數(shù)值傳熱學陶文銓主編第二版習題答案

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上數(shù)值傳熱學4-9章習題答案h,Tf321習題42一維穩(wěn)態(tài)導熱問題的控制方程：依據(jù)本題給定條件，對節(jié)點2采用二階精度的中心差分格式，節(jié)點3采用第三類邊界條件具有二階精度的差分格式，最后得到各節(jié)點的離散方程：節(jié)點1：節(jié)點2：節(jié)點3：求解結果：，對整個控制容積作能量平衡，有：即：計算區(qū)域總體守恒要求滿足習題45在42習題中，如果，則各節(jié)點離散方程如下：節(jié)點1：節(jié)點2：節(jié)點3：對于節(jié)點3中的相關項作局部線性化處理，然后迭代計算；求解結果：，（迭代精度為10-4）迭代計算的Matlab程序如下：x=30;x1=20;while abs(x1-x)0.0001 a=1 0 0;5

2、 -10 5;0 -1 1+2*(x-20)(0.25); b=100;-150; 15+40*(x-20)(0.25); t=a(-1)*b; x1=x; x=t(3,1);endtcal=t習題4-12的Matlab程序%代數(shù)方程形式AiTi=CiTi+1+BiTi-1+Dimdim=10;%計算的節(jié)點數(shù)x=linspace(1,3,mdim);%生成A、C、B、T數(shù)據(jù)的基數(shù)；A=cos(x);%TDMA的主對角元素B=sin(x);%TDMA的下對角線元素C=cos(x)+exp(x); %TDMA的上對角線元素T=exp(x).*cos(x); %溫度數(shù)據(jù)%由A、B、C構成TDMAco

3、ematrix=eye(mdim,mdim);for n=1:mdim coematrix(n,n)=A(1,n); if n=2 coematrix(n,n-1)=-1*B(1,n); end if nmdim coematrix(n,n+1)=-1*C(1,n); endend%計算D矢量D=(coematrix*T);%由已知的A、B、C、D用TDMA方法求解T%消元P(1,1)=C(1,1)/A(1,1);Q(1,1)=D(1,1)/A(1,1);for n=2:mdim P(1,n)=C(1,n)/(A(1,n)-B(1,n)*P(1,n-1); Q(1,n)=(D(1,n)+B(1

4、,n)*Q(1,n-1)/(A(1,n)-B(1,n)*P(1,n-1);end%回迭Tcal(1,mdim)=Q(1,mdim);for n=(mdim-1):-1:1 Tcal(1,n)=P(1,n)*Tcal(1,n+1)+Q(1,n);endTcom=T;Tcal;%繪圖比較給定T值和計算T值plot(Tcal,r*)hold onplot(T)結果比較如下，由比較可知兩者值非常切合（在小數(shù)點后8位之后才有區(qū)別）：節(jié)點1節(jié)點2節(jié)點3字段4字段5字段6字段7字段8字段9字段10T的初始值1.1.-.-2.-4.-7.-10.72954-15.03053-19.T的計算值 1.1.-.-2

5、.-4.-7.-10.72954-15.03053-19.習題4-14充分發(fā)展區(qū)的溫度控制方程如下：對于三種無量綱定義、進行分析如下1）由得：由可得：由與無關、與無關以及、的表達式可知，除了均勻的情況外，該無量綱溫度定義在一般情況下是不能用分離變量法的；2）由得：由可得：由與無關、與無關以及、的表達式可知，在常見的四種邊界條件中除了軸向及周向均勻熱流的情況外，有，則該無量綱溫度定義是可以用分離變量法的；3）由得：由可得：同2）分析可知，除了軸向及周向均勻熱流的情況外，有，該無量綱溫度定義是可以用分離變量法的；習題4181）采用柱坐標分析，寫出統(tǒng)一的穩(wěn)態(tài)柱坐標形式動量方程：RLq=0圖424、和

