考研數(shù)學(xué)(一)真題評(píng)注

1、(1) lim (cos x)x 0【分析】1型未定式，化為指數(shù)函數(shù)或利用公式limf(x)g(x)(1) = elim(f(x) 1)g(x)進(jìn)行2003年考研數(shù)學(xué)(一)真題評(píng)注、填空題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上)1ln(1 x2)1 1 limIn cosx2) x怖x2)=e計(jì)算求極限均可【詳解 1 】lim (cosx)ln(1 x)x 0sin x而 limn_cosxx 0 ln(1x2)ln cosx lim0x2【詳解2】因?yàn)?lim (cosx 1)廠x 0ln(1 x2)1 2x22x所以原式=(2)曲面2x 4y z5.e1e.2 2x

2、y與平面2x 4y的切平面的方程是【分析】待求平面的法矢量為n 2,4, 1，因此只需確定切點(diǎn)坐標(biāo)即可求出平面方程，而切點(diǎn)坐標(biāo)可根據(jù)曲面 zx2y2切平面的法矢量與n 2,4,1平行確定.【詳解】令F(x, y, z)Fx2x， Fy 2y，F(xiàn)z設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0, y0 ,z0)，那么切平面的法矢量為 2x。，2y°,1,其與平面2x 4y z 0平行，因此有2x02y0可解得X。hy。2，相應(yīng)地有Z02X。y 5.故所求的切平面方程為2(x1)4(y2) (z 5)0 ,即2x4y z 5、 2x )，貝V a2 =1(3)設(shè) xan cos nx(n 0【分析】將f (x) x

3、2(2x)展開為余弦級(jí)數(shù) xan cos nx(n 0其系數(shù)計(jì)算公式為an(x) cos nxdx.【詳解】 根據(jù)余弦級(jí)數(shù)的定義，有2 x2 cos2xdx0a21 0x2dsin2x= -x2si n2xsin2x 2xdx1 xd cos2x0-xcos2xcos2xdx=1.R2的基11的過渡矩陣為21?2, n=1,2, nP ，因此過渡矩陣P為：P=11,2, n1 ,2, n【詳解】根據(jù)定義，從R2的基1121到基1121的過渡矩0112【分析】n維向量空間中，從基1 ? 2,1， 2 ?n到基n的過渡矩陣P滿足陣為111 1 11P= 1, 21,2 C0 1 12111123=

4、0 1 1 21 2 .(5)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f (x, y)6x,0 x y 1,0,其他，1那么P X Y 1 丄4【分析】 二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x,y),求滿足一定條件的概率Pg(X,Y) z。，一般可轉(zhuǎn)化為二重積分Pg(X,Y) zo=f(x,y)dxdy 進(jìn)行計(jì)算.g(x,y) Zo【詳解】由題設(shè)，有11 xP X Y 1 f (x, y)dxdy : dx % 6xdyx y 112 2 1=2(6x 12x2)dxo4(6)一批零件的長(zhǎng)度X (單位：cm)服從正態(tài)分布N( ,1)，從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長(zhǎng)度的平均值為40 (cm)，貝U

5、的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49)(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值(1.96)0.975, (1.645)0.95.)【分析】 方差21 ,對(duì)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望 進(jìn)行估計(jì)，可根據(jù)確定臨界值u ，進(jìn)而確定相應(yīng)的置信區(qū)間.20.05.于是查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知u 1.96.21.960.95，有P1.960.95，即 P39.51,40.490.95，故的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49).只有二、選擇題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)f(x)在()內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如下

6、圖，那么 f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)x=0為極大值點(diǎn)，故(2)設(shè)an, bn, cn均為非負(fù)數(shù)列，且lim an n0, lim bnn1 ,lim cnn(A)an bn對(duì)任意n成立.(B) bnCn對(duì)任意(A)(B)(C)(D)【分析】答案與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，而可能的極值點(diǎn)應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)， 共4個(gè)，是極大值點(diǎn)還是極小值可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有 3個(gè)，而x=0那么是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，

