有效數字及誤差計算

1、有效數字及誤差計算一、測量所謂測量，就是被測量的物理量和選為標準的同類量（即，單位）進行比較，確定出它是標準量的多少倍。如：測量一本書的長度，將書與米尺進行比較，書的長度是米尺的18.85，則書的長度為0.1885m。測量結果的數值大小和選擇的單位密切相關。同樣一個量，測量時選擇的單位越小，測量結果數值就越大，所以任何測量結果都必須標明單位如273.15K，3.0×108m/s等等。二、測量分類根據獲得數據的方法不同，測量可分為直接測量和間接測量兩類。1直接測量直接測量：使用量具或儀表等標準量具經過比較可直接讀數獲取數據。相應測得量稱為直接測量量。如：米尺測量長度、溫度計測量溫度、天

2、平測量質量等等。2間接測量間接測量：不能直接測量出結果，而必須先直接測量與它有關的一些物理量，然后利用函數關系而獲取被測量數據的測量相應的測得量就是間接測量量。如：物質的密度、物體運動的速度、物體的體積等等。三、有效數字測量的結果因所用單位不同而不同，但在某一單位（量具）下，表示該測量值的數值位數不應隨意取位，而是要用有確定意義的表示法。圖1用毫米尺測量工件的長度如圖1是用毫米尺測量一段工件長度的示意圖。此工件的長度介于13mm和14mm之間，其右端點超過13mm刻度線處，估計為6/10格，即工件的長度為13.6mm。從獲得結果看，前兩位13是直接讀出，稱為可靠數字，而最末一位0.6mm則是從

3、尺上最小刻度間估計出來的，稱為可疑數字（盡管可疑，但還是有一定根據，是有意義的）。定義：由幾位可靠數字加上一位可疑數字在內的讀數，稱為有效數字。如上讀數13.6mm共有三位有效數字，這里的第三位數“6”已是估計出來的，因此，用這種規(guī)格的尺子不可能測量到以毫米為單位小數點后第2位。注：1、有效數字的多少，表示了測量所能達到的準確程度，這與所用的測量工具有關。2、當被測物理量和測量儀器選定后，測量值的有效數字位數就可以確定了。3、儀器的讀數規(guī)則測量就要從儀器上讀數，讀數包括儀器指示的全部有意義的數字和能夠估讀出來的數字。在測量中，有一些儀器讀數是需要估讀的，如米尺、螺旋測微計、指針式電表等等。估讀

4、時，首先根據最小分格大小、指針的粗細等具體情況確定把最小分格分成幾分來估讀，通常讀到格值的1/10，1/5或1/2。4、有效位數的認定（1）數字中無零的情況和數字間有零的情況：全部給出的數均為有效數。如：56.14mm，50.007mm有效位數分別為四位、五位。（2）對于小數末尾的零：有小數點時，小數點后面的零全部為有效數字。如：50.140mm，2.204500的有效位數分別為五位、七位。（3）對于第一位非零數字左邊的零：第一位非零數字左邊的零稱為無效位零。如：0.05mm，0.00155m有效位數分別為一位、三位。（4）科學計數法：計量單位的不同選擇可改變量值的數值，但決不應改變數值的有效

5、位。因此，在變換單位時，為了正確表達出有效位數，實驗中常采用科學計數法（10的冪次方）。如： 注：大單位轉換小單位或小單位轉換大單位時，原數的有效位不變。四、有效數字的運算規(guī)則0數值的舍入修約規(guī)則（1）確定需要保留的有效數字和位數。（2）舍入后面多余的數字。原則“四舍六入五湊偶”。如 2.71737.6913.142 4.510注：測量結果的不確定度的有效數字，“只進不舍”。如某測量不確定度的計算結果為0.32，結果表示中取0.4（結果表示式中的不確定度取1位有效數）。1加減法運算和差運算的結果，其小數點以后的位數和參與運算各量中小數點位數最少的相同。如： （354.4）（514）2乘除法運算

6、乘除運算結果的有效位數一般和參與乘除運算各量中有效位最少者的位數相同。如注：（1）乘法：若兩因子的最高位的積大于或等于10，其結果就要多保留一位有效數字。如：（2）除法：若被除數有效數字的位數小于（等于）除數的有效數字位數，并且它的最高位的數小于除數的最高位的數，其結果的有效數字位數應比被除數少1位。如在以上四則運算中，確定計算結果的有效數取位的原則,概括為：可靠數與可靠數運算的結果仍為可靠數；可靠數與可疑數運算的結果為可疑數；可疑數與可疑數運算的結果仍為可疑數。運算進位的數字是可靠數字。3乘方、開方運算此類運算規(guī)則和乘法運算法則相同。如：4三角函數、對數、指數運算（1）對數函數：對數運算結果