6、分別是圓柱坐標的3個坐標軸，、和分別是其對應的速度分量，其中是管內的流動方向；對于管內的層流充分發(fā)展有：、，；并且方向的源項：方向的源項：方向的源項：由以上分析可得到圓柱坐標下的動量方程：方向：方向：方向：邊界條件：，；對稱線上，不考慮液體的軸向導熱，并簡化分析可以得到充分發(fā)展的能量方程為：邊界條件：，；，2）定義無量綱流速：并定義無量綱半徑：；將無量綱流速和無量綱半徑代入方向的動量方程得：上式化簡得：邊界條件：，；對稱線上，定義無量綱溫度：其中，是折算到管壁表面上的平均熱流密度，即：；由無量綱溫度定義可得：將表達式和無量綱半徑代入能量方程得：化簡得：（1）由熱平衡條件關系可以得：將上式代入式

7、（1）可得：邊界條件：，；，；，單值條件：由定義可知：且：即得單值性條件：3）由阻力系數(shù)及定義有：且：521一維穩(wěn)態(tài)無源項的對流擴散方程如下所示：（取常物性）邊界條件如下：上述方程的精確解如下：2將分成20等份，所以有：圖示如下： 1 2 3 4 5 6 17 18 19 20 21對于中心差分、一階迎風、混合格式和QUICK格式分別分析如下：1） 中心差分中間節(jié)點： 2） 一階迎風中間節(jié)點：3） 混合格式當時，中間節(jié)點：當時，中間節(jié)點： 4） QUICK格式 數(shù)值計算結果與精確解的計算程序如下：%except for HS, any other scheme doesnt take Pe2

8、b(n,:)=repmat(0,1,mdim); c(n,:)=repmat(1,1,mdim); d(n,1)=y0; elseif t10-10 if counter=1 yval5com=TDMA(a,b,c,d,mdim); end for nn=1:size(tt,2) for nnn=1:mdim if nnn=1 d(nn,nnn)=(6*yval5com(nn,nnn)-3*y0-3*yval5com(nn,nnn+1)*tt(1,nn)/(8*(2+tt(1,nn)+(1+tt(1,nn)/(2+tt(1,nn)*y0); elseif nnn=2 d(nn,nnn)=(5*

9、yval5com(nn,nnn)-3*yval5com(nn,nnn+1)-yval5com(nn,nnn-1)-y0)*tt(1,nn)/(8*(2+tt(1,nn); elseif nnn=mdim d(nn,nnn)=(5*yval5com(nn,nnn)-3*yL-yval5com(nn,nnn-1)-yval5com(nn,nnn-2)*tt(1,nn)/(8*(2+tt(1,nn)+(1/(2+tt(1,nn)*yL); else d(nn,nnn)=(5*yval5com(nn,nnn)-3*yval5com(nn,nnn+1)-yval5com(nn,nnn-1)-yval5c

10、om(nn,nnn-2)*tt(1,nn)/(8*(2+tt(1,nn); end end end yval5=TDMA(a,b,c,d,mdim); temp=yval5; yval5=yval5com; yval5com=temp; counter=counter+1;endyval5=yval5com;yval5=repmat(1,size(tt,2),1),yval5,repmat(2,size(tt,2),1);Fig(4,X,yval1,yval5,tt);title(QUICK Vs. Exact Solution)%-TDMA SubFunction-function y=TD

11、MA(a,b,c,d,mdim)%form a b c d resolve yval2 by using TDMA%eliminationp(:,1)=b(:,1)./a(:,1);q(:,1)=d(:,1)./a(:,1);for n=2:mdim p(:,n)=b(:,n)./(a(:,n)-c(:,n).*p(:,n-1); q(:,n)=(d(:,n)+c(:,n).*q(:,n-1)./(a(:,n)-c(:,n).*p(:,n-1);end%iterativey(:,mdim)=q(:,mdim);for n=(mdim-1):-1:1 y(:,n)=p(:,n).*y(:,n+1

12、)+q(:,n);end%-ResultCom SubFunction-function y=ResultCom (a,b,c)for n=1:max(size(c,2) y(2*n-1,:)=a(n,:); y(2*n,:)=b(n,:);end%-Fig SubFunction-function y=Fig(n,a,b,c,d)figure(n);plot(a,b);hold onplot(a,c,*);str=legend(;for n=1:size(d,2) if n=size(d,2) str=strcat(str,Pe=,num2str(d(1,n),); else str=str

