2020屆北京市西城區(qū)高三上學期期末數學試題(解析版)

1、【答案】D第 1 頁共 18 頁2020 屆北京市西城區(qū)高三上學期期末數學試題一、單選題1設集合A：x|x：a,B（3,0,1,5?, ,若集合A B有且僅有2個元素，則實數a的取值范圍為（）A A .（3, +=c）B B.0,1C C 1，D D 1-1,5【答案】B【解析】根據集合的交集運算，由題意知A|B二-3,0?，由此可得，0:：a叮.【詳解】因為集合AD B有且僅有2個元素，所以A|B - : -3,0?，即有0：a叮.故選：B.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，屬于基礎題.3 i2已知復數z，則復數z在復平面內對應的點位于（）1 +iA A 第一象限B B.第二象限C C 第

2、三象限D D 第四象限【答案】D【解析】 根據復數的運算法則，化簡復數z=1-2i，再利用復數的表示，即可判定，得到答案【詳解】3 i （3i丫1 i ） 24i由題意，復數z1-2i,1+i（1+i廠i ）2所以復數 z 對應的點（1,-2）位于第四象限故選：D.【點睛】本題主要考查了復數的除法運算，以及復數的表示，其中解答中熟記復數的運算法則，準確化簡復數為代數形式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題第2頁共 18 頁3.在LABC中，若a =6, A 0 , B = 75，則c=（）A A.4B B.2 2C C.23D D.2 6第3頁共 18 頁【解析】根據三角形內角和

3、求出角C，再根據正弦定理即可求出邊c【詳解】因為C =180：_75 _60：=45，所以根據正弦定理知,6c”口，解得c = 2、6.si n60” sin 45，故選：D.【點睛】 本題主要考查已知三角形兩角和一邊，利用正弦定理解三角形, 4 4 設x y, ,且xy =0,則下列不等式中一定成立的是（B B.In x In yx2y2【答案】C【解析】根據基本初等函數的單調性或者不等式的性質，即可判斷各選項的真假.【詳解】1 1對 A，若x y 0，則，錯誤;x y對 B，當x = y時，取x=1,y = 2，根據對數函數的單調性可知，In x c In y，錯誤；對 C,因為x y，所

4、以-x：-y，根據指數函數的單調性可知，2：2一，正確；對 D，當x y時，取x -1,-2,x2：y2，錯誤.故選：C.【點睛】本題主要考查利用函數的單調性或者不等式的性質比較大小，屬于基礎題.5 5.已知直線x y0與圓x2y222y 0有公共點，則實數 a a 的取值范圍為（ ）A A.：片0 1B B. 0, VC C.1-0,2D D .：i Y2【答案】A【解析】 依題意可知，直線與圓相交或相切，所以由圓心到直線的距離小于等于半徑， 即可求a c，即sin A sin C屬于基第4頁共 18 頁出.第5頁共 18 頁【詳解】 依題意可知，直線與圓相交或相切.2 2 2 2x y 2

5、x-2y a = 0即為x 1 j亠y -12 -a.-112故選：A.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系的應用，屬于基礎題.44 44 4 4-1446 6 .設三個向量a,b,c互不共線，則“a + b+c = O”是 以a,b,c為邊長的三角形存在”的（）A A .充分而不必要條件B B.必要而不充分條件C C .充要條件D D .既不充分也不必要條件【答案】A【解析】 根據充分條件、必要條件的定義即可判斷.【詳解】44 44 T 4 T因為三個向量a,b, c互不共線，所以三個向量皆不為零向量，設a =AB,b = BC,而a,b,c互不共線，所以A,B,C三點不共線.當ab，c=

