圓錐曲線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、 圓錐曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)1橢圓（1）橢圓概念平面與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）（焦點(diǎn)在x軸上）或（）（焦點(diǎn)在y軸上）。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說(shuō)明橢圓位于直線(xiàn)，所圍成的矩形里；對(duì)稱(chēng)性：在曲線(xiàn)方程里，若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，所以曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，同理，以代替方程不變，則曲線(xiàn)

2、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)。若同時(shí)以代替，代替方程也不變，則曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心，橢圓的對(duì)稱(chēng)中心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線(xiàn)在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線(xiàn)與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線(xiàn)段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為和，和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比叫橢圓的離心率。，且越接近，就越接近，

3、從而就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2雙曲線(xiàn)（1）雙曲線(xiàn)的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線(xiàn)（）。注意：式中是差的絕對(duì)值，在條件下；時(shí)為雙曲線(xiàn)的一支；時(shí)為雙曲線(xiàn)的另一支（含的一支）；當(dāng)時(shí)，表示兩條射線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形；兩定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，叫做焦距。（2）雙曲線(xiàn)的性質(zhì)圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線(xiàn)在坐標(biāo)系中的圍：雙曲線(xiàn)在兩條直線(xiàn)的外側(cè)。即，即雙曲線(xiàn)在兩條直線(xiàn)的外側(cè)。對(duì)稱(chēng)性：雙曲線(xiàn)關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，雙曲線(xiàn)

4、的對(duì)稱(chēng)中心叫做雙曲線(xiàn)的中心。頂點(diǎn)：雙曲線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)。在雙曲線(xiàn)的方程里，對(duì)稱(chēng)軸是軸，所以令得，因此雙曲線(xiàn)和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)。令，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線(xiàn)和y軸沒(méi)有交點(diǎn)。1）注意：雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)），雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸：線(xiàn)段叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線(xiàn)段叫做雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)。漸近線(xiàn)：注意到開(kāi)課之初所畫(huà)的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線(xiàn)，這兩條直線(xiàn)即稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。從圖上看，雙曲線(xiàn)的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線(xiàn)逐漸接近。等軸雙曲線(xiàn)：1）定義：實(shí)軸和虛軸

5、等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)叫做等軸雙曲線(xiàn)。定義式：；2）等軸雙曲線(xiàn)的性質(zhì)：（1）漸近線(xiàn)方程為： ；（2）漸近線(xiàn)互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線(xiàn)的特征，則等軸雙曲線(xiàn)可以設(shè)為： ，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。注意與的區(qū)別：三個(gè)量中不同（互換）一樣，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。3拋物線(xiàn)（1）拋物線(xiàn)的概念平面與一定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)(定點(diǎn)F不在定直線(xiàn)l上)。定點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)。方程叫做拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)

6、坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線(xiàn)方程是；（2）拋物線(xiàn)的性質(zhì)一條拋物線(xiàn)，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線(xiàn)的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以與準(zhǔn)線(xiàn)方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)方程圍對(duì)稱(chēng)性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率說(shuō)明：（1）通徑：過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦稱(chēng)為通徑；（2）拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線(xiàn)，一條對(duì)稱(chēng)軸，無(wú)對(duì)稱(chēng)中心，沒(méi)有漸近線(xiàn)；（3）注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離。4. 高考數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)部分知識(shí)點(diǎn)梳理1、 方程的曲線(xiàn)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡

7、)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程；這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)。點(diǎn)與曲線(xiàn)的關(guān)系：若曲線(xiàn)C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線(xiàn)C上f(x0,y 0)=0；點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線(xiàn)C上f(x0,y0)0。兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)：若曲線(xiàn)C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點(diǎn)P0(x0,y0)是C1，C2的交點(diǎn)方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線(xiàn)就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，曲線(xiàn)就沒(méi)有交點(diǎn)。二、圓：1、定義：點(diǎn)集MOM

8、=r，其中定點(diǎn)O為圓心，定長(zhǎng)r為半徑.2、方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程：當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程不表示任何圖形.（3） 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則MCr點(diǎn)M在圓C，MC=r點(diǎn)M在圓C上，MCr