13、cat(str,Pe=,num2str(d(1,n),); endendeval(eval(str);精確解與數(shù)值解的對比圖，其中邊界條件給定，。為了對比明顯，給出的是的數(shù)值解與精確解的對比：由圖可以看出，QUICK和CD格式的計算精度較高，但兩種格式都只是條件穩(wěn)定；HS和FUS格式絕對穩(wěn)定，但FUS的精度較低；53乘方格式：當時有：因為：所以：由系數(shù)關系式可得：且： 當采用隱式時，因此可得：同理可得當時有：，55二維穩(wěn)態(tài)無源項的對流擴散問題的控制方程：對于一階迎風、混合、乘方格式的通用離散方程：其中：571）QUICK格式的界面值定義如下：對（51）式積分可得：對流項采用QUICK格式的界面

14、插值，擴散項采用線性界面插值，對于及均分網(wǎng)格有：整理得：上式即為QUICK格式離散得到的離散方程；2）要分析QUICK格式的穩(wěn)定性，則應考慮非穩(wěn)平流方程：在時間間隔內對控制容積作積分：得：隨時間變化采用階梯顯式，隨空間變化采用QUICK格式得：整理得：對于初始均勻零場，假設在點有一個擾動；對點寫出QUICK格式的離散方程：可得：對點分析可得：由于擴散對擾動的傳遞恒為正，其值為，所以根據(jù)符號不變原則有：整理得到QUICK格式的穩(wěn)定性條件為：591）三階迎風格式采用上游兩個節(jié)點和下游一個節(jié)點的值來構造函數(shù)界面插值形式，所以定義如下：根據(jù)上述定義，在時對控制容積內的對流項作積分平均可得：由表21式可

15、知三階迎風格式的差分格式：由控制容積積分法得到的對流項離散格式應與Taylor離散展開得到的離散格式具有相同的形式和精度，所以比較可得：所以三階迎風格式的函數(shù)插值定義為：2）由上述分析可知，得到的三階迎風格式的插值定義與給出節(jié)點上導數(shù)表達式的定義在形式上顯然是一致的；61二維直角坐標中不可壓縮流體的連續(xù)方程及動量方程如下：假設常粘性，則；對公式（2）及（3）分別對求偏導得：兩式相加得并變換積分順序有：利用連續(xù)方程有：最后即得：64假設，則有：由連續(xù)性條件有：按SIMPLE算法有：將上兩式代入連續(xù)性方程中有：計算得：所以： 65假設，所以各點的流量為：上述流量滿足動量方程，但并不滿足連續(xù)性方程，

16、所以對流量修正：對節(jié)點3作質量守恒有：即得：對節(jié)點3作質量守恒有：即得：聯(lián)立求解上兩式有：，修正后的壓力為：修正后的流量為：由71Matlab計算程序a=1 2 -2;1 1 1;2 2 1;%the CoeMatrixb=1;3;5;inum=10;%the number of iterationtjacobi=zeros(3,inum+1);tgs=zeros(3,inum+1);%jacobi iterationfor n=2:inum+1 for m=1:size(a,1) tjacobi(m,n)=(-1*sum(a(m,:).*tjacobi(:,n-1)+a(m,m)*tjaco

17、bi(m,n-1)+b(m,1)/a(m,m); endend%g-s iterationfor n=2:inum+1 for m=1:size(a,1) if m=1 tgs(m,n)=(-1*sum(a(m,2:end).*tgs(2:end,n-1)+b(m,1)/a(m,m); elseif m=size(a,1) tgs(m,n)=(-1*sum(a(m,1:m-1).*tgs(1:m-1,n)+b(m,1)/a(m,m); elsetgs(m,n)=(-1*sum(a(m,1:m-1).*tgs(1:m-1,n)-sum(a(m,m+1:end).*tgs(m+1:end,n-1)

18、+b(m,1)/a(m,m); end endend計算結果：Jacobi Iteration初值迭代1迭代2迭代3迭代4迭代5迭代6迭代7迭代8迭代9迭代10T101511111111T203-311111111T305-311111111G-S Iteration初值迭代1迭代2迭代3迭代4迭代5迭代6迭代7迭代8迭代9迭代10T101-5-23-71-191-479-1151-2687-6143-13823T2029298120951312172817640114337T30-1-3-7-15-31-63-127-255-511-102374常物性無內熱源的穩(wěn)態(tài)導熱方程如下：對上式在控制

