正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例

1、資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除第7講正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例【2013年高考會這樣考】考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題中的角度、方向、距離及測量問題.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1 .本講聯(lián)系生活實例，體會建模過程，掌握運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本方法.2 .加強(qiáng)解三角形及解三角形的實際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力.ajKAOJIZIZHUDAOXUE01”舍意自主導(dǎo)學(xué)必考必記；童學(xué)相長基礎(chǔ)梳理1 .用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.2 .實際問題中的常用角（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中

2、，視線在水平線上左的角叫仰角，在水平線下方的角2 / 11叫俯角(如圖(1).(2)(2)方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如8點的方位角為a(如圖(2).(3)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30。，北偏西45。，西偏東60。等.(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).勿當(dāng)<臨一個步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系.資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型.(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.(4)將三角形問

3、題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.兩種情形解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解.雙基自測1.(人教A版教材習(xí)題改編)如圖，設(shè)A,8兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50m,ZACB=45°,ZCAB=105。后，就可以計算出A

4、,8兩點的距離為().解析由正弦定理得二，又I二30。.".AB-50(m).答案A2.從4處望8處的仰角為a,從8處望A處的俯角為及則a,4的關(guān)系為().A.a>0B.a=BC.a+/?=90°D.a+夕=180。解析根據(jù)仰角與俯角的定義易知夕二夕。答案B3 .若點A在點C的北偏東30。，點8在點C的南偏東60。，且AC=8C,則點A在點8的（）.A.北偏東15°B.北偏西15°C.北偏東10°D.北偏西10°解析如圖.4 .一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在

5、船的南偏西60。，另一燈塔在船的南偏西75°,則這艘船的速度是每小時（）.A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里解析如圖所示，依題意有N84C=60。,/94。=75°,所以NC4。=aCDA=15°,從而8=01=10（海里），/c8在口948（7中，得48二5（海里），于是這艘船的速度是二10（海里/時）.答案C5.海上有A,B,。三個小島，測得A,8兩島相距10海里，ZBAC=60°,ZA8C=75。,則8,C間的距離是海里.解析由正弦定理知二.解得8c=5（海里）.答案5KAOXIANGTANJIUDAOXI 02 » 考向探究導(dǎo)

6、析研析考向案例突破考向一測量距離問題【例1】A如圖所示,產(chǎn)%為了測量河對岸A,8兩點間的距離，在這岸定一基線C。，現(xiàn)已測出CO=a和NACD=60。，ZBCD=3OZBDC=105°,ZDC=60°,試求AB的長.審題視點在MCD中，求出8C,在中，求出ABO解在AC。中，已知CD=a,ZACD=60°,/AOC=60。,所以4C=a：NBC。=3O°,ZBDC=105%ZCBD=45°在BCD中，由正弦定理可得8C=a在aABC中，已經(jīng)求得4c和8C,乂因為NAC8=30。，所以利用余弦定理可以求得A,8兩點之間的距離為A8=a。方法總結(jié)況1

7、）利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解三角形的模型.（2）利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解.【訓(xùn)練1】如圖，A,8C,。都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、。為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測量船于水面4處測得B點和D點的仰角分別為75。,30。，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°,AC=O.Ikmo試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求8,。的距離.解在4C。中,ND4C=30。，ZADC=600-ZDAC=3009所以CO=AC=0。1km,乂/8。=180。-60。-60。=60。,故。8是4。1。底邊/10的中垂線

8、,所以8。=BAq乂:ZABC=150在A8C中，=,所以A8=(km),同理,BD=(km).故仄。的距離為km.考向二測量高度問題【例2】a如圖，山腳下有一小塔A以在塔底8測得山頂C的仰角為60。,在山頂。測得塔頂A的俯角為45。，已知塔高A8=20m,求山高審題視點過點C作CEIIDB，延長BA交CE于點E,在5EC中建立關(guān)系.解如圖，設(shè)C0=xm,則4E=x-20m,tan60°=,BD=x(m).在AEC中，x20=x,解得x=10(3+)m.故山高CD為10(3+)m°方法總結(jié)(1)測量高度時，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(畫出)示意圖、

