內(nèi)生性成長(zhǎng)與門檻效果跨期疊代模型

1、內(nèi)生性成長(zhǎng)與門檻效果：跨期疊代模型Endogenous Growth and Threshold Effects: An Overlapping Generations Model摘 要本文建構(gòu)一個(gè)單部門的內(nèi)生性成長(zhǎng)跨期疊代模型，分析完全預(yù)知長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)的特性。本模型假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)具備凸性的生產(chǎn)技術(shù)，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期成長(zhǎng)率可能不為零。本文建立了長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)率為零的充分條件。本文也推導(dǎo)出存在多重長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)路徑的充分條件以及存在唯一的、穩(wěn)定的長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)路徑的充分條件與必要條件。我們也發(fā)現(xiàn)初始條件可以決定長(zhǎng)期均衡的成長(zhǎng)路徑而且存在門檻效果。最後，我們證明出資本所得稅對(duì)長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率的影響是負(fù)相關(guān)的。關(guān)鍵字

2、：內(nèi)生性成長(zhǎng)、門檻效果、資本所得稅AbstractThis paper analyzes the perfect foresight long run growth property in a one-sector overlapping generations model with endogenous growth. It is shown that in one-sector models with convex technologies the asymptotic growth rate may not be zero. The study establishes the suffi

3、cient conditions that the long run growth rate must be zero. The paper derives a set of sufficient conditions for the existence of the multiple balanced growth paths and explores both sufficient and necessary conditions for the existence of a unique and stable balanced growth path. We also find that

4、 the balanced growth path depends on initial conditions and, in general, there are threshold effects. Finally, we prove that the impact of the capital income taxation on the long-run economic growth rate is negative.Keywords：endogenous growth, threshold effects, capital income taxation壹、前言跨期疊代模型 (ov

5、erlapping generations model) 的概念自從 Samuelson (1958) 和 Diamond (1965) 提出後，許多學(xué)者已經(jīng)陸續(xù)地將它用來(lái)分析不同的議題，諸如：成長(zhǎng)、貿(mào)易和部門間的調(diào)整 (sectoral adjustment) 等。對(duì)於傳統(tǒng)跨期疊代模型長(zhǎng)期均衡的存在性 (existence)、唯一性 (uniqueness) 和穩(wěn)定性 (stability) 分析，亦有許多學(xué)者詳加探討 在純粹交換 (pure exchange) 的跨期疊代模型中，偏好 (preference) 滿足消費(fèi)毛替代 (gross substitutability in consu

6、mption) 的特性對(duì)於完全預(yù)知 (perfect foresight) 長(zhǎng)期均衡的決定，扮演著舉足輕重的角色，例如：Gale (1973)、Balasko and Shell (1980, 1981)、Balasko and Cass and Shell (1980)、Geanakopolos and Polemarchakis (1984)、Kehoe and Levine (1984,1985) 以及Kehoe and Levine and Mas-Colell and Woodford (1991)。然而，在考慮生產(chǎn)面的跨期疊代模型時(shí)，消費(fèi)毛替代的角色可能稍有改變。單部門的模型中，消

7、費(fèi)毛替代的特性仍扮演著重要的角色，例如：Galor and Ryder (1989) 以及Konishi and Perera-Tallo (1997)；在兩部門的模型中，消費(fèi)毛替代已不再扮演重要的角色，例如：Calvo (1978) 認(rèn)為不管消費(fèi)毛替代的條件是否成立，長(zhǎng)期均衡的局部不確定 (local indeterminacy) 是可能發(fā)生的。Galor (1992) 證實(shí)消費(fèi)毛替代不再是長(zhǎng)期均衡決定的充分條件；而且只要滿足投資財(cái)是資本密集財(cái)和第二期的消費(fèi)是正常財(cái)兩個(gè)條件，則經(jīng)濟(jì)體系中會(huì)存在一個(gè)全域的 (global)、唯一的馬鞍調(diào)整路徑 (saddle path)。偏好與生產(chǎn)技術(shù)的特性是

8、否會(huì)產(chǎn)生不同的均衡成長(zhǎng)路徑？在無(wú)窮遠(yuǎn)期、代表性個(gè)人模型與跨期疊代模型中，會(huì)得到截然不同的結(jié)論。倘若生產(chǎn)函數(shù)具備凸性技術(shù) (convex technologies) 的特性，考慮個(gè)人的儲(chǔ)蓄行為時(shí)，在無(wú)窮遠(yuǎn)期、代表性個(gè)人的模型中，如果利率等於時(shí)間偏好率，代表性個(gè)人會(huì)選擇平滑 (smooth) 的消費(fèi)型態(tài)，而且個(gè)人的消費(fèi)型態(tài)與社會(huì)總合的消費(fèi)型態(tài)一致，因此，總合消費(fèi)水準(zhǔn)是穩(wěn)定的，即長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)率為零。反之，假使利率大於時(shí)間偏好率，則高的利率水準(zhǔn)代表未來(lái)消費(fèi)的價(jià)格會(huì)下降，將激勵(lì)個(gè)人的儲(chǔ)蓄意願(yuàn)，故總合消費(fèi)水準(zhǔn)會(huì)持續(xù)成長(zhǎng)。此時(shí)只要維持高的利率水準(zhǔn)，便可維持正的長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)率 Rebelo (1991) 與J