7、的有效數字，其小數點后面部分的位數與真數的位數相同。如：若真數的第一位數大于5，運算結果的有效數字可以多取1位。如：（2）指數函數：指數運算結果的有效數字位數與指數的小數點后的位數相同（包括小數點后的0）。如：，由于6.25的小數點后只有2位，則，而當x=0.0000924，小數點后有7位，則。對于的有效數字取法與的取法相同。（3）三角函數：三角函數運算結果的有效位數通常是由角度的有效位數決定的。通過改變角度值的末位的1個單位，由函數值的變化來決定三角函數值的有效數字取位。如：，而，兩結果在小數點后第四位產生差別，即5非測量常量的有效位數是無限的（1）自然數是準確的，運算中不考慮它們的位數（或

8、者說有效位數無限）。（2）運算中無理常數（如p，e，等）的位數：*若是手工計算，此類常數有效位比參加運算的各分量中有效位最少者多取一位。*若是計算器，可以直接利用計算器相應的“鍵”。 五、 測量誤差的基本概念測量的目的是為了得到測量結果，但在許多場合下僅給出測量結果往往還不充分。任何測量都存在缺陷，所有的測量結果都會或多或少地偏離被測量的真值，因此在給出測量結果的同時，還必須同時指出所給測量結果的可靠程度。在各種測量領域，經常采用諸如測量誤差、測量準確度和測量不確定度等術語來表示測量結果質量的好壞。附：真值，是指在一定條件下，任何物理量的大小都是客觀存在的，不以人的意志為轉移的客觀量

9、值。1測量誤差的定義測量誤差常常簡稱為誤差（）：測量值（x）減去被測量的真值（a）。注：(1)由于真值不能確定，實際上用的是約定真值。嚴格意義上的誤差也無法得到，因而得到的只是誤差的估計值。（2）誤差只有通過測量才能得到。通過誤差分析所得到的測量結果的所謂“誤差”，實際上并不是真正的誤差，而是被測量不能確定的范圍。測量誤差的大小反映了測量結果的準確程度。測量誤差可以用絕對誤差、相對誤差、百分誤差表示。絕對誤差測量量值真值附：最佳值，是指測量結果中的報告值。如直接多次測量中的平均值。2系統(tǒng)誤差和隨機誤差誤差可以分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩類。系統(tǒng)誤差： 在重復性條件下，對同一被測量進行無限

10、多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。計量師計算方法：（系統(tǒng)誤差=誤差=測量值-標稱值）有點暈？注：（1）由于真值不確定，則能確定的只是系統(tǒng)誤差估計值。（2）對測量儀器而言，其系統(tǒng)誤差也稱為測量儀器的偏差。（3）在重復性條件下得到的不同測量結果應該具有相同的系統(tǒng)誤差。（4）系統(tǒng)誤差可以通過對測量結果進行修正而消除。隨機誤差： 測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差。注：（1）隨機誤差等于誤差減去系統(tǒng)誤差。測量結果為無限多次測量結果的平均值，根據隨機誤差的性質（對稱性、抵償性）可知，隨機誤差為零。只存在系統(tǒng)誤差。實際測量只能進行有限次數，測量結

11、果中隨機誤差和系統(tǒng)誤差分量都存在。在重復性條件下得到的不同測量結果具有不同的隨機誤差，但有相同的系統(tǒng)誤差。    根據定義，誤差、系統(tǒng)誤差和隨機誤差均表示兩個量值之差，因此隨機誤差和系統(tǒng)誤差也都應該具有確定的符號，同樣也不應當以“±”號的形式出現。由于隨機誤差和系統(tǒng)誤差都是對應于無限多次測量的理想概念，而實際上無法進行無限多次測量，只能用有限次測量的結果作為無限多次測量結果的估計值，因此可以確定的只是隨機誤差和系統(tǒng)誤差的估計值。附：隨機誤差的性質，單峰性、對稱性、有界性、抵償性。3隨機誤差的處理根據隨機誤差的分布特征，可知：（1）在多次測量時，

