如，用向前差分來近似對時間的偏導(dǎo)數(shù)，即對于空間中的一階偏導(dǎo)數(shù)，除上面的向前差分外，還有向后差分、中心差分等，如下：向前差分：后

2、向差分：中心差分：根據(jù)泰勒展開式，有因此可得說明向前差分和向后差分是一階精度的。同時，由于可得說明中心差分是二階精度的。當偏微分議程中含有二階偏導(dǎo)數(shù)時，同樣采用有限差分進行處理，先求出兩個半點處的一階偏導(dǎo)數(shù)中心差分，如下：，然后再利用這兩個一階差分，作一次中心差分，得：對于二階偏導(dǎo)數(shù)，同樣采用類似的方法來處理，如下：其中因此，2、顯式、隱式和半隱式方案以一維Burgers方程來說明幾種PDE的數(shù)值計算方案。首先建立如下圖所示的網(wǎng)格，然后利用上面的有限差分來近似其中的導(dǎo)數(shù)。（1）顯式方案。假定在時刻的函數(shù)值已經(jīng)求出，為了計算下一時刻的函數(shù)值。我們對左邊采用向前插分，右邊采用向前插分，則該方程可以

3、表示為即這樣可以直接計算出所有的層的未知數(shù)據(jù)。（2）隱式方案。如果在建立差分方程時，右邊所有與有關(guān)的全部采用層的數(shù)據(jù)，如上式可以改寫為：這樣一來，在為已知的條件下，得到了一個方程組，用來求解。隱式方案得到的方程組往往是非線性的，雖然可以采用某些方法求解，但相比顯式方案畢竟困難得多。它的主要優(yōu)點是穩(wěn)定性高。（3）半隱式方案。為了利用隱式方案的穩(wěn)定性，有時將其中的一部分數(shù)據(jù)使用層的數(shù)據(jù)，另外一部分采用層的數(shù)據(jù)，這樣的方案稱為半隱式。可以利用半隱式方案將非線性方程變?yōu)榫€性方程，在數(shù)值求解上容易得多，同時還具有高穩(wěn)定性的優(yōu)點，因而半隱式方案是使用較廣泛的一種數(shù)值方案。3、一致性、穩(wěn)定性與收斂性將有限差

4、分離散化，通過顯式、隱式或半隱式的方案，從一個偏微分方程得到一個代數(shù)方程組，根據(jù)初始條件，逐步計算出。問題：這樣計算的結(jié)果與實際的解有多大的差距？（1）一致性。將差分方程用有限差分表示出以后，會得到如下的形式：如果假設(shè)是PDE問題的真實解，用和替換上式中的左邊和右邊，則等式不再成立，其差值為稱之為截斷誤差。如果假設(shè)在第層是精確的，即（），代入差分方程后所得到與真實解之間的誤差。例如，對時間偏導(dǎo)采用向前差分，而對空間偏導(dǎo)采用中心差分，則所得到的截斷誤差可以表示為。不論差分方案是一階精度，還是更高階精度，它至少可以保證當時，有滿足該式的有限差分格式被稱為是一致的。（2）穩(wěn)定性。滿足一致性只是差分方

5、程的一個最基本的要求，它沒有考慮在多次迭代中誤差的積累和傳播性質(zhì)。當在迭代過程中所產(chǎn)生的誤差始終保持在足夠小的范圍之內(nèi)， 這種有限差分才是實現(xiàn)PDE的可用的數(shù)值方案。具有這種性質(zhì)的有限差分格式稱為穩(wěn)定的。對有限差分格式的穩(wěn)定性分析沒有普遍適用的格式，以Fourier分析作簡單的介紹。首先，對第層數(shù)據(jù)作序列Fourier變換（SFT），可得當序列平移時，根據(jù)SFT的性質(zhì)，有根據(jù)有限差分，可以得出利用SFT的性質(zhì)，可以求出層數(shù)據(jù)的SFT與第層數(shù)據(jù)的SFT這間的關(guān)系。當差分算子為線性算子時，這種關(guān)系可以表達為這說明，一次迭代計算可以看成是一個線性濾波，而就是算子數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)。進一步，利用迭代

6、算法的遞推性質(zhì)，可得該式表明，為使初始時的誤差不至于無限擴大，應(yīng)該要求例 考慮線性對流方程的穩(wěn)定性。，若對兩個偏導(dǎo)數(shù)都采用向前差分，則可得（1）其中稱為網(wǎng)格比。不失一般性，可取，此時網(wǎng)格比取決于時間步長。對（1）式兩邊做SFT得因此有進一步可得因此無論時間步長如何取值，只要，該方案都是不穩(wěn)定的。例 線性熱方程。采用顯式方案，有即其中。進行SFT變換得因此有因而當時，只要，則，方案是穩(wěn)定的。對于隱式方案和半隱式方案，可以采用同樣的方法分析其穩(wěn)定性。（3）收斂性。利用有限差分作數(shù)值計算時，同時需要關(guān)心的問題有：差分方程的解與偏微分方程的真實解之間，在任何網(wǎng)絡(luò)點的誤差在時，是否趨向0？如果有這一性質(zhì)

7、，則稱其為收斂的。對于收斂性的判斷較一致性和穩(wěn)定性更為復(fù)雜。我們直接套用一個結(jié)論：有限差分格式同時具有一致性和穩(wěn)定性等價于該差分格式具有收斂性。4、CFL條件其主要目的是討論PDE的穩(wěn)定性條件，例如討論為保證迭代的穩(wěn)定性對網(wǎng)格比提出的要求等。5、邊界條件的離散化實現(xiàn)方法討論PDE的定解問題時，發(fā)現(xiàn)PDE的定義域是一個開域，即不含邊界，的邊界用表示。有時將內(nèi)的點稱為內(nèi)點，將上的點稱為邊界點。只有內(nèi)點參與PDE計算，但在計算中需要用到邊界點的值。以下討論常用的第一類和第二類邊界條件的實現(xiàn)。（1）為矩形。對第一類邊界條件（Dirichlet條件），如果假定是的矩形，給定的（）可用四個一維數(shù)組來表示，分別是、，其中，定義如下：這樣，除四個角未確定外，已經(jīng)將擴大為的二維數(shù)組，如下：對于第二類邊界條件（Neumann條件），在矩形邊界的情況下，左邊界的法方向與軸一致，因此有因此有。右邊界的法方向與軸方向相反，因此有即。在實現(xiàn)第二類邊界條件的擴展時，邊界點的函數(shù)值是隨時間發(fā)生改變的，即使中不含有時間，它們也會隨內(nèi)點值的改變而改變，因此拓展要在每次迭代中進行，這一點區(qū)別于第一類邊界條件。那里，如果