6、O時，c =CA，因為A，B，C三點不共線，所以以a , b,c為邊長的三角形存在；本題主要考查充分條件、必要條件的理解與判斷，屬于基礎題.7 7 紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間. .紫砂壺的壺型眾多，經典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等. .其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺（即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的）. .下圖給出了一個石瓢壺的相關數據 伸位：cmcm）, ,那么該壺的容量約為（）若以a ,b,c為邊長的三角形存在，故a bc故選：A.是”4 0b,C為邊長的三角形存在”的充分不必要條件.但是第6頁共 18 頁A A. 100100cm

7、3B B.200cm3C C. 300300cm3D D. 400400cm3【答案】B【解析】 根據圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出.【詳解】h 46設大圓錐的咼為h，所以，解得h =10.h 10故v J二5210-1二326 -196二：200cm3.333故選：B.【點睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數學在生活中的應用，屬于基礎題.8 8 .已知函數f x = . x 1 k，若存在區(qū)間la,bk -1,母）, ,使得函數 f f（x x）在區(qū)間 a,b上的值域為la 1,b -11,則實數k的取值范圍為（）f 1）f11A A. T,T,B B.：；：T,01C C. 一

8、4，：D D.廠 4,0【答案】D（a）=a+1| a +1 - J a +1 - k = 0【解析】 根據函數的單調性可知，即得，故可1/（b戶b + 1b+1-k = 0知.廠1,.廠1是方程x2-x -k = 0的兩個不同非負實根， 由根與系數的關系即可求 出.【詳解】f a = a 1a1-,a1-k=0根據函數的單調性可知，即可得到_ ，即可知lf（匕尸屮1b+1-応1-k = 0-1 4k 0a 1.b 1是方程x2_x_k=0的兩個不同非負實根， 所以,解得嚴2 =kzO第7頁共 18 頁1 k _ 0.4故選：D.【點睛】本題主要考查函數的單調性的應用以及一元二次方程的根與系數

9、的關系應用，意在考查學生的轉化能力，屬于中檔題.二、填空題59 9 .在(1 x )的展開式中,x2的系數為 _. .【答案】10【解析】 根據二項展開式的通項，賦值即可求出.【詳解】5r2(1x)的展開式通項為T“=C；(x),令x = 2，所以x2的系數為C；(1) =10.故答案為：10.【點睛】本題主要考查二項展開式某特定項的系數求法，解題關鍵是準確求出展開式的通項，屬于基礎題.10.10. 已知向量a二-4,6 ,b= 2,x滿足：/b，其中x R, ,那么b=_【答案】13【解析】根據向量平行的坐標表示求出x，再根據向量模的坐標計算公式即可求出.【詳解】因為a/b，所以-4x -2

10、 6=0，解得x二3.因此 b =22+(3)2= J13.故答案為：.13.【點睛】本題主要考查向量平行的坐標表示以及向量模的坐標計算公式的應用，屬于基礎題.11.11.在公差為d d= = 0 0 的等差數列中,4=,4=1 1 , ,且玄:色伐成等比數列，貝 U U第8頁共 18 頁【答案】3【解析】根據等差數列的通項公式，用d表示出a2,a4,a12，再根據a2,a4,a12成等比數列，列式即可求解.【詳解】因為aa1- (n - 1)d - -1 (n -1)d，所以a2- -1 d, a4- -1 3d,耳2- -1 11d，3d111d而a?,a4,玄仁成等比數列，所以，解得d=

11、 3或 d = 0 (舍去).1+d1+3d故答案為：3.【點睛】本題主要考查等差數列的性質以及等比數列的定義的應用，屬于基礎題.1212 某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的四個側面中，直角三角形有_ 個【答案】3【解析】根據三視圖先還原成四棱錐，然后在該四棱錐的四個側面中判斷，即可得出.【詳解】PA 垂直于底面的四棱錐.H2HH- -4*- I -H第9頁共 18 頁由三視圖可知，PA = AD = AB = 2, BC = 1,AD _ AB, BC _ AB.因為PA_面ABCD，所以VPAB,VPAD都是直角三角形.在LPBC中,PB =2.2, BC =1,PC2二PA2AB2B