12、正負隨機誤差常可以大致相消，因而用多次測量的算術平均值表示測量結果可以減少隨機誤差的影響；（2）測量值的分散程度直接體現隨機誤差的大小，測量值越分散，測量的隨機誤差就越大，因此必須對測量的隨機誤差做出估計才能表示出測量的精密度。對隨機誤差估計的方法有多種，科學實驗中，常用標準偏差來估計測量的隨機誤差。殘差、偏差和誤差設a為被測量真值，m為總體平均值（無限多次測量結果的平均值），為測量平均值（有限次測量的平均值），為單次測量值。殘差：單次測量值與測量平均值之差。 偏差：單次測量值與總體平均值m之差。誤差：單次測量值與真值a之差。、和 （總體標準偏差）：注：不是測量值中任何一個具體測量值的隨機誤差

13、；的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機誤差的概率分布情況；（單次測量值的標準偏差，有限次測量時）：貝塞爾公式注：是從有限次測量中計算出來的對總體標準偏差的最佳估計值，稱為實驗標準誤差。（算術平均值的標準誤差）：注：l 算術平均值的標準偏差，表征同一被測量量的各個測量列算術平均值分散度，可作為算術平均值不可靠性的評定標準。l 算術平均值對單次測量的隨機誤差有一定的抵消，因而更接近真值，它們的隨機誤差分布離散就會小得多。附：多次測量的最佳值為算術平均值設在一組測量值中，n次測量的值分別為：x1、x2、x3、xn，由統(tǒng)計原理可知，其真值的最佳值x0是能使各次測量值與該值之差的平方和為最小的那個

14、值。即存在x0值使得有最小值。令0則得即，算術平均值最接近于真值。4系統(tǒng)誤差的處理（1）系統(tǒng)誤差的發(fā)現發(fā)現系統(tǒng)誤差是消除和修正系統(tǒng)誤差的前提。1）理論分析法：測量過程中因理論誤差公式的近似等原因造成的系統(tǒng)誤差常常可以從理論上作出判斷并估計其量值，如伏安法測電阻。2）實驗比較法：對被測量的測量量采用實驗方法對比、測量方法對比、儀器對比及測量條件對比來研究其測量結果的變化規(guī)律，從而發(fā)現可能存在的系統(tǒng)誤差。3）數據分析法：分析多次測量的數據分布規(guī)律來發(fā)現系統(tǒng)誤差。（2）系統(tǒng)誤差的減小和修正1）通過公式引入修正值。2）消除系統(tǒng)誤差產生的因素。3）改進測量原理和測量方法。六、測量結果的不確定度概念1表征

15、測量結果質量的指標（1）精密度、準確度和精確度精密度、準確度和精確度都是評價測量結果好壞的三個概念，但含義不同。1）精密度：表示測量結果中隨機誤差大小的程度。即指在規(guī)定條件下對被測量進行多次測量時，各次測量結果之間離散的程度。精密度高則離散程度小，隨機誤差小，但系統(tǒng)誤差的大小不明確。 2）準確度：表示測量結果中系統(tǒng)誤差大小的程度。它反應了在規(guī)定條件下，多次測量數據的平均值或實驗所得結果與真值符合的程度。準確度高即測量結果接近真值的程度好，系統(tǒng)誤差小，但數據離散程度，即隨機誤差的大小不明確。 3）精確度：表示測量結果中系統(tǒng)誤差與隨機誤差綜合大小的程度，也就是對測量的精密度和準確度的綜合評定。對于

16、實驗測量來說，精密度高準確度不一定高；而準確度高精密度也不一定高；只有精密度和準確度都高時，也就是說，只有隨機誤差和系統(tǒng)誤差都小時，精確度才高。圖 2精密度、準確度、精確度示意圖為了更好地理解這些概念，現以打靶為例來形象地說明。圖2（a） 表示彈著點相互之間比較分散，但總體來看沒有明顯的固定偏向，因而隨機誤差大，系統(tǒng)誤差小，即精密度較低，而準確度較高；圖 (b)表示彈著點比較密集，但總體來看偏離耙心較遠，因而隨機誤差小，系統(tǒng)誤差大，即精密度較高，而準確度較低；圖 (c)表示彈著點比較密集，且總體來看離靶心近，因而隨機誤差小，系統(tǒng)誤差也小，即精密度和準確度都高，這才是精確度高。以上關于測量結果質