19、容積內積分，界面采用線性插值可得：下邊界采用補充節(jié)點法，可得到二階精度的邊界條件離散格式：由可得：由上述分析可得待求四個節(jié)點的離散方程：分別用71習題中的Jacobi、GS迭代程序求解得：Jacobi iteration初值迭代1迭代2迭代3迭代4迭代27迭代28迭代29迭代30T1017.521.87524.26.4019128.28.28.28.73684T2012.517.20.22.24.24.24.24.T30511.15.17.20.20.20.20.T403.9.13.15.18.18.18.18.G-S iteration初值迭代1迭代2迭代3迭代4迭代16迭代17迭代18迭代

20、19T1017.524.27.28.2378228.28.28.28.T2016.87521.23.23.24.24.24.24.T3010.17.19.20.20.20.6842120.6842120.68421T4012.16.17.18.18.18.18.18.由上述計算結果可知，Jacobi迭代的速度比GS迭代的速度要慢；76GS點迭代時，各節(jié)點的離散方程如下示：GS點迭代求解可得：初值迭代1迭代2迭代3迭代4迭代13迭代14迭代15迭代16T1012.524.062530.31.32.32.32.532.5T2025.62538.2812541.42.42.42.542.542.5T

21、3020.62533.2812536.37.37.37.537.537.5T4039.062545.46.47.47.47.547.547.5當使用GS線迭代時，選擇自上而下的迭代，各點離散方程：在求解時，自上而下同時求解，即1、2；3、4節(jié)點方程直接求解；GS線迭代求解程序：a=1 -1/4 0 0;-1/4 1 0 0;-1/4 0 1 -1/4;0 -1/4 -1/4 1;b=50/4;90/4;70/4;110/4;inum=30;%the number of iterationtline=zeros(size(a,1),inum+1);temp=tline(:,1);for n=2:

22、inum+1 b1=b+temp; tline(1:2,n)=a(1:2,1:2)b1(1:2,1); b1(3:4,1)=b1(3:4,1)+1/4*tline(1:2,n); tline(3:4,n)=a(3:4,3:4)b1(3:4,1); temp=1/4*tline(3,n);1/4*tline(4,n);0;0;end結果如下：初值迭代1迭代2迭代3迭代6迭代7迭代8迭代9迭代10T1019.30.32.32.4997632.32.32.532.5T2027.40.42.42.4997642.42.42.542.5T3032.36.37.37.4999237.37.37.537.5

23、T4042.46.47.47.4999247.47.47.547.5由上述計算比較可知，線迭代的收斂迭代次數(shù)少于點迭代算法，但線迭代在每個塊中采用直接求解，所以計算步驟要多于點迭代，因此兩種算法的計算速度不能簡單以收斂次數(shù)衡量，對于線迭代要綜合考慮塊間直接計算與收斂迭代次數(shù)；與例1相比，兩者相差體現(xiàn)在邊界條件的給定，但兩者的四角溫度之和相等，最終兩者計算結果相同，可以解釋如下：邊界條件的傳入是通過相關的內節(jié)點實現(xiàn)的，所以當某一內節(jié)點相關的邊界條件溫度值之和相等時可以視作同一條件，因為對該內節(jié)點而言，I類邊界條件的影響效果可以線性疊加；78證明對于題中給出的線性方程組可以用矩陣記為：因為系數(shù)矩陣可以分解成：其中分別主對角陣、嚴格下三角陣和嚴格上三角陣：采用上述記號，則Jacobi迭代與GS迭代可以分別記作：Jacobi：進一步可化為：，是單位陣；GS：進而可得：由上述分析可知，Jacobi、GS迭代的公式均屬于形如：對于某一輪引入的誤差矢量，其迭代公式如下（令）：對于Jacobi迭代，并由嚴格對角占優(yōu)條件可得：對于Jacobi迭代，誤差傳遞有如下關系：所以Jacobi迭代過程中，當嚴格對角占優(yōu)滿足時，誤差傳遞是衰減的；對于GS迭代，采用類似分析可得：所以GS迭代過程中，如果滿足嚴格對角占優(yōu)，誤差傳遞也是衰減的；證畢。82在原始變量法中，連續(xù)方程及動量方程如下：方程求