課第08章03節(jié)向量的乘法運(yùn)算

1、第3節(jié)向量的乘法運(yùn)算3.1兩向量的數(shù)量積設(shè)物體在常力的作用下沿直線從點(diǎn)移到點(diǎn)，用表示位移向量，力在位移方向上的分力大小為，則力所作的功為：圖3.1我們把這種運(yùn)算規(guī)則推廣到一般向量如下定義3.1 設(shè)是兩向量，且它們之間的夾角為，稱數(shù)為向量與的數(shù)量積，并記作，即 (3.1)向量的數(shù)量積也稱為（向量的）點(diǎn)積或（向量的）內(nèi)積由此定義，力所做的功實(shí)際上是力與位移的數(shù)量積，即由于時(shí),是在向量上的投影,故(3.1)可表示為類似地,時(shí)有這表明：若兩向量至少有一非零向量,則它們的數(shù)量積等于其中非零向量的模與另一向量在此非零向量上的投影的乘積思考題：1如何用，表示？（。）由數(shù)量積的定義出發(fā)可推得以下結(jié)論:(1)；

2、證事實(shí)上，與的夾角， 故若向量，的夾角,則稱向量與正交(或垂直).記作.(2)的充要條件是（垂直條件）；證當(dāng)向量，中有一個(gè)為時(shí),結(jié)論顯然成立.不妨設(shè)，均非,則（而）（又）(3)(交換律)；事實(shí)上，(4)(分配律)；證當(dāng)向量為時(shí),結(jié)論顯然成立.不妨設(shè)為非。根據(jù)向量投影的線性性， (5)(數(shù)乘向量的結(jié)合律) 證當(dāng)向量，中有一個(gè)為時(shí),結(jié)論顯然成立.不妨設(shè)，均非。根據(jù)向量投影的線性性，思考題：2如果向量與任意向量都正交,則是一個(gè)怎樣的向量? （零向量。）3對(duì)于三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)向量，其中任一向量與另外兩者之一的數(shù)量積等于何值？（0）又，它與自身的數(shù)量積等于何值？（1）以上是數(shù)量積的幾何內(nèi)容。下面把這些內(nèi)容翻譯成

3、坐標(biāo)表示。由數(shù)量積的性質(zhì)不難推導(dǎo)出用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積的表示式設(shè)，則 (3.2)（兩向量的數(shù)量積等于對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積加起來(lái)）事實(shí)上，有由數(shù)量積的定義, 若，則與之間的夾角滿足 (3.3)若，則 (3.4)顯然, 設(shè)向量,垂直條件又可以表示為的充分必要條件是【例3.1】 已知三點(diǎn)，和，求向量與之間的夾角解，而，故 .【例3.2】 設(shè)液體流過(guò)平面上面積為的一個(gè)區(qū)域，液體在該區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為常向量，設(shè)為垂直于的單位向量，計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)該區(qū)域流向所指向一側(cè)的液體的質(zhì)量 (設(shè)液體的密度為常數(shù))圖3.3解單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)區(qū)域的液體形成一個(gè)底面積為，斜高為的斜柱體，且斜高與底面垂線的夾角即為向量與之間的夾角

4、(圖3.3)所以，該斜柱體的高為，即在上的投影,故斜柱體的體積為 ，從而，單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)區(qū)域流向所指一方的液體的質(zhì)量為顯然，若，即垂直于平面時(shí)，【例3.3】 設(shè)證明不等式(Cauchy-Schwarz不等式):.證設(shè)向量,由于,故將的坐標(biāo)代入上式即得所要證明的不等式又,若平行,則上式成為等式思考題：4試用向量方法證明余弦定理并由此導(dǎo)出向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示式.證 作如圖3.3.1，則.注意到，圖3.3.13.2 (測(cè))兩向量的向量積我們定義向量的另一種乘法運(yùn)算定義3.2 設(shè)向量,規(guī)定向量與的向量積為一新的向量,記作，它的模與方向分別為(1) ， (2) 同時(shí)垂直于與,且,滿足右手規(guī)則，即右手的

5、四個(gè)手指從的正向以不超過(guò)的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向的正向握拳時(shí)，大拇指的指向就是的方向.向量的向量積又常稱作向量的叉積或外積不難看出,兩向量的向量積有如下的幾何意義:的模: 圖3.5即模表示以與為邊的平行四邊形的面積(圖3.5)的方向:由定義知,與和所確定的平面相垂直.由定義,容易推得,對(duì)任意向量,有；.此外,不作證明地給出向量積的如下運(yùn)算律: 對(duì)任意向量,及任意實(shí)數(shù)，(1) (分配律),；(2)；(3) (數(shù)乘結(jié)合律)利用向量積的定義,我們還可得到兩向量平行的另一個(gè)充分必要條件:設(shè)兩向量,，則的充分必要條件是事實(shí)上，若,中有一個(gè)為零向量,則命題顯然成立.若,均非零向量,由于等價(jià)于,即,又,故上式等價(jià)于,即或

