材料力學簡單的超靜定問題

1、.EAlFlN .例例 已知已知1、2桿抗拉剛度為桿抗拉剛度為E1A1, 3桿抗拉剛度為桿抗拉剛度為E3A3，F(xiàn)的大小已知，求各桿內力。的大小已知，求各桿內力。解解: 1: 1、分析分析A結點結點一次超靜定問題。一次超靜定問題。, 0 xF l, 0yF21NNFFFFFFNNN321 cos)(. l21ll cos31ll cos1111AElFlN3333AElFlN .1332113311332 c o sc o s12c o sNNFFEAE AFFE AEA.裝配應力的計算：裝配應力的計算：超靜定結構中由于加工誤超靜定結構中由于加工誤差，差， 裝配產生的應力。裝配產生的應力。1l2

2、l3l平衡方程：平衡方程：變形協(xié)調條件：變形協(xié)調條件：21NNFF cos)(213NNNFFF cos13ll.例例 圖示圖示AB為剛性梁，為剛性梁，1、2兩桿的抗拉（壓）剛度均兩桿的抗拉（壓）剛度均為為EA，制造時，制造時1桿比原長桿比原長l短短 ，將，將1桿裝到橫梁后，求桿裝到橫梁后，求兩桿內力。兩桿內力。解解: :1 1桿伸長桿伸長2 2桿縮短桿縮短裝配后各桿變形裝配后各桿變形1l 2l 1l 2l 變形協(xié)調條件變形協(xié)調條件212ll )(.解解: : 分析分析ABBAF1F2FA0221 aFaF物理方程物理方程EAlFl11 EAlFl22 (縮短縮短)變形協(xié)調條件變形協(xié)調條件21

3、2ll )(lEAF541 (拉力拉力)lEAF522. kNFA85 kNFB15思考：圖示階梯形桿上端固定，下端與支座距離思考：圖示階梯形桿上端固定，下端與支座距離 = 1mm，材料的彈性模量，材料的彈性模量E=210GPa，上下兩段桿的，上下兩段桿的橫截面面積分別為橫截面面積分別為600mm2和和300mm2。試作桿的軸。試作桿的軸力圖力圖. 溫度應力溫度應力：超靜定結構中，由于溫度變化，使：超靜定結構中，由于溫度變化，使構件膨脹或收縮而產生的附加應力。構件膨脹或收縮而產生的附加應力。路、橋、建筑物中的伸縮縫設置。路、橋、建筑物中的伸縮縫設置。高溫管道間隔一定距離彎一個伸縮節(jié)。高溫管道間

4、隔一定距離彎一個伸縮節(jié)。工程中不容忽視的溫度應力！工程中不容忽視的溫度應力！.溫度應力的計算：溫度應力的計算：lABtl lABFAF溫度由溫度由1221ttttt ,平衡方程平衡方程0BAFF變形相容條件變形相容條件Ftll tllt 物理方程物理方程.EAlFtLB 溫度應力：溫度應力：tEAFB 碳素鋼線膨脹系數(shù)為碳素鋼線膨脹系數(shù)為06110512C. tEAFB .pGITl 扭轉變形計算公式扭轉變形計算公式dxGIxTlp)( .例：例： 兩端固定的圓截面等直桿兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面，在截面C受受外力偶矩外力偶矩m作用，求桿兩端的支座反力偶矩。作用，求桿兩端的支座反力偶矩

5、。.解：解：mmmAB靜力平衡方程為：靜力平衡方程為：0ABACCB變形協(xié)調條件為：變形協(xié)調條件為：maG Im bG IApBp0即：即：Am bmlBm aml.例：圖示兩端固定的結構，其中例：圖示兩端固定的結構，其中AB段為實心圓軸，直段為實心圓軸，直徑為徑為D，BC段為內徑為段為內徑為d，外徑為，外徑為D的圓筒，受集中力的圓筒，受集中力偶偶M的作用。試求：的作用。試求：（1）AB段和段和BC段的最大切應力；段的最大切應力；（2）欲使許用力偶）欲使許用力偶M達到最大值，兩段長度應滿足達到最大值，兩段長度應滿足什么條件？什么條件？MAMC解：設解：設A、C兩端的約束反力偶兩端的約束反力偶為