9、點(diǎn)M在圓C，其中MC=。（4） 直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系：直線(xiàn)和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線(xiàn)與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；直線(xiàn)與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)；直線(xiàn)與圓相離沒(méi)有公共點(diǎn)。直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線(xiàn)Ax+By+C=0的距離與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判定。三、圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義：平面的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線(xiàn)l的距離之 比是一個(gè)常數(shù)e(e0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線(xiàn)。其中定點(diǎn)F(c,0)稱(chēng)為焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l稱(chēng)為準(zhǔn)線(xiàn)，正常數(shù)e稱(chēng)為離心率。當(dāng)0e1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線(xiàn)；當(dāng)e1時(shí)，軌跡為雙曲線(xiàn)

10、。四、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)：橢圓雙曲線(xiàn)拋物線(xiàn)定義1到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2與定點(diǎn)和直線(xiàn)的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（0<e<1）1到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2與定點(diǎn)和直線(xiàn)的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（e>1）與定點(diǎn)和直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡.軌跡條件點(diǎn)集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a.點(diǎn)集：MMF1-MF2.=±2a,F2F22a.點(diǎn)集M MF=點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離.圖形方程標(biāo)準(zhǔn)方程(>0)(a>0,b>0)參數(shù)方

11、程(t為參數(shù))圍a£x£a，b£y£b|x| ³ a，yÎRx³0中心原點(diǎn)O（0，0）原點(diǎn)O（0，0）頂點(diǎn)(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)對(duì)稱(chēng)軸x軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2bx軸，y軸;實(shí)軸長(zhǎng)2a, 虛軸長(zhǎng)2b.x軸焦點(diǎn)F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)準(zhǔn) 線(xiàn)x=±準(zhǔn)線(xiàn)垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.x=±準(zhǔn)線(xiàn)垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的側(cè).x=-準(zhǔn)線(xiàn)與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.焦距2c （c=）2c （c=）離心率

12、e=1備注1雙曲線(xiàn)：等軸雙曲線(xiàn)：雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，離心率.共軛雙曲線(xiàn)：以已知雙曲線(xiàn)的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線(xiàn)，叫做已知雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn).與互為共軛雙曲線(xiàn)，它們具有共同的漸近線(xiàn)：.共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程：的漸近線(xiàn)方程為如果雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為時(shí)，它的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為.備注2拋物線(xiàn)：（1）拋物線(xiàn)=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程x=- ，開(kāi)口向右；拋物線(xiàn)=-2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程x=，開(kāi)口向左；拋物線(xiàn)=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,)，準(zhǔn)線(xiàn)方程y=-，開(kāi)口向上；拋物線(xiàn)=-2py（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-

13、），準(zhǔn)線(xiàn)方程y=，開(kāi)口向下.（2）拋物線(xiàn)=2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離；拋物線(xiàn)=-2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離（3）設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為=2px(p>0)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p.（4）已知過(guò)拋物線(xiàn)=2px(p>0)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB稱(chēng)為焦點(diǎn)弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長(zhǎng)=+p或(為直線(xiàn)AB的傾斜角)，(叫做焦半徑).五、坐標(biāo)的變換：（1）坐標(biāo)變換：在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施

14、坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線(xiàn)的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線(xiàn)的方程.（2）坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱(chēng)移軸。（3）坐標(biāo)軸的平移公式：設(shè)平面任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是（x,y)，在新坐標(biāo)系x Oy中的坐標(biāo)是.設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則 或叫做平移(或移軸)公式.（4） 中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線(xiàn)方程見(jiàn)下表： 方 程焦 點(diǎn)焦 線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸橢圓+=1(±c+h,k)x=±+hx=hy=k+ =1(h,±c+k)y=±+kx=

15、hy=k雙曲線(xiàn)-=1(±c+h,k)x=±+kx=hy=k-=1(h,±c+h)y=±+kx=hy=k拋物線(xiàn)(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h, +k)y=-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,- +k)y=+kx=h六、橢圓的常用結(jié)論：1. 點(diǎn)P處的切線(xiàn)PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2. PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線(xiàn)PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)

16、應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)相離.4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓切.5. 若在橢圓上，則過(guò)的橢圓的切線(xiàn)方程是.6. 若在橢圓外，則過(guò)作橢圓的兩條切線(xiàn)切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線(xiàn)方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式,( ,).9. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線(xiàn)與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.10. 過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和