7、必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極小值點(diǎn)， 一個(gè)極大值點(diǎn)；在 x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見 f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C).(C)極限limanCn不存在.(D)極限lim bn®不存在.D nn【分析】 此題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項(xiàng)的大小無關(guān)，可立即排除(A) ,(B)；而極限liman®是0型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極n限lim bnCn屬1 型，必為無窮大量，即不存在21，bn1， cn n(n 1,2,)，那么可立即排除n2n【詳解】用舉反例法，取an(A),(B),(C)，因此正確選項(xiàng)為(D).(3)函數(shù)f

8、(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且limx 0,yf(x,y) xy0/2 2、20 (x y )1，那么(A) 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn).(B) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn).(C) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn).(D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn).A 【分析】由題設(shè)，容易推知f(0,0)=0，因此點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值，關(guān)鍵看在點(diǎn)(0,0)的充分小的鄰域內(nèi)f(x,y)是恒大于零、恒小于零還是變號(hào).【詳解】limx 0,yf(x, y) xy0/2 2 20 (x y )1知，分子的極限必為零，從而有f(0,

9、0)=0,且f(x,y) xy (x2 y2)2 (x, y 充分小時(shí))，于是f(x,y) f(0,0) xy (x2 y2)2.可見當(dāng)y=x且x充分小時(shí)，f (x, y)f (0,0) x2 4x40 ；而當(dāng)y= -x且x充分小時(shí),24f(x, y) f(0,0)x 4x 0 .故點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn)，應(yīng)選(A).(4)設(shè)向量組I :!,2, r可由向量組II :1,2, s線性表示，那么(A)當(dāng)r s時(shí)，向量組II必線性相關(guān).(B)當(dāng)r s時(shí)，向量組II必線性相關(guān).(C)當(dāng)r s時(shí)，向量組I必線性相關(guān).(D)當(dāng)r s時(shí)，向量組I必線性相關(guān).D 【分析】此題為一般教材上均有的

10、比擬兩組向量個(gè)數(shù)的定理：假設(shè)向量組1: 1, 2,可由向量組II:1, 2, , s線性表示，那么當(dāng)r s時(shí)，向量組|必線性相關(guān).或其逆否命題：假設(shè)向量組I :1, 2, , r可由向量組II :1, 2, , s線性表示，且向量組I線性無關(guān)，那么必有r s.可見正確選項(xiàng)為(D).此題也可通過舉反例用排除法找到答案【詳解】用排除法：如101'那么 10102，但 1,2線性無關(guān)，排除(A) ；10，那么1, 2可由1線性表示，但 1線性無關(guān)，排除(B)；0，1可由1, 2線性表示，但1線性無1關(guān)，排除(C).故正確選項(xiàng)為(D).(5)設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0,其中A,B均為

11、mn矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題: 假設(shè)Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(A)秩(B)； 假設(shè)秩(A)秩(B)，那么Ax=0的解均是Bx=0的解； 假設(shè)Ax=0與Bx=0同解，那么秩(A)=秩(B)； 假設(shè)秩(A)=秩(B)，那么Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的選項(xiàng)是(A).(B)(C).(D)【分析】 此題也可找反例用排除法進(jìn)行分析,. B 但兩個(gè)命題的反例比擬復(fù)雜一些,關(guān)鍵是抓住與，迅速排除不正確的選項(xiàng)【詳解】 假設(shè)Ax=0與Bx=0同解，那么n-秩(A)=n -秩(B),即秩(A)=秩(B)，命題成立,可排除(A),(C);但反過來，假設(shè)秩(A)=秩(B)，那么不能推出Ax=0與Bx=

