利用二次函數(shù)解一元二次不等式

1、利用二次函數(shù)解一元二次不等式研究過(guò)程圖2-1-26圖11.打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板，作出2的圖象，在圖象上任取一點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CDx軸于點(diǎn)D，作CEy軸于點(diǎn)E，如圖2-1-26，拖動(dòng)點(diǎn)C.當(dāng)E點(diǎn)在y軸正半軸上時(shí)，y0，即0，當(dāng)E點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí)，y0，即0.從圖象可以看出不等式0的解集為：x2或x2不等式0的解集為：2x2于是，我猜想：雖然我們沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)解一元二次不等式，但可以先畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)，再由圖象在x軸的上方還是下方，求出對(duì)應(yīng)一元二次不等式的解集.2.為了驗(yàn)證上面的猜想，我利用超級(jí)畫(huà)板作出下面幾個(gè)函數(shù)圖象：x2 ， 圖2-1-27 圖2-1-28 圖2-1-29 圖2-1-30拖動(dòng)點(diǎn)C,使點(diǎn)D

2、、E分別在x軸、y軸上移動(dòng).由于當(dāng)E點(diǎn)在y軸正半軸上時(shí)，y0，當(dāng)E點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí)，y0，所以我們可以根據(jù)圖象在x軸的上方還是下方，求出對(duì)應(yīng)一元二次不等式的解集的猜想是正確的.圖2-1-28與圖2-1-30與x軸無(wú)交點(diǎn)，而由前面的研究我們知道對(duì)應(yīng)方程根的判別式0所以我還發(fā)現(xiàn)：(i)當(dāng)a0,且0時(shí)，（如圖2-1-28）不等式ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù)，不等式ax2bxc0的解集是空集.(ii)當(dāng)a0,且0時(shí)，（如圖2-1-30）不等式ax2bxc0的解集是空集，不等式ax2bxc0的解集是全體實(shí)數(shù).有了前面的發(fā)現(xiàn)，雖然我們沒(méi)有學(xué)過(guò)一元二次不等式的解法，也能快速準(zhǔn)確的求出它的解集，當(dāng)0時(shí)，步

3、驟為：(i)解方程ax2bxc0求出它的兩個(gè)根 x1，x2(ii)根據(jù)圖象在x軸上方還是下方，結(jié)合圖象開(kāi)口，找出解集. 圖2-1-31 圖2-1-32特別, 當(dāng)0時(shí)，設(shè)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為x1，(i)當(dāng)a0時(shí)，（如圖2-1-31）不等式ax2bxc0的解集是xx1不等式ax2bxc0的解集是空集(ii)當(dāng)a0時(shí)，（如圖2-1-32）不等式ax2bxc0的解集是空集不等式ax2bxc0的解集是xx1研究結(jié)論利用二次函數(shù)解一元二次不等式的方法；（1） 把一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0化成a0的不等式。畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)據(jù)y =ax2bxc的圖象，只有下面三種可能：圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)x1、x2，且x1x2，如圖2-1-33及圖2-1-34， 圖2-1-33 圖2-1-34 圖2-1-35 圖2-1-36這時(shí)從圖象可以看出：不等式ax2bxc0的解集是：xx1或xx2不等式ax2bxc0的解集是： x1xx2圖象與x軸有唯一交點(diǎn)x1，如圖2-1-35及圖2-1-36， 這時(shí)從圖象可以看出：不等式ax2bxc0的解集是：xx1不等式ax2bxc0的解集是：空集圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，如圖2-1-37及圖2-1-38， 圖2-