6、,亦即.下面導(dǎo)出用坐標(biāo)計(jì)算向量積的表示式：設(shè)，則有注意到,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)單位向量,有；，于是，有 (3.5)引入行列式記號(hào),即有 (3.6)（二階行列式。懂三階行列式的同學(xué)記住（3.7）簡(jiǎn)單一些，懂二階行列式的同學(xué)記?。?.6），不懂行列式的同學(xué)記?。?.5）。注意足標(biāo)的排列規(guī)律?。┗?(3.7)思考題：5試根據(jù)向量積的定義及坐標(biāo)表示式導(dǎo)出兩向量,的夾角公式.6試給出兩向量平行的充分必要條件的坐標(biāo)表示式,并與第2節(jié)中有關(guān)結(jié)論進(jìn)行比較.【例3.4】 設(shè)是空間中過(guò)點(diǎn)，的直線,點(diǎn)是空間一點(diǎn)，試求點(diǎn)到直線的距離.解作向量.如圖3.6所示，點(diǎn)到直線的距離是以為鄰邊的平行四邊形的高.但因?yàn)楸硎驹撈叫兴倪呅蔚拿娣e

7、,因此圖3.6，,，故所求距離 *【例3.5】 設(shè)剛體以等角速度繞軸旋轉(zhuǎn),計(jì)算剛體上點(diǎn)的線速度.圖3.7解剛體旋轉(zhuǎn)時(shí), 可用旋轉(zhuǎn)軸上的向量表示角速度,它的大小,它的方向按右手法則定出:以右手握住軸,當(dāng)四指的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與剛體的轉(zhuǎn)向一致時(shí),豎起的大拇指的指向就是的方向(圖3.7)設(shè)點(diǎn)到軸的距離為,任取軸上一點(diǎn)記為,并記, 若用表示與的夾角,則有.由物理學(xué)知識(shí), 線速率與角速率有關(guān)系:，即，又注意到垂直于和,且,符合右手法則,因此得圖3.8【例3.6】 試用向量方法證明正弦定理:設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為,則.證作及向量，如圖3.8所示，由,從而，即，故 .3.3 向量的混合積設(shè)有三個(gè)向量，與，則為一向量，因此

8、是一數(shù)量,于是我們可引入如下混合積的概念.定義3.3 設(shè)有三個(gè)向量，與，先作向量積，再作與的數(shù)量積，這樣得到的數(shù)稱為三向量，的混合積，記作或*現(xiàn)推導(dǎo)向量的混合積的坐標(biāo)表示式設(shè)，則 (3.8)利用混合積的定義,不難得到: (3.9)計(jì)算混合積的方法：（1）先計(jì)算；（2）再計(jì)算。圖3.9向量的混合積有明顯的幾何意義：對(duì)向量，,以，和為棱作平行六面體(圖3.9),則是平行六面體的底面積,又垂直于，所在的底面,若以表示與的夾角, 則當(dāng)時(shí), 該平行六面體的高,于是,表示平行六面體的體積而當(dāng)時(shí)，因此，表示以，,為棱的平行六面體的體積思考題：7試?yán)孟蛄康幕旌戏e的幾何意義給出三向量，共面的一個(gè)充要條件（三向

9、量，共面的充要條件：。）【例3.7】 求以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的體積.解由立體幾何知識(shí), 四面體的體積是以為相鄰三棱的平行六面體體積的六分之一, 由向量的混合積的幾何意義,即有由條件，易求得,于是故 *【例3.8】 證明二重向量積公式:證設(shè)，則,若記,則,類似地,還可證明,故習(xí)題83A類1. 設(shè)，求(1);(2);(3);(4);(5).2.設(shè),求(1);(2);(3);(4).3.已知，求：(1) 同時(shí)與及垂直的單位向量；解 所求的單位向量有二：。(2) 的面積；(3) 從頂點(diǎn)到邊的高的長(zhǎng)度4.判斷下列向量是否垂直:(1) 與;(2) 與;解 ，所以與垂直。(3) 與.5.設(shè)，試求的值，使得：(1) 與軸垂直；(2) 與垂直，并證明此時(shí)取得最小值解 。令得。記。令得在內(nèi)唯一的極限值點(diǎn)。故，此時(shí)取得最小值6.證明如下的平行四邊形法，說(shuō)明這一法則