12、0同解，如A0 0B，那么秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題不成立，排除(D),0 1故正確選項(xiàng)為(B).【例】齊次線性方程組 Ax=0與Bx=0同解的充要條件(A)r(A)=r(B).(C) A, B的行向量組等價(jià) 有此例題為根底，相信考生能迅速找到答案(6)設(shè)隨機(jī)變量X t(n)(n 1),Y2(A) Y (n).(B)(B)A,B為相似矩陣.(D)A,B的列向量組等價(jià).C 12，那么X2Y 2(n1).(C) Y F(n,1).(D) Y F(1,n).【分析】先由t分布的定義知XU ，其中U N(0,1),V 2(n)，再將其代入1丫 Q，然后利用F分布的定義

13、即可【詳解】由題設(shè)知，X U，其中 U N(0,1),V 2(n)，于是1丫 X2=u2V/1，這里u22(1)，根據(jù)F分布的定義知Y 2 F( n,1).故U 2X2應(yīng)選(C).三、(此題總分值10分)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線 y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形 D.(1) 求D的面積A;(2) 求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.【分析】 先求出切點(diǎn)坐標(biāo)及切線方程，再用定積分求面積A;旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體(圓錐)體積減去一小立體體積進(jìn)行計(jì)算，為了幫助理解，可畫一草圖【詳解】(1)設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,那么曲線y=l nx在點(diǎn)(x0,l nx0)處的切線方程是由該切

14、線過原點(diǎn)知In平面圖形D的面積1(ey0(2)切線In XoXoey)dy1(x Xo). Xo0，從而Xoe.所以該切線的方程為1-X與X軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線 x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積e1 2e .3曲線y=lnx與x軸及直線1V2o因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為x=e所圍成的圖形繞直線 x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為(eey)2dy，V V12 12e3).四、(此題總分值12分)丄的和.o2n 11 2x將函數(shù)f(x) ar如飛展開成X的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)【分析】 幕級(jí)數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當(dāng)?shù)暮愕茸?形、求導(dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用幕級(jí)數(shù)展開的情形。此題可

15、先求導(dǎo)，再利用函數(shù) -1 X1的幕級(jí)數(shù)展開1 x1 Xx2即可，然后取X為某特殊值，得所求級(jí)數(shù)的【詳解】因?yàn)閒 (x)1 4X2n n 2n(1) 4 x ,xo(舄又f(0)=4,所以f(x) f(0)0f(t)dt 匸：(1)n4nt2ndtn 0因?yàn)榧?jí)數(shù)再由n 0 2nn n(1) 4 x2n 1 x0 2n 1(1)n-收斂,1f(x)，得if2 0，(1)nn 0 2n 1五、此題總分值平面區(qū)域Dsin y(1) ;xedysin y -(2)Lxedy,x函數(shù)fx在x1處連續(xù)，所以2n0 2n 1UN0 2nf(2)10 分)(x, y) 0yeyesin x Idxsin x -

16、dx(1)nn 0 2n 1,0 , L為D的正向邊界試證:xeLsin y idysin x Iye dx；【分析】 此題邊界曲線為折線段，可將曲線積分直接化為定積分證明，或曲線為封閉 正向曲線，自然可想到用格林公式；【詳解】方法一：2的證明應(yīng)注意用1的結(jié)果(1)左邊=0sin ye dy0sin x ie dx0sin x(esin ex)dx，e dy0sin x .e dx右邊=0,sin xsin x 、.0(ee)dx，：xesinydyye sinxdx- xe sin y L由于esinxsin x e2，故由1所以得dy yesin xdx.sin y |sin x;xe d

17、y ye方法二：(1)根據(jù)格林公式，得dx(esin xsin x2e )dx 2sin y .xe dy yesin x idxLxesin ysinx dy ye dx(esinyD(esinyDsin x、)dxdy,sin xe)dxdy.因?yàn)镈具有輪換對(duì)稱性，所以(esin yDe sinx)dxdy= (eDsin ysin x、e )dxdy,sin y -故；xe dyyesin x -dxsin yLxedysin x -ye dx.(2)由知sin y -Lxedyyesin xdx(esinyDsin ye dxdysin x、)dxdysin xdxdysin x Ie