17、A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF.11. AB是橢圓的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。12. 若在橢圓，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是；推論：1、若在橢圓，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是。橢圓（abo）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線(xiàn)交橢圓于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.2、過(guò)橢圓 (a0, b0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線(xiàn)交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線(xiàn)BC有定向且（常數(shù)）.3、若P為橢圓（ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則.4、設(shè)橢圓（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.5

18、、若橢圓（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線(xiàn)為L(zhǎng)，則當(dāng)0e時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)距離d與PF2的比例中項(xiàng).6、P為橢圓（ab0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立.7、橢圓與直線(xiàn)有公共點(diǎn)的充要條件是.8、已知橢圓（ab0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9、過(guò)橢圓（ab0）的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線(xiàn)交x軸于P，則.10、已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn), 則.

19、11、設(shè)P點(diǎn)是橢圓（ ab0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .12、設(shè)A、B是橢圓（ ab0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13、已知橢圓（ ab0）的右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于A(yíng)、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線(xiàn)上，且軸，則直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)線(xiàn)段EF 的中點(diǎn).14、過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線(xiàn)必與切線(xiàn)垂直.15、過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)交相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線(xiàn)必與焦半徑互相垂直.16、橢圓焦三角形中,點(diǎn)到一焦

20、點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的、外角平分線(xiàn)與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為、外點(diǎn).）17、橢圓焦三角形中,心將點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線(xiàn)段分成定比e.18、橢圓焦三角形中,半焦距必為、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).七、雙曲線(xiàn)的常用結(jié)論：1、點(diǎn)P處的切線(xiàn)PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的角.2、PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的角，則焦點(diǎn)在直線(xiàn)PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)相交.4、以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（切：P在右支；外切：P在左支）5、若在雙曲線(xiàn)（a0,b0）上，則過(guò)的雙

21、曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程是.6、若在雙曲線(xiàn)（a0,b0）外 ，則過(guò)Po作雙曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線(xiàn)方程是.7、雙曲線(xiàn)（a0,bo）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)角形的面積為.8、雙曲線(xiàn)（a0,bo）的焦半徑公式：( , ）當(dāng)在右支上時(shí)，,；當(dāng)在左支上時(shí)，,。9、設(shè)過(guò)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)F作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.10、過(guò)雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線(xiàn)實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N

22、，則MFNF.11、AB是雙曲線(xiàn)（a0,b0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。12、若在雙曲線(xiàn)（a0,b0），則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13、若在雙曲線(xiàn)（a0,b0），則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.推論：1、雙曲線(xiàn)（a0,b0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.2、過(guò)雙曲線(xiàn)（a0,bo）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于B,C兩點(diǎn)，則直線(xiàn)BC有定向且（常數(shù)）.3、若P為雙曲線(xiàn)（a0,b0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則（或）.4、設(shè)雙曲線(xiàn)（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,

23、P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.5、若雙曲線(xiàn)（a0,b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線(xiàn)為L(zhǎng)，則當(dāng)1e時(shí)，可在雙曲線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)距離d與PF2的比例中項(xiàng).6、P為雙曲線(xiàn)（a0,b0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線(xiàn)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)且和在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.7、雙曲線(xiàn)（a0,b0）與直線(xiàn)有公共點(diǎn)的充要條件是.8、已知雙曲線(xiàn)（ba 0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線(xiàn)上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9、過(guò)雙曲線(xiàn)（a0,b0）的右焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交該雙曲線(xiàn)的右支于M,N

24、兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線(xiàn)交x軸于P，則.10、已知雙曲線(xiàn)（a0,b0）,A、B是雙曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn), 則或.11、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線(xiàn)（a0,b0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .12、設(shè)A、B是雙曲線(xiàn)（a0,b0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是雙曲線(xiàn)的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13、已知雙曲線(xiàn)（a0,b0）的右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于A(yíng)、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線(xiàn)上，且軸，則直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)線(xiàn)段EF 的中點(diǎn).14、過(guò)雙曲線(xiàn)焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線(xiàn)必與切線(xiàn)垂直.15、過(guò)雙曲線(xiàn)焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)交相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線(xiàn)必與焦半徑互相垂直.16、雙曲線(xiàn)焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線(xiàn)焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的、外角平分線(xiàn)與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為、外點(diǎn)).17、雙曲線(xiàn)焦三角形中,其焦點(diǎn)所