12、C2=4 4 1 =9，所以PB2BCPC2,LPBC也是直角三角形.在PDC中，PD2=4 4 =8,CD2=12 22=5，而PC2=9，所以PDC不是直角三角形因此，該四棱錐的四個側面中，直角三角形有3 個.故答案為：3【點睛】本題主要考查三視圖還原成幾何體，線面垂直的定義、勾股定理及其逆定理的應用，意在考查學生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.1313 對于雙曲線，給出下列三個條件：1離心率為2; ;2一條漸近線的傾斜角為 30 ; ;3實軸長為8，且焦點在x軸上. .寫出符合其中兩個條件的一個雙曲線的標準方程 _ 2 2【答案】x y1，答案不唯一1648【解析】根據雙曲線的

13、性質，選擇其中兩個條件，求出a,b,c，即可得到滿足題意的一個的雙曲線標準方程.【詳解】若選擇，所以e = = 2,2 a = 8，解得a = 4,c = 8，所以a.222朋，2b = c - a = 8 - 4 = 48，2 2因為焦點在x軸上，所以雙曲線的標準方程為-y11648若選擇其它，可以得到其它的雙曲線的標準方程.故答案為：2 2x y“、“1，答案不唯一.【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題.1414 某商貿公司售賣某種水果. .經市場調研可知：在未來20天內，這種水果每箱的銷售利第10頁共 18 頁_ 1潤r伸位：元）與時間t（1 _t -20,tN，單位:

14、天）之間的函數關系式為r t 10,且4日銷售量y( (單位：箱) )與時間t之間的函數關系式為y=1202t1第4天的銷售利潤為_ 元；2在未來的這20天中，公司決定每銷售1箱該水果就捐贈m(mN*)元給 精準扶貧”對象. .為保證銷售積極性，要求捐贈之后每天的利潤隨時間t的增大而增大，則m的最小值是_.【答案】12325【解析】先求出第 4 天每箱的銷售利潤，再求出當天的銷售量即可求出該天的銷售利潤；先求出捐贈后的利潤解析式，再根據二次函數的性質，列出不等式組即可解出.【詳解】11因為r 44*10=11,y 4；=120-2 4=112，所以該天的銷售利潤為411 112 =1232；2

15、設捐贈后的利潤為W元，則W =y r-mi；h120-2t -t 1m,12化簡可得，W t 2m 10 t 1200 -120m.2令W二f t，因為二次函數的開口向下，對稱軸為2m 10，為滿足題意所以，2m 10一20“ f(1)A0，解得m色5.* *、n N故答案為：1232;5.【點睛】本題主要考查數學在生活中的應用，涉及二次函數的性質的應用，解題關鍵是對題意的理解和函數模型的建立，屬于基礎題.三、解答題第11頁共 18 頁1515.已知函數f x =2COSXJSin xI 6(1 1)求函數f x的最小正周期；(2 2)求函數兀If x在區(qū)間,0上的最小值和最大值. .! 2第

16、12頁共 18 頁3【答案】(1)n( 2)最大值 0 最小值2【解析】(1)先利用兩角差的正弦公式展開，再利用二倍角公式和輔助角公式(或兩角差的正弦公式)合并成y二Asin的形式，即可求出函數f x的最小正周期求出函數f x的最大最小值.【詳解】3sin xcosx - cos? x311sin 2x cos2x -2222所以函數 f(x)的最小正周期為所以當t = 2x =6當t -2x，即 x 時，f (x)取得最大值 0 66c【點睛】 本題主要考查兩角差的正弦公式、二倍角公式、輔助角公式的應用，以及三角函數在閉區(qū)間上的最值求法，意在考查學生的轉化和運算能力，屬于基礎題.1616 高