18、 dxdysin xdxdy (利用輪換對(duì)稱性)sin x(eDe sinx)dxdy2dxdy 2 2D六、(此題總分值10分)某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k>0 ) 汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下a m.根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0<r<1).問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？(2) 假設(shè)擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？(注：m表示長(zhǎng)度單位米.)【分析】 此題屬變力做功問題，可用定積分

19、進(jìn)行計(jì)算，而擊打次數(shù)不限，相當(dāng)于求數(shù) 列的極限【詳解】(1)設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下xn ,第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為Wn(n 1,2,3,).由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時(shí)，土層對(duì)樁的阻力的大小為kx，所以wW2x1kxdx0kxdxx1k 22x1k2k 2a ，2|(x|xf)£(x；a2).由W2 rW1可得x| a2 ra22X2(1 r)a2.W3x3k 2kxdx(xfX22X；)2xf (1 r)a2.由W32rW2 r W1可得2x3(1 r)a2r2a2從而x3.1 r r 2a，即汽錘擊打3次后，可將樁打進(jìn)地下 、1 r r2am(2)由歸納法，設(shè)xn

20、rn1a，那么由于Wn從而Wn 1Xn 1kxdxXn= kx2=2Xn 12(x：1 xj)(1n 1、2pr )a .1 rWn r2Wnr nWi，故得2Xn 1(1 rrn 1 )aXn 1n 1ra.rlim xn 1n/ra，即假設(shè)擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下m.七、(此題總分值12分)設(shè)函數(shù)y=y(x)在()內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且0, x x(y)是y=y(x)的反函數(shù).d2x(1)試將x=x(y)所滿足的微分方程2 (ydydxsin x)()30變換為y=y(x)滿足的微dy分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)0, y (0)3 的解.dydxd2xd .

21、dx.()= dy dy日丄)dx ydy2一 y 1 " 2y yy(y)3然后再代入原方程化簡(jiǎn)即可.【分析】 將dx轉(zhuǎn)化為 巴 比擬簡(jiǎn)單,【詳解】1由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知dx11巴=丄，關(guān)鍵是應(yīng)注意:dy dyydxdxdyd2xd ,dx、d“ 1、dx()=()dy2dy dydxydy代入原微分方程得y ysin x.2方程* 所對(duì)應(yīng)的齊次方程 ydX丄，于是有dy yy 丄y23 .yy(y)(* )0的通解為YC1exC2e x.設(shè)方程* 的特解為y AcosxBsin x，代入方程* ，求得A0,B1 . sin x，2從而yy sin x的通解是GexC2e x1 .

22、 sin x.2由 y(0)0, y (0)-，得 C1 髭 C21 .2x 1.sin x.2故所求初值問題的解為八、此題總分值12分 設(shè)函數(shù)fx連續(xù)且恒大于零,其中f (x2y2Z2)dvF(t) Qf(xD(t)d，G(t)(t) ( x, y, z)t2，D(t)2 2f(x y )dD(t)t 21f(x2)dx(x, y) x2y2討論F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性 證明當(dāng)t>0時(shí)，F(xiàn)(t) -G(t).【分析】(1)先分別在球面坐標(biāo)下計(jì)算分子的三重積分和在極坐標(biāo)下計(jì)算分母的重積 分，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù) F (t)的符號(hào)確定單調(diào)性；(2)將待證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏?，?gòu)造輔助

23、函數(shù)，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可 【詳解】因?yàn)镕(t)t 2 2o f (r )r sin drt 2 22 o f(r )r dr2f (r )rdr2f (r )rdrF (t)2 t 2tf(t2)0 f(r2)r(t r)dr2 0 -一0 f(r2)rdr2所以在(0,)上 F (t)0,故 F(t)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加(2)因G(t)f(r2 )rdr2f(r )dr2 2要證明t>0時(shí)F(t) G(t)，只需證明t>0時(shí)，F(xiàn)(t) G(t) 0，即1 2 2 1 2 20 f (r )r dr 0 f(r )dr 0 f (r )rdr 0.t22 t 2t 22令g(t

