求定積分的四種方法

1、定積分的四種求法定積分是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，其中定積分的計算是重點考查的考點之一，下面例題分析定積分計算的幾種常用方法.一、定義法2c例1用定義法求0X3dx的值.分析：用定義法求積分可分四步：分割，以曲代直，作和，求極解：(1)分割：把區(qū)間0 ,2分成n等分，則Ax(2)近似代替： Sif(i)(3)求和：(4)取極限：S=2 lim 一 n n32nlim24 123 L24n%1224n (n 1)lim巡n2n 1)-2 n：x3dx=4.評注：本題運用微積分的基本定理法來求非常簡單.一般地，其它方法計算定積分比較困難時，用定義法，應(yīng)注意其四個步驟中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是求和，體現(xiàn)的思想方法是先分

2、后合，以直代曲.二、微積分基本定理法.、2例2求止積分1(x2x1)dx的值.分析：可先求出原函數(shù)，再利用微積分基本定理求解.3解：函數(shù)y=x22x1的一個原函數(shù)是y=±x2x.3-322X228119所以.(x2x1)dx=(xx)|1=-42-11=一.13333評注：運用微積分基本定理計算定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù).、幾何意義法、1例3求止積分1(71)dx的值.分析：利用定積分的意義是指曲邊梯形的面積，只要作出圖形就可求出.1解：HJ)dx表示圓x+y=1在第一、二象限的上半圓的面積.因為S半圓一，又在x軸上方.2所以1(x2)dx=.評注：利用定積分的幾何意義解題，

3、被積函數(shù)圖形易畫，面積較四、性質(zhì)法例4求下列定積分:2.xsinx,4tanxdx;-2dx.4x21分析：對于用微積分的基本定理可以解決，而的原函數(shù)很難找到，幾乎不能解決.若運用奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間的積分性質(zhì)，則能迎刃而解.2解：由被積函數(shù)tanx及工押匕是奇函數(shù),所以在對稱區(qū)間的積分x21值均為零.所以tan xdx = 0;0.2_._xsinx2dx-x1評注：一般地，若f(x)在a,a上連續(xù)，則有性質(zhì)：當(dāng)f(x)aaa為偶函數(shù)時，af(x)dx=2°f(x)dx;當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，f(x)dx=0.小結(jié)通過這幾個例題分析，讓我明白并牢固記住了如何求定積分的方法，懂得在什么情況該用何種方法解決問題；它有非常重要的意義，并且應(yīng)用也非常廣泛，因此掌握此四種方法可以為學(xué)好其他比如物理學(xué)應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。參考文獻：1數(shù)學(xué)分析上冊