2019-2020學(xué)年必修二圓的一般方程學(xué)案

1、學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.正確理解圓的方程的形式及特點(diǎn)，會(huì)由1.通過圓的一般方程的推導(dǎo)，提升邏輯推理、一般式求圓心和半徑.（重點(diǎn)）數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2.會(huì)在不冋條件下求圓的一般式方程.（重2.通過學(xué)習(xí)圓的一般方程的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)點(diǎn)）運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)自主預(yù)習(xí) q 探新Ml_匸新知初探匸圓的一般方程（1）圓的一般方程的概念：當(dāng) 八E2 4F0 時(shí)，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0 叫做圓的一般方程.（2）圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑：圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0 （D2+E 4F 0）表示的圓的圓心為二D豈，半 徑長為D2+E2 4F.思考：所有形如x2+y2+Dx+Ey+F

2、= 0 的二元二次方程都表示圓嗎？提示 不是，只有當(dāng)D2+E2 4F0 時(shí)才表示圓.匸初試身手匸1 .圓x2+y2 4x+ 6y= 0 的圓心坐標(biāo)是（)A. (2 , 3)B. (2,3)C. (2, 3)D. (2 ,-3)DD一=2,12 2= 3,圓心坐標(biāo)是（2 ,3.2. 方程x2+y2-x+y+k= 0 表示 個(gè)圓， 則:實(shí)數(shù)k的取值范圍為（)11A. g 2B.k= 211C.k2D.D 方程表示圓1? 1 + 1 4k0? 夕D 由題意知圓心坐標(biāo)是（1, 0），故所求直線方程為y=x+ 1，即xy+ 1 = 0.3 .經(jīng)過圓x2+ 2x+y2= 0 的圓心，且與直線x+y= 0

3、垂直的直線方程是()A.x+y+ 1 = 0B.x+y 1 = 0C.xy 1 = 0 D .xy+ 1= 04 .圓x4+y2+ 2x 4y+ m= 0 的直徑為 3，貝 Um的值為_ .11 廠22311 因（x+ 1） + （y 2） = 5m r=p5 rn= -,-0=-.合作探究。提素春卜類因1圓的一般方程的概念【例 1】(1)若x+y 4x+ 2y+ 5k= 0 表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.RB.(31)C. (,1D. 1,+8)(2)_ 已知a R,方程ax+ (a+ 2)y+ 4x+ 8y+ 5a= 0 表示圓，則圓心坐標(biāo)是 _ ,半徑是_ .(1) B (2) (

4、 2, 4)5(1)由方程x2+y2 4x+ 2y+ 5k= 0 可得(x 2)2+ (y+ 1)2= 55k，此方程表示圓，則 55k0，解得k0,成立則表示圓，否則不表示圓.(2) 將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解，應(yīng)用這兩種方法時(shí)，要注意所給方程 是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0 這種標(biāo)準(zhǔn)形式，若不是，則要化為這種形式再求解.跟蹤訓(xùn)痣1.下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑.2 2(1) 2x+y 7y+ 5= 0;4 2(4)2x+ 2y 5x= 0.解(1)T方程 2x2+y2 7y+ 5= 0 中x2與y2的系數(shù)不相同，它不能表示圓.(2)T方程x2xy+y2

5、+ 6x+ 7y= 0 中含有xy這樣的項(xiàng).它不能表示圓.(3) 方程x2+y2 2x 4y+ 10= 0 化為(x 1)2+ (y 2)2= 5,2 2(2)xxy+y+ 6x+ 7y= 0;2 2(3)x+y 2x 4y+ 10 = 0;它不能表示圓.(4)方程 2x2+ 2y2- 5x= 0 化為 jx-4+y2=4,它表示以 4,0 為圓心，5 為半徑長的圓.求圓的一般方程【例 2】 已知ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)為A(1 , 4),B( 2, 3) ,C(4 , - 5)，求ABC勺外接圓方程、外心坐標(biāo)和外接圓半徑.解法一：設(shè)厶ABC勺外接圓方程為2 2x+y+Dx+Ey+F= 0, A, B

6、, C 在圓上，卩 + 16+ D+ 4E+F= 0,4+ 9 2D+ 3E+F= 0, 16+ 25 + 4D- 5E+F= 0,D=- 2, E= 2,.F=- 23,. .22 ABC的外接圓方程為x+y-2x+ 2y-23= 0,即 (x- 1) + (y+ 1) = 25.外心坐標(biāo)為(1 , - 1)，外接圓半徑為 5.、丄一4-314 + 5法一：kAB= 1+2 = 3,kAC=百=-3,kABkAc=- 1, ABL AC ABC是以角A為直角的直角三角形，外心是線段BC的中點(diǎn)，丄 1坐標(biāo)為(1 , - 1) ,r=刁BQ= 5.外接圓方程為(x 1)2+ (y+ 1)2= 2