24、)0 f(r )r dr。f (r )dr °f(r )rdr ，那么g (t)f (t2) f(r2)(t r)2dr 0，故 g(t )在(0,)內(nèi)單調(diào)增加0因?yàn)間(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)t>0時(shí)，有g(shù)(t)>g(0).又 g(0)=0,故當(dāng) t>0 時(shí)，g(t)>0,2因此，當(dāng) t>0 時(shí)，F(xiàn)(t) G(t).九、(此題總分值10分)322010設(shè)矩陣A232，P101 *1 ， B PAP，求B+2E的特征值與特征223001向量，其中A*為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣【分析】 可先求出A*' ,P 1，進(jìn)而確定B P 1A* P及

25、B+2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值與特征向量， 再相應(yīng)地確定A*的特征值與特征向量,最終根據(jù) B+2E與A*+2E相似求出其特征值與特征向量 【詳解】方法一:經(jīng)計(jì)算可得52 20 1 1A*252，P11 0 0 ，22 50 0 170 0B P1 *1AP=254223從而900B 2E274225900E (B 2E)2742(9) (3)，225故B+2E的特征值為129, 33.當(dāng)i 29時(shí)，解9E Ax 0,得線性無關(guān)的特征向量為1 21 1 ' 2 0 '0 1所以屬于特征值129的所有特征向量為12k1 1 k2 2k1 1k20

26、，其中k1,k2是不全為零的任意常數(shù)01當(dāng)33時(shí)，解(3E A)x0，得線性無關(guān)的特征向量為031，1322由于EA232(1)2(7)，2 23故A的特征值為121，37.11當(dāng) 當(dāng)121時(shí)對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可.取為11，20011當(dāng)二 37時(shí)寸，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為31 .10 11110由P11 00，得 P 1 11，P 1 21，P 1 31 .0 01011所以屬于特征值3 3的所有特征向量為k3 3 k3 11，其中k30為任意常數(shù).方法二：設(shè)A的特征值為 ，對(duì)應(yīng)特征向量為 ，.由于A70，所0.又因A* AAE ,故有 A*于是有B(PP 1A* P(P 1 )(P 1因此

27、，(B2E)PA 2)P12為B+2E的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為因此，B+2E的三個(gè)特征值分別為 9，9，3. 對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為1 1k1P 11k2P2 k11k21 ，其中kk2是不全為零的任意常數(shù);對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為十、(此題總分值8分)平面上三條不同直線的方程分別為1 :ax2by3c0，2: bx2cy3a0，3 ：cx2ay3b0.試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a b c 0.【分析】 三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩 陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】方法一：必要性設(shè)三條直線I1.l2.l3交于一點(diǎn)，那么線性方程組

28、ax2by3c,bx2cy3a,(*)cx2ay3b,a2ba2b3c有唯一解，故系數(shù)矩陣A b2c與增廣矩陣Ab2c3a的秩均為 2，于是c2ac2a3bA0.ksPk3 1 ，其中k3是不為零的任意常數(shù)a2b3c由于Ab2 c2 ab ac bcb2c3a6(a bc)a2c2a3b3(a b c)( a b)2(b c)2 (c a)2,但根據(jù)題設(shè)(a b)2 (b c)2 (c a)20，故a b c 0.充分性：由a b c 0，那么從必要性的證明可知，|A 0，故秩(A) 3.由于a 2b b 2c2(ac b2)2a(a b) b22(a -b)2-b20，24故秩(A)=2.于是,秩(A)=秩(A)=2.因此方程組(*)有唯一解，即三直線l1,l2,l3交于一點(diǎn).方法二：必要性設(shè)三直線交于一點(diǎn)Xoy0為Ax=0的非零解，其中1a2b3cAb2c3ac2a3b(Xo,yo)，那么0.2b3c2c3a2a3bc)(a6(acab2 2b c)a bc2 ab acbc但根據(jù)題設(shè)(a b)2 (bc)2(c a)20，故a b c 0.充分性:考慮線性方程組ax2by3c,bx2cy3a,(*)cx2