17、量評價的幾個術語，能夠定性地描述測量結果的質量。對測量結果的質量定量描述還得有具體的處理方法。目前國際上采用測量不確定度來定量評定測量結果。2測量不確定度（1）為什么要引入不確定度由于真值一般不可能準確的知道，誤差僅是一個理想概念，測量誤差也就不可能確切獲得。根據現實可行的辦法，由實驗數據和測量條件推算出來的只能是誤差的估計值。將任何一個確定的已知值稱為誤差是不科學的，因而誤差估計值應采用一個專門名稱，即測量不確定度。（2）測量不確定度的概念：測量不確定度：表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結果相聯系的參數。注：1）不確定度表示一個區(qū)間，即被測量之值可能的分布區(qū)間。（測量誤差僅是一個差值

18、）為了表征這種分散性，測量不確定度可以用標準偏差，或標準偏差的倍數。2）測量不確定度由多個分量組成。其中一些分量可用測量列結果的統(tǒng)計分布估算，并用實驗標準偏差表征。另一些分量則可用基于經驗或其他信息的假定概率分布估算，也可用標準偏差表征。3）測量結果：它是被測量之值的最佳估計，而所有的不確定度分量均貢獻給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應引起的分量。被測量之值：它是指許多個測量結果，其中不僅包括通過測量得到的測量結果，還應包括測量中沒有得到但又是可能出現的測量結果。（3）測量不確定度的表示1）第一種表示方式標準不確定度：測量不確定度用標準偏差表示。統(tǒng)一規(guī)定用小寫拉丁字母“u”表示。在正態(tài)分布情況下，

19、所對應的置信概率僅為68.27%。2）第二種表示方式擴展不確定度：測量不確定度也可以用標準偏差的倍數k來表示。統(tǒng)一規(guī)定用大寫拉丁字母U表示。即標準不確定度和擴展不確定度之間的關系為：式中k為包含因子。擴展不確定度U表示具有較大置信概率。附：JJF1059-1999測量不確定度評定與表示規(guī)定，除計量學基礎研究基本物理常數測量，以及復現國際單位制單位的國際比對等領域通常僅給出合成標準不確定度外，在其余領域中一般均要求給出測量結果的擴展不確定度。附：誤差可以用絕對誤差和相對誤差兩種形式來表示，不確定度也同樣可以有絕對不確定度和相對不確定度兩種形式。絕對不確定度常簡稱為不確定度，而相對不確定度則往往在

20、其不確定度符號“U”或“u”上加上腳標“rel”以示區(qū)別。被測量x的標準不確定度u(x)（或U(x)）和相對標準不確定度urel(x)（或Urel(x)）之間的關系為：或在計算相對不確定度時，分母中的x應取其真值。由于真值無法知道，實際上用的是約定真值。而在實際工作中一般常以該量的最佳估計值，即測量結果來代替。（4）測量不確定度的分類由于測量結果會受許多因素的影響，因此通常不確定度由多個分量組成。評定方法分為A、B兩類。A類測量不確定度：是指用對觀測列進行統(tǒng)計分析的方法進行的評定，其標準不確定度用實驗標準差表征；B類測量不確定度：是指用不同于對觀測列進行統(tǒng)計分析的方法進行的評定。即所有與A類評

21、定不同的其他評定方法均稱為B類評定，它可以由根據經驗或其他信息的假定概率分布估算其不確定度，也以估計的標準偏差表征。合成標準不確定度：所有各不確定度分量的合成，規(guī)定以符號uc表示，它是測量結果的標準偏差的估計值。由于無論A類不確定或B類不確定，它們的標準不確定度均以標準偏差表示，因此兩種評定方法得到的不確定度實質上并無區(qū)別，只是評定方法不同而已。在對各不確定度分量進行合成得到合成標準不確定度時，兩者的合成方法也無區(qū)別。因此在進行不確定度評定時，過分認真地討論每一個不確定度分量究竟屬于A類不確定或是B類不確定是沒有必要的。注：所謂的A類和B類僅是為了敘述方便起見而對其按評定方法進行的分類，而不是

22、對不確定度本身的分類。根據定義，測量不確定度是與測量結果相聯系的參數，意指測量不確定度是一個與測量結果“在一起”的參數，在測量結果的完整表述中應該包括測量不確定度。七、不確定度的確定1、A類不確定度的估算對于有限多次直接測量，其不確定度的A類分量記為：其中：tp為分布系數，為無限多次直接測量的不確定度A類分量，。附表：分布系數t與測量次數n的關系 tn3456789101520P0.681.321.201.141.111.091.081.071.061.041.0310.902.922.352.132.021.941.861.831.761.731.711.650.954.303.182.78

