求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

1、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(例題，習(xí)題與答案)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和高考數(shù)學(xué)考試中，求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程和曲線的方程是一個(gè)難點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容(求軌跡方程和求曲線方程的區(qū)別主要在于：求軌跡方程時(shí)，題目中沒(méi)有直接告知軌跡的形狀類型；而求曲線的方程時(shí)，題目中明確告知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡的形狀類型)。求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法有：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法與交軌法等；求曲線的方程常用“待定系數(shù)法”。求動(dòng)點(diǎn)軌跡的常用方法動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是指點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足的關(guān)系式。1 .直接法(1)依題意，列出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何等量關(guān)系；(2)將幾何等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的代數(shù)方程。例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓C:

2、,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)等與，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)明它表示什么曲線.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),直線MNI®圓C于N。依題意：，即而，所以MQMO(x-2)+y=x+y-1化簡(jiǎn)得：x=。動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條直線。2 .定義法分析圖形的幾何性質(zhì)得出動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，由動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件可以判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足圓(或橢圓、雙曲線、拋物線)的定義。依題意求出曲線的相關(guān)參數(shù)，進(jìn)一步寫(xiě)出軌跡方程。例題：動(dòng)圓M過(guò)定點(diǎn)P(4,0),且與圓C:相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。解：設(shè)M(x,y),動(dòng)圓M的半徑為r。xxM與圓C相外切，則有IM。=r+4xxM與圓C相內(nèi)切，則有IMCI=r-4而IMPI=r

3、,所以IMCI-IMPI=±4動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)P(-4,0),C(4,0)的距離差的絕對(duì)值為4,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線。其中a=2,c=4。動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為:4123.相關(guān)點(diǎn)法若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x,y)的變動(dòng)而變動(dòng)，且x、y可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程。這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法。例題：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè)M(x,y),A(),依題意有：x=,y=則：x=2x-4,y=2y-3,因?yàn)辄c(diǎn)A()在圓上，所以(2x4)2(2y3)24點(diǎn)M的軌跡方程為：(x2)2

4、(y罰i動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以(2,)為圓心，1為半徑的圓4.參數(shù)法例題：已知定點(diǎn)A(-3,0),MN分別為x軸、y軸xx的動(dòng)點(diǎn)(MN不重合)，且，點(diǎn)P在直線MNxx。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程。¥巾解：設(shè)N(0,t),P(x,y)直線AN的斜率，因?yàn)?，所以直線MN勺斜率直線MN勺方程為y-t=,令y=0得x=,所以點(diǎn)M(,0)由，得x=),y-t=,貝Uxt2y2t所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：5.交軌法例題：如圖，在矩形中，分別為四邊的中點(diǎn)，且都在坐標(biāo)軸上，設(shè)。求直線與的交點(diǎn)的軌跡的方程。解：設(shè)，由已知得，則直線的方程為，直線的方程為，即y+2=y-2=-兩式相乘，消去即得的軌跡的方程為.練習(xí)與

5、答案1 .設(shè)圓C與圓x2+(y.3)2=1外切，與直線y=0相切，則C的圓心軌跡為AA.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.圓2 .已知圓，圓，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。2L 112(x>0)3 .過(guò)點(diǎn)A(4,0)作圓O：x+y2=4的割線，求割線被圓O截得弦的中點(diǎn)的軌跡。(x-2)+y=4(0<x<1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程4. 已知圓C：+（y-4）=1,動(dòng)點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C的切線，切點(diǎn)為M，且|PM|=|P0|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。提示：|P0|=IPM|=3x+4y-12=05. 已知圓，圓，動(dòng)點(diǎn)到圓,上點(diǎn)的距離的最小值相等.求點(diǎn)的軌跡方

6、程。解：動(dòng)點(diǎn)P到圓C的最短距離為IPC|-1,動(dòng)點(diǎn)P到圓C的最短距離為|PC|-1,依題意有：IPC|-1=|PC|-1,即IPC|=|PC|所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段CC勺中垂線。所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：2x+y-5=06. 已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)P（），Q（）是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。求直線與交點(diǎn)的軌跡E的方程。解：由為雙曲線的左右頂點(diǎn)知，兩式相乘，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，故，所以，即直線與交點(diǎn)的軌跡的方程為7.已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且.記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為.設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合.若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方

7、程。解：（1）聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，又點(diǎn)在曲線上，化簡(jiǎn)可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，即，中點(diǎn)的軌跡方程為（）.8 .已知點(diǎn)C（1,0）,點(diǎn)A、B是。Q上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)。求點(diǎn)P的軌跡T的方程。解：連結(jié)CP,由，知ACLBC.|CP|=|AP|=|BP|=,由垂徑定理知設(shè)點(diǎn)P(x,y),有化簡(jiǎn)，得到。9 .設(shè)橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，當(dāng)繞著M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解：直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)其斜率為k，則直線的方程為，記，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是方程組的解，其方程組中消取得點(diǎn)P的坐標(biāo)為即：點(diǎn)P為，設(shè)點(diǎn)P為

8、，則P點(diǎn)的軌跡參數(shù)方程為（為參數(shù)）消去參數(shù)得：當(dāng)斜率不存在時(shí)，A、B的中為原點(diǎn)（0，0）也滿足上述方程，故：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為。10 .設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切。求圓C的圓心軌跡L的方程。解：兩圓半徑都為2,設(shè)圓C的半徑為R,兩圓心為、，由題意得或，可知圓心C的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)方程為，則,所以軌跡L的方程為.11 .如圖所示，已知P(4,0)是圓內(nèi)的一點(diǎn)。AB是圓上兩動(dòng)點(diǎn),且滿足，求矩形APBQ勺頂點(diǎn)Q的軌跡方程.解：設(shè)R(x,y),依題意，有IOR+|RA|=36，而|RA|=|RP|,所以|OR+|RP|=36,即x2y2(x4)2y236化簡(jiǎn)得：設(shè)Q(X,Y),因?yàn)?/p>

9、R(x,y)是QP的中點(diǎn)，所以有x=,y=,故化簡(jiǎn)得：X12 .在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)A,設(shè)是上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足/MPO=AOP當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程。解：如圖1,設(shè)MQ線段OP的垂直平分線，交。阡點(diǎn)Q,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程QMPQAOP,MP1,且|MO|MP|.因此即另一種情況，見(jiàn)圖2（即點(diǎn)M和A位于直線OP的同側(cè)）MQ線段OP的垂直平分線,MPQMOQ.又因此M在軸上，止匕時(shí)，記M的坐標(biāo)為為分析的變化范圍，設(shè)為上任意點(diǎn)由（即）得，x1-a21.4故的軌跡方程為4(x1),x1,0,x1.13.點(diǎn)M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)。如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，是點(diǎn)在軸上的射影，點(diǎn)滿足條件：，=0,