高等數(shù)學：11-8 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)

1、1第八節(jié)第八節(jié) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù) 2由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)系數(shù)的公式系數(shù)的公式,易得下面的結(jié)論易得下面的結(jié)論.和傅里葉和傅里葉 na nb此時稱傅里葉級數(shù)為此時稱傅里葉級數(shù)為nxbnnsin1 即即 xnxxfandcos)(1), 2 , 1 , 0( n0), 2 , 1( n xnxxfbndsin)(12 0 xnxxfdsin)( 正弦級數(shù)正弦級數(shù),正弦級數(shù)和余弦級數(shù)正弦級數(shù)和余弦級數(shù)(一一)它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為,)(2. 1展成傅里葉級數(shù)時展成傅里葉級數(shù)時的奇函數(shù)的奇函數(shù)當周期為當周期

2、為xf 3 nb此時稱傅里葉級數(shù)為此時稱傅里葉級數(shù)為nxaann 10cos2即即), 2 , 1( n), 2 , 1( n na 0dcos)(2xnxxf xnxxfandcos)(1 xnxxfbndsin)(10注注將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時,先要考查函數(shù)先要考查函數(shù)是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0a 0d)(2xxf余余弦級數(shù)弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為,)(2. 2展成傅里葉級數(shù)時展成傅里葉級數(shù)時的偶函數(shù)的偶函數(shù)當周期為當周期為xf 4解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.為為周周期期的的是是以以時時

3、2)()12(xfkx ), 2 , 1 , 0(, 0 nan奇函數(shù)奇函數(shù) 2 2 3 3xyO設設 f (x)是周期為是周期為 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在例例1 1 2上上), 上的表達式為上的表達式為,)(xxf 將將 f (x)展開成傅氏級數(shù)展開成傅氏級數(shù). f (x)的圖形的圖形52)0()0( ff收斂于收斂于2)( , 0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點在連續(xù)點 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2 1)1(2 nn), 2 , 1( n,), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點

4、kkx 6)3sin312sin21(sin2)( xxxxf 11sin)1(2nnnxn),3,;( xxnxbnnsin1 正弦級數(shù)正弦級數(shù)1)1(2 nnnb), 2 , 1( n7上上的的使使函函數(shù)數(shù)成成為為,. 1 上上有有上上的的函函數(shù)數(shù)延延拓拓到到把把, 0 上上的的使使函函數(shù)數(shù)成成為為,. 2 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓兩種兩種:正弦級數(shù)正弦級數(shù).偶函數(shù)偶函數(shù),奇函數(shù)奇函數(shù),余弦級數(shù)余弦級數(shù);因而展開成因而展開成因而展開成因而展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)正弦級數(shù)和余弦級數(shù)(二二)8上上函數(shù)定義在函數(shù)定義在, 0 上上函數(shù)延拓到一個周期函數(shù)延拓到一個周期, 數(shù)軸上數(shù)軸上函數(shù)按周期延

5、拓到整個函數(shù)按周期延拓到整個級數(shù)級數(shù)上的函數(shù)展開成傅立葉上的函數(shù)展開成傅立葉定義在定義在, 0 9上有定義上有定義., 0 作法作法3. F(x)可展開為傅氏級數(shù)可展開為傅氏級數(shù), 這個級數(shù)必定是這個級數(shù)必定是)()(xfxF 得到得到 f (x)的的正弦級數(shù)正弦級數(shù) 的展開式的展開式.上，上，在在限制限制, 0(. 4 x,( (偶函數(shù)偶函數(shù))的的奇函數(shù)奇函數(shù)正弦級數(shù)正弦級數(shù)(余弦級數(shù)余弦級數(shù))(余弦級數(shù)余弦級數(shù)) 滿足收斂定理的條件滿足收斂定理的條件1. f (x)在在 2. 在開區(qū)間在開區(qū)間內(nèi)補充定義內(nèi)補充定義,得到定義在得到定義在上的函數(shù)上的函數(shù)F(x),),( 使它成為使它成為 在上

6、在上)0 ,( 10解解(1) 求正弦級數(shù)求正弦級數(shù). .進行進行對對)(xf 0dsin)1(2xnxx)coscos1(2 nnn 0 nan22 , 5 , 3 , 1 nn2 , 6 , 4 , 2 n奇延拓奇延拓,分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).)0(1)( xxxf將函數(shù)將函數(shù)例例21 1 Oxy 0dsin)(2xnxxfbn11(2) 求余弦級數(shù)求余弦級數(shù). .0 nb 00d)1(2xxa2 0dcos)1(2xnxxan)1(cos22 nn5cos513cos31(cos412122 xxxx 注注又可展成余弦級數(shù)又可展成余弦級數(shù),既可展成正弦級數(shù)既可展成正弦級數(shù),其傅氏級