6、為MA、MC由平衡方程有：由平衡方程有：pBCCBCpABAABGIlMGIlM21, )(32,32444dDIDIpBCpAB 其中其中BCABAC 又又)1(CAMMM MABCl1l2.)2(021 pBCCpABABCABGIlMGIlM 由（由（1）、（）、（2）式有：）式有：144241441442424)()(,)(ldDlDMldDMldDlDMlDMCA （1）最大切應力：）最大切應力：)(16,)(161442412max1442422maxldDlDMDlIMldDlDMDlIMpBCDCBCpABDAAB （2）欲使許用力偶達到最大，有：）欲使許用力偶達到最大，有：m

7、axmax BCAB1:121 ll. 用用“多余未知力多余未知力”代替代替“多余多余”約束，約束，就得到一個形式上的靜定梁，該梁稱為原就得到一個形式上的靜定梁，該梁稱為原靜不定梁的靜不定梁的相當系統(tǒng)相當系統(tǒng), ,亦稱亦稱基本靜定系基本靜定系。 綜合考慮變形的幾何方程、力和變形關綜合考慮變形的幾何方程、力和變形關系可求解系可求解多余未知力多余未知力。. 基本靜定系基本靜定系1 1 基本靜定系基本靜定系2 2 超靜定問題超靜定問題.例：已知例：已知q、l，求圖示靜不定梁的支反力。求圖示靜不定梁的支反力。. 解法一：將支座解法一：將支座B看成多余約束，變形看成多余約束，變形協(xié)調條件為：協(xié)調條件為：

8、0Bw08343EIqlEIlFB83qlFB. 解法二：將支座解法二：將支座A A對截對截面轉動的約束看成多余面轉動的約束看成多余約束，變形協(xié)調條件為：約束，變形協(xié)調條件為：0A 02433EIqlEIlMA82qlMA.例：為了提高懸臂梁例：為了提高懸臂梁AB的強度和剛度，的強度和剛度， 用短梁用短梁CD加固。設二梁加固。設二梁EI相同，求相同，求 (1) 二梁接觸處的作用力；二梁接觸處的作用力； (2)加固前后加固前后B點撓度的比值；點撓度的比值； (3)加固前后加固前后AB梁最大彎矩的比值。梁最大彎矩的比值。.解：解：(1)(1)基本靜定系如圖基本靜定系如圖PABCDD1X1X1變形協(xié)

9、調條件為：變形協(xié)調條件為：1DDwwEIaXwD331.EIPaEIaXEIaPaEIaaXwD6536)5(6)2(3312211.1DDwwEIaXwD331EIPaEIaXwD6533311PX451(2)加固前后加固前后B點撓度變化值（變?。c撓度變化值（變?。〦IPaaEIaXEIaXwB24252332131 .(2)加固后加固后B點撓度的變化值（變?。c撓度的變化值（變?。〦IPaaEIaXEIaXwB24252332131 EIPawB3830加固前加固前B點撓度為：點撓度為：加固前后加固前后B點撓度的比值點撓度的比值64390001BBBBBwwwww .(3)加固前后加固前后AB梁最大彎矩的比值梁最大彎矩的比值PaM20max加固前加固前AB梁最大負彎矩梁最大負彎矩加固后加固后AB梁最大彎矩梁最大彎矩PaMMD11max最大負彎矩最大負彎矩(思考思考:為何最大負彎矩在為何最大負彎矩在D1處處?).例：圖示結構例：圖示結構AB梁的抗彎剛度為梁的抗彎剛度為EI，CD桿桿