7、5.待定系數(shù)法求圓的方程的解題策略：(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題,般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法類型2求出常數(shù) D E、F.它跟蹤訓(xùn)練2 .求經(jīng)過點(diǎn)A 2, - 4)且與直線x+ 3y 26= 0 相切于點(diǎn)B(8 , 6)的圓的方程. 2 2解 設(shè)所求圓的方程為x+y+Dx+Ey+F= 0,即E 3D- 36= 0.- ( 2, 4) , (8 , 6)在圓上， 2D+ 4EF 20= 0,8D+ 6E+F+ 100 = 0.聯(lián)立，解得D= 11

8、 ,E= 3,F= 30,故所求圓的方程為x2+y2 11x+ 3y 30= 0.卜類戰(zhàn)3與圓有關(guān)的軌跡方程問題探究問題1已知點(diǎn)A 1, 0),B(1 , 0)，則線段AB的中點(diǎn)的軌跡是什么？其方程又是什么？提示線段AB的中點(diǎn)軌跡即為線段AB的垂直平分線，其方程為x= 0.2 .已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)(8 , 0)的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)(2 , 0)的距離的 2 倍，你能求出點(diǎn)M的軌 跡方程嗎？提示 設(shè)Mx,y),由題意有寸(X 8)2+y2=2yj(x 2)2+y2,整理得點(diǎn)M的軌跡方 程為x2+y2= 16.【例 3】 點(diǎn)A(2 , 0)是圓x2+y2= 4 上的定點(diǎn)，點(diǎn)B(1 , 1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P

9、, Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1) 求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程；(2) 若/PBQ=90，求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程.思路探究：(1) |設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo) 11 用P, A坐標(biāo)表示點(diǎn)M坐示T求軌跡方程設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)T探求點(diǎn)N的幾何條件T建方程則圓心坐標(biāo)為-D，E.E6+圓與x+ 3y 26= 0 相切于點(diǎn)D8+2化簡得軌跡方程解設(shè)線段AP的中點(diǎn)為Mx,y),由中點(diǎn)公式得點(diǎn)P坐標(biāo)為P(2x- 2, 2y).點(diǎn)P在圓x2+y2= 4 上，(2x 2)2+ (2y)2= 4, 故線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x 1)2+y2= 1.設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為Nx,y),在 Rt PBQ中, |PN= IBN|.設(shè)O為坐標(biāo)

10、原點(diǎn)，連接ON圖略)，貝 yONL PQ IOP2= |ON2+1PN2T ON2+ IBN2,x2+y2+ (x 1)2+ (y 1)2= 4,22故線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程為x+yxy 1 = 0.規(guī)律方廉求軌跡方程的一般步驟:(1) 建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y);(2) 列出點(diǎn)M滿足條件的集合；(3) 用坐標(biāo)表示上述條件，列出方程；(4) 將上述方程化簡；證明化簡后的以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是軌跡上的點(diǎn).働跟蹤訓(xùn)練3 .已知ABC的邊AB長為解以直線AB為x軸,AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系(如圖)，則A( 2, 0) ,B(2 ,0)，設(shè)C(x,y) ,BC中點(diǎn)Qxo,y。

11、).，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.4,=yo.2 2|AD= 3,.(Xo+ 2) +yo= 9.將代入，整理得(x+ 6)2+y2= 36.點(diǎn)C不能在x軸上，滬0.綜上，點(diǎn)C的軌跡是以(一 6, 0)為圓心，6 為半徑的圓，去掉(一 12, 0)和(0 , 0)兩點(diǎn).2 2軌跡方程為(x+ 6) +y= 36(y豐0).f2+x廠=x,0 +y2匸課堂小結(jié)二1.圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0,來源于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（xa）2+ （yb）2=r2.在應(yīng)用時(shí)，注意它們之間的相互轉(zhuǎn)化及表示圓的條件.2 圓的方程可用待定系數(shù)法來確定，在設(shè)方程時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)出方程，以便簡 化解題過程，體現(xiàn)數(shù)

12、學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3 涉及到的曲線的軌跡問題，要求作簡單的了解，能夠求出簡單的曲線的軌跡方程，并 掌握求軌跡方程的一般步驟.22. _ .1.方程 2x+ 2y 4x+ 8y+ 10= 0 表示的圖形是（）A. 個(gè)點(diǎn)B. 個(gè)圓C. 一條直線D.不存在2 2 2 2 2A 方程 2x+ 2y 4x+ 8y+ 10= 0，可化為x+y 2x+ 4y+ 5 = 0,即（x 1） + （y+ 2）2 2=0,.方程 2x+ 2y 4x+ 8y+ 10= 0 表示點(diǎn)（1 , 2）. 2 2 2 22 .點(diǎn)P（1 , 2）和圓C：x+y+mix+y+mi= 0 的位置關(guān)系是 _.點(diǎn)P在圓C外部 將點(diǎn)R1, 2）代入圓的方程，得 1 + 4 +m 2+m= 2m+ 30,二點(diǎn)P在圓C外部.3 .圓心是（一 3, 4），經(jīng)過點(diǎn)M5 , 1）的圓的一般方程為 _ .x2+y2+ 6x 8y 48= 0 只要求出圓的半徑即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再展開化為一般式方程即可.4 .若方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0 表示以(2 , 4)為圓心，4 為半徑的圓，則F=_(4)2+ 824F4由題意，知D=