接觸問題之經(jīng)驗談

1、接觸問題之經(jīng)驗談關(guān)鍵字：法向關(guān)系、切向關(guān)系、罰函數(shù)、拉格朗日乘子法、擴展拉格朗日乘子法。接觸問題的關(guān)鍵在于接觸體間的相互關(guān)系，也就是求解對象之間的相互聯(lián)系，此關(guān)系又可分為在接觸前后的法向關(guān)系與切向關(guān)系。法向關(guān)系（垂直于接觸面的接觸關(guān)系）：在法向關(guān)系中，必須實現(xiàn)兩點：1）接觸力的傳遞；2）兩接觸面間沒有穿透。也就是說即有力的傳遞，同時又不能發(fā)生穿透現(xiàn)象。ANSYS通過兩種算法來實現(xiàn)此法向接觸關(guān)系：罰函數(shù)法和拉格朗日乘子法。1、 罰函數(shù)法是通過接觸剛度在接觸力與接觸面間的穿透值（接觸位移）間建立力與位移的線性關(guān)系：接觸剛度×接觸位移=法向接觸力對面面接觸單元（CONTA17*系列），接觸

2、剛度由實常數(shù)FKN來定義，穿透值在程序中通過分離的接觸體上節(jié)點間的距離來計算。接觸剛度越大，則穿透就越小，理論上在接觸剛度為無窮大時，可以實現(xiàn)完全的接觸狀態(tài)，即使穿透值等于零。但是顯而易見，在程序計算中，接觸剛度不可能為無窮大（否則會導(dǎo)致病態(tài)矩陣），穿透也就不可能真實達到零，而只能是個接近于零的有限值。以上力與位移的接觸關(guān)系可以很容易地合并入整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組【K】×【X】=【F】中去，并不改變總體剛度【K】的大小（【X】位移矩陣，【F】力矩陣）；同時，采用罰函數(shù)法有以下幾個問題必須解決：1）接觸剛度FKN應(yīng)該取多大？2）接觸剛度FKN取大些可以減少虛假穿透，但是也可能會使剛度矩陣

3、成為病態(tài)。3）既然與實際情況不符合的虛假穿透既然是不可避免的，那么可以允許有多大為合適？因此，在ANSYS程序里，通常輸入FKN實常數(shù)不是直接定義接觸剛度的數(shù)值，而是定義接觸面覆蓋之下的單元剛度的一個因子，這使得用戶可以方便地定義接觸剛度，一般FKN取0.1到1中間的值。當(dāng)然，在需要時，也可以把接觸剛度直接定義，例如：FKN輸入為負數(shù)，則程序?qū)⑵渲道斫鉃橹苯虞斎氲慕佑|剛度值。對于接近病態(tài)的剛度陣，不要使用迭代求解器，例如PCG等，它們會需要更多的迭代次數(shù)，同時有可能導(dǎo)致不收斂。這時可以使用直接法求解器，例如稀疏矩陣求解器等，這些求解器可以有效求解病態(tài)問題。穿透的大小影響結(jié)果的精度：用戶可以用P

4、LESOL,CONT,PENE來在后處理中查看穿透的數(shù)值大小。如果使用的是罰函數(shù)法求解接觸問題，用戶一般需要試用多個FKN值進行計算，可以先用一個較小的FKN值開始計算，例如0.1。因為較小的FKN有助于收斂，然后再逐步增加FKN值進行一系列計算，最后得到一個滿意的穿透值。FKN的收斂性要求和穿透太大產(chǎn)生的計算誤差總會是一對矛盾。解決此矛盾的辦法是在接觸算法中采用擴展拉格朗日乘子法。此方法在接觸問題的求解控制中可以有更多更靈活的控制，可以更快的實現(xiàn)一個需要的穿透極限。2、拉格朗日乘子法與擴展拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法與罰函數(shù)法不同，不是采用力與位移的關(guān)系來求接觸力，而是把接觸力作為一個獨立自

5、由度。因此這里不需要進行迭代，而是在方程里直接求出接觸力（接觸壓力）來。Kx=F+Fcontact從而，拉格朗日乘子法不需要定義人為的接觸剛度去滿足接觸面間不可穿透的條件，可以直接實現(xiàn)穿透為零的真實接觸條件，這是罰函數(shù)法所不可能實現(xiàn)的，也是采用拉格朗日乘子法的優(yōu)點所在，但是在使用拉格朗日乘子法有下列注意事項：1）若剛度矩陣中有零對角元，則使得某些求解器不可使用，而只能使用直接法求解器，例如波前法或系數(shù)求解器，而PCG之類迭代求解器是不能用于有零主元問題的。2）由于增加了額外的自由度，剛度矩陣變大了。3）對于一個可能發(fā)生的接觸突變的解除類問題，就是在接觸狀態(tài)發(fā)生變化時，例如從接觸到分離，從分離到

6、接觸，此時接觸力有個突變，產(chǎn)生chattering（接觸狀態(tài)的振動式交替改變）。如何控制這種chattering，是純粹拉格朗日法所難以解決的。因此，為控制chattering，ANSYS采用的是罰函數(shù)法與拉格朗日法相結(jié)合的擴展拉格朗日乘子法。在擴展拉格朗日法中，可以采用實常數(shù)TOLN來控制最大允許穿透值，還有最大允許拉力FTOL；這兩個參數(shù)只對擴展拉格朗日乘子法有效。在擴展拉格朗日乘子法里，程序按照罰函數(shù)法開始，與純粹拉格朗日法類似，用TOLN來控制最大允許穿透值。如果迭代中發(fā)現(xiàn)穿透大于允許的TOLN值（對CONTA178單元是TOLN，而對面面接觸單元CONTA171-174則是FTOLN），則將各個接觸單元的接觸剛度加上接觸力乘以拉格朗日乘子的數(shù)值。因此，這種擴展拉格朗日法是不停更新接觸剛度的罰函數(shù)法，這種更新不斷重復(fù)，直到計算的穿透值小于允許值為止。盡管與拉格朗日法相比，擴展拉格朗日法的穿透并不是零，與罰函數(shù)法相比，可能迭帶次數(shù)會更多；但是擴展拉格朗日法有下列優(yōu)點：1）較少病態(tài)矩陣，對于接觸單元的接觸剛度取值可能更合理。2）與罰函數(shù)法相比較少病態(tài)，與單純的拉格朗日法相比，又沒有剛度陣零對角元，因此在選擇求解器上沒有限制，PCG等迭代求解器都可以應(yīng)用。3）用戶可以自由控制允許的穿透值TOLN（如果輸入了TOLN，而使用罰函數(shù)法，則程序