17、鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行，更帶動了我國經濟的巨大發(fā)展. .據統(tǒng)計，在 20182018 年這一年內從A市到B市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為50萬人次. .為了解乘客出行的滿意度，現(xiàn)從中隨機抽取100人次作為樣本，得到下表( (單位：人次):):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機 K二.7二,上單調遞增，而sin -丿;sin 1IL 26 .6丿1 6丿調遞減，在,兀小丨，n(2)由x,0，求出t =2x_ IL 26三二，再根據y=sint的單調性可因為f(xf(x 2cosx2cosx0在x，R上恒成立，設g(x)二ex-(a，1)x-

18、b，用導數討論函數的單調性， 求出最小值g(ln(a 1)0,可得b-aw1-(a 1)ln(a 1)再 設 h(x) =1 -xlnx(x0)，求出函數h x的最大值，即為b-a的最大值.【詳解】1(1)由f (x) =exx2，得f (x)二exx,2所以丨I ODC的面積SODC、3k|3(k21) |k|_4k21匸2(4k21)2所以27k2| k|222(4k21)23(k21) | k|222(4k21)2，解得k二4第24頁共 18 頁所以f (0) =1,f (0) =1.所以曲線y = f (x)在點(0, f (0)處的切線方程為x y 1 = 0.(2)由f (x) =

19、exx -x2，得f (x) =ex_1 x.2因為f (0)=0，且f (x) =ex_1 x在:-匚 n 上單調遞增，所以由f (x)二ex-1 x 0得，x 0，所以函數 f(x)在(0, ：)上單調遞增，由f (x) =ex_1 x : 0得，x：0所以函數 f(x)在(-：,0)上單調遞減.綜上，函數 f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,，單調遞減區(qū)間為(：,0).12x(3) 由f (x)x x b，得e -(a 1)x -b0在x R上恒成立.2設g(x)二ex-(a 1)x -b,則g (x) =ex-(a 1).由g (x) =ex-(a 1)=0，得x =1 n(a 1),(a

20、-1).隨著x變化，g (x)與g(x)的變化情況如下表所示：x(-o,ln( a +1)ln( a +1)(ln( a +1),亦)g(x)0+g(x)極小值/所以g(x)在 n(a 1)上單調遞減，在(ln( a 1),；)上單調遞增. 所以函數g(x)的最小值為 g(ln(a 1)(a7)-(a 1)ln( a 1) -b .由題意，得g (ln( a 1)0，即即b _aw1 -(a 1)ln(a 1).設 h(x) =1 -xln x (x 0)，貝V h (x) -Tnx-1 .11因為當0：x時，Tn x -10； 當x時，Tn x -1 - 0,第25頁共 18 頁ee11所以

21、h(x)在(o,_)上單調遞增，在(-，：)上單調遞減.ee111所以當X時，h(X)max =h() =A -eee112 1,b =a 1 (a 1)1 n(a 1)，即 a 1 ,b =-時，b-a有最大值為eee【點睛】本題主要考查導數的幾何意義的應用，利用導數研究函數的單調性和最值，以及函數不等式恒成立問題的解法，意在考查學生的等價轉化思想和數學運算能力，屬于較難題.2020設整數集合A=涸代,，a100?，其中1乞印：:：a2：?: a100乞205，且對于任意i, j 1?？誮乞100，若i j A，則aiajA.(1)請寫出一個滿足條件的集合A；(2)證明：任意x “01,10

22、2,200),x - A；(3) 若a100二205，求滿足條件的集合A的個數. .【答案】(1) A 二1,2,3 川|,100 ( 2)證明見解析(3) 16 個【解析】(1)根據題目條件，令 務二n，即可寫出一個集合 A =1,2,3,111,100；(2)由反證法即可證明；(3)因 為 任 意 的X-101,102，200?,x-A， 所 以 集 合A|201,202，,205中至 多 5 個元素設二bW100,先通過判斷集合A中前100-m個元素的最大值可以推 出a =i(1WiW100-m)，故集合A的個數與集合201 ,202,203,204的子集個數相同，即 可求出.【詳解】(1)答案不唯一. 如 A =1,2,3J|,100;(2) 假設存在一個 X。 101,