23、2.572.462.372.312.262.152.091.960.999.935.844.604.033.713.503.363.252.982.862.58在大學物理實驗中約定1：針對測量次數一般少于10次的具體情況，可取，即不確定度的A類分量為：注意：此式應用條件：測量次數必須在610次。(置信概率近似為95或更大?；蛘哒f，被測量的真值落在范圍內的概率接近或大于95。)2、B類不確定度的估算在工程實踐中，絕大多數測量都是一次測量。通常以儀器的最大允差表示一次測量結果的B類不確定度。一般而言，與的關系為：其中C為置信系數，它由儀器質量指標在，范圍內服從的分布（正態(tài)分布、均勻分布、三角分布）

24、來確定。附表：幾種常見儀器的質量指標在最大允差內的分布與置信系數C的關系儀器名稱米尺游標卡尺千分尺物理天平秒表誤差分布正態(tài)分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布C3333在大學物理實驗中約定2：C=1，即把直接當作B類不確定度。即：注：最大允差在大學物理實驗中是一種簡化表示，它是參照國家標準規(guī)定的計量儀表、器具的準確度等級或允許誤差范圍，由生產廠家給出或由實驗室結合具體測量方法和條件簡化的約定。通常取最大允差等于儀表、器具的示值誤差限或基本誤差限。在大學物理實驗中約定3：儀器最大允差確定：（1）對可以估讀的儀器：儀取儀器最小分度的一半。如米尺的最小刻度為1mm，則米尺的儀0.5mm。（2）對不可

25、以估讀的儀器：儀取儀器最小分辨讀數。如分辨率為0.05mm的游標卡尺，其儀0.05mm；分辨率為0.02mm的游標卡尺，其儀0.02mm；分辨率為的分光計，其儀；各類數字式儀表，儀儀器最小讀數。（3）對有說明或注明儀器精度等級的儀器：儀按儀器說明書計算，如：螺旋測微器（050mm），儀0.004mm；電學儀器（如電阻箱、電橋、電表等），儀按其儀器等級計算，如：電阻箱、電橋，；電磁儀表（指針式電流表、電壓表），。3、合成不確定度（也稱為總不確定度，簡稱為不確定度）根據國際標準化組織等7個國際組織聯合發(fā)表測量不確定度表示指南ISO1993(E)的精神，大學物理實驗的測量結果表示中，當兩類不確定度相

26、互獨立時，可用“方、和、根”法合成，獲得總不確定度，簡稱不確定度。相對不確定度為：八、測量結果的不確定度確定1、單次直接測量因單次測量不存在不確定度A類分量，故單次測量的總不確定度就等于不確定度B類分量。注：此時的不確定度可能小于多次測量的不確定度，這并不意味著單次測量比多次測量準確，只是其置信概率要小于多次測量。2、多次直接測量對A類不確定度主要討論多次等精度測量條件下，讀數分散對應的不確定度，用貝塞爾公式計算；對B類不確定度，主要討論儀器不準所對應的不確定度；用兩類不確定度的“方、和、根”來求總不確定度。如：用螺旋測微器測量小鋼球的直徑，六次測量值分別為：5.499，5.498，5.500

27、，5.499，5.498，5.500，單位mm，試求測量結果的不確定度。解：根據不確定度理論，可知A類不確定度分量為0.00090mm根據說明書可知，螺旋測微器的誤差限為0.004mm，即B類不確定度分量為其總不確定度為0.0041mm3、間接測量間接測量的最佳估計值和總不確定度是由直接測量結果通過函數式計算出來的。設間接測量的函數式為其中，則間接測量量的最佳估計值為間接測量量的不確定度為相對不確定度為特例：當間接測量的函數式為乘除形式，可以先求相對不確定度再求總不確定度附表：常用函數的不確定度傳遞公式函數式不確定度傳遞公式九、測量結果的表示實驗數據處理好以后，最終要把測量結果表示出來，才算完成實驗的測量任務。測量結果一般可寫成式中X表示測量結果，表示被測量的最佳值，表示測量的不確定度。即：一個被測量的測量結果的表示包括“測量值”、“不確定度”、“單位”三部分。也可以連同給出相對不確