9、明確在哪個三角形內(nèi)應(yīng)用正、余弦定理.【訓(xùn)練2】如圖所示，測量河對岸的塔高A8時，可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與。，現(xiàn)測得CD=s,并在點C測得塔頂A的仰角為6,求塔高AB.A解在BCO中，ZCBD=n-a-/3,由正弦定理得=,所以BC=在RtA48C中，AB=BCtanZACB=.考向三正、余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用【例3】a如圖所示，在梯形48C。中，AD/BC,AB=5,AC=9,ZBCA=30°,ZADB=45°,求8。的長.445BnbN皿審題視點由于48=5，乙408=45。,因止匕要求8。，可在乂8。中，由正弦定理求解.關(guān)鍵是確定N8AO的正弦

10、值.在&48C中48=5,4。二9,AACB二30。，因此可用正弦定理求出sin乙ABC,再依據(jù)乙鉆C與互補(bǔ)確定sinZBAD即可.解在ABC中，AB=5,AC=9,ZBCA=30°.由正弦定理，得=,sinZABC=.*：AD/BC,：.ZBAD=SO°-ZABC,于是sinZBAD=sinZABC=.同理，在AB。中，AB=5,sinZBAD=,NAO8=45。，由正弦定理：=,解得8。=.故8。的長為.方法總結(jié)要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成若干個三角形，在分割時.要注意有利于應(yīng)用正、余弦定理.【訓(xùn)練3】如圖，在ABC中，已知/8=45。，。是BC

11、邊上的一點，AO=10,AC=14,DC=6,求48的長.AC=14,DC=6,由余弦定理得cos/4£>C=一，AZADC=nO°,AZADB=60°o在ABO中4。=10,N8=45o,NAO8=60。，由正弦定理得=,；A8=5.M 1入 A，" -03» 考題專項突破KAOTIZXUANXIANGTUPO冷艙展示：名師解讀規(guī)范解答9如何運用解三角形知識解決實際問【問題研究】（1）解三角形實際應(yīng)用問題的一般步驟是：審題建模（準(zhǔn)確地畫出圖形）一求解一檢驗作答.,（2）三角形應(yīng)用題常見的類型：，實際問題經(jīng)抽象概括后、已知量與未知量全部集

12、中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之:，實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個三角形、這時需按順序逐步在兩個三角形中求出問題的解實際問題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理。，【解決方案】航海、測量問題利用的就是目標(biāo)在不同時刻的位置數(shù)據(jù)、這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定的時間內(nèi)的運動距離，因此解題的關(guān)鍵就是通過這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測量目標(biāo)歸入到一個可解三角形中?！臼纠縜（本題滿分12分）如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于4處時，

13、乙船位于甲船的北偏西105。方向的囪處，此時兩船相距20海里，當(dāng)中船航行20分鐘到達(dá)4處時，乙船航行到中船的北偏西120。方向的電處，此時兩船相距10海里.問:乙船每小時航行多少海里？2甲思維突幼（1）分清已知條件和未知條件（待求）.（2）將問題集中到一個三角形中.（3）利用正、余弦定理求解.解答示范如圖，連接由已知42%=10,A1A230X10,AA2=乂ZAiA2B2=180°-120°=60°,是等邊三角形，二Aj52=AA2=10,由已知8=20,ZBAB2=105°-60°=45°,（8分）在中，由余弦定理得BB=ABAB2Ai8i4&,cos45°=202+（10）2-2X20X10X=200,8182=10。因此，乙船的速度為x60=30（海里/時）.（12分）覆瓦物利用解三角形知識解決實際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖,結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形.然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問題進(jìn)行求解.【試一試】如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的8處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30。、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東0的方向即沿直線CB前往B處救