9、ones and Manuelli (1990) 在凸性生產(chǎn)技術(shù)以及無(wú)窮遠(yuǎn)期、代表性個(gè)人的模型中，探討長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)路徑的特性。然而，在跨期疊代模型中，總合消費(fèi)水準(zhǔn)為不同世代消費(fèi)水準(zhǔn)的加總，因此，在有限生命的假設(shè)下，雖然個(gè)人儲(chǔ)蓄會(huì)受到利率正面的影響，但總合消費(fèi)水準(zhǔn)不論利率大小為何皆會(huì)趨近一個(gè)上限值，換句話說(shuō)，其長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)率為零。事實(shí)上，Boldrin (1992) 與 Jones and Manuelli (1992) 指出：在單部門的跨期疊代模型中，若生產(chǎn)函數(shù)具備凸性技術(shù)的特性，則長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)率為零 Jones and Manuelli (1992, pp.173) 文中指出：基本的觀念是年

10、輕的一代沒有足夠的所得向年長(zhǎng)者購(gòu)買大量的資本存量，因此在任何利率水準(zhǔn)下經(jīng)濟(jì)體系中經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率的極限值為零；並且提出四個(gè)解決跨期疊代模型長(zhǎng)期零成長(zhǎng)的方法，分別為：1.考慮遺產(chǎn)的存在。2.利用政府政策 (如：稅賦政策) 產(chǎn)生所得重分配效果進(jìn)而激勵(lì)年輕者增加儲(chǔ)蓄。3.假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)具備非凸性 (nonconvexity) 技術(shù)。4.採(cǎi)用兩部門跨期疊代模型並且不以資本財(cái)為計(jì)價(jià)單位。在凸性生產(chǎn)技術(shù)的前提下，利率等於資本的邊際產(chǎn)出。當(dāng)資本存量不斷地累積時(shí)，資本的邊際產(chǎn)出水準(zhǔn)會(huì)下降；意味著利率水準(zhǔn)也會(huì)下降且等於時(shí)間偏好率。因此，在新古典成長(zhǎng)模型中，總合消費(fèi)水準(zhǔn)是固定的即長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)率等於零。內(nèi)生性成長(zhǎng) (end

11、ogenous growth) 模型可透過(guò)生產(chǎn)函數(shù)具備非凸性技術(shù)的假設(shè)解決上述問題。Romer (1986) 提出生產(chǎn)外部性的概念，其認(rèn)為知識(shí)具有正的外部性，因此生產(chǎn)函數(shù)具有規(guī)模報(bào)酬遞增 (increasing returns to scale) 的特性，透過(guò)最適化的求解過(guò)程，得到長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)率為內(nèi)生決定的結(jié)論。Lucas (1988) 強(qiáng)調(diào)人力資本 (human capital) 非凸性的生產(chǎn)技術(shù)是成長(zhǎng)的動(dòng)力。Arrow (1962) 所提邊做邊學(xué) (learning by doing) 的觀念，認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)的累積是靠毛投資 (gross investment) 的增加同時(shí)經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)也是技

12、術(shù)進(jìn)步的動(dòng)力 Stokey (1988) 與Schmitz (1989) 延伸Arrow邊做邊學(xué)的觀念探討長(zhǎng)期成長(zhǎng)的效果。關(guān)於有限生命週期成長(zhǎng)模型的文獻(xiàn)，大都將焦點(diǎn)集中在非凸性生產(chǎn)技術(shù)的設(shè)定。Azariadis and Drazen (1990) 假設(shè)規(guī)模報(bào)酬遞增的生產(chǎn)函數(shù)，研究多重均衡成長(zhǎng)路徑的特性以及門檻效果 (threshold effects)。Bencivenga and Smith (1991) 探討金融仲介機(jī)構(gòu)對(duì)成長(zhǎng)率的影響。Jones and Manuelli (1992) 在非凸性生產(chǎn)技術(shù)的假設(shè)下探討均衡成長(zhǎng)路徑的條件。Saint-Paul (1992) 將 Romer 具有

13、正的外部性的生產(chǎn)函數(shù)加入 Blanchard (1985) 跨期疊代模型中，推導(dǎo)出所有的內(nèi)生性成長(zhǎng)路徑皆滿足動(dòng)態(tài)效率性 (dynamic efficiency) 的結(jié)論。Mourmouras and Ghosh (2000) 擴(kuò)充 Saint-Paul 的模型為兩國(guó)、兩財(cái)且生產(chǎn)外部性來(lái)自於本國(guó)與外國(guó)的資本存量，分析財(cái)政政策對(duì)福利與成長(zhǎng)的影響。另外，Mountford (1999) 則加入 Arrow 邊做邊學(xué)生產(chǎn)外部性的觀念發(fā)展出兩國(guó)的貿(mào)易模型，並且探討貿(mào)易對(duì)成長(zhǎng)率的影響。本文將依據(jù) Galor and Ryder (1989) 和 Arrow (1962) 的概念建構(gòu)一個(gè)單部門的內(nèi)生性成長(zhǎng)跨

14、期疊代模型，並假設(shè)效用函數(shù)具有位似函數(shù) (homothetic function) 的性質(zhì)，分析長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)路徑的特性。我們推導(dǎo)出存在唯一的、穩(wěn)定的長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)路徑的充分條件與必要條件。而多重穩(wěn)定均衡成長(zhǎng)路徑的特性，亦可解釋門檻效果。同時(shí)我們可以看出，在生產(chǎn)函數(shù)具有凸性生產(chǎn)技術(shù)的假設(shè)下，可得到唯一的、穩(wěn)定的長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)路徑。並且，可能產(chǎn)生多重長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)路徑的情形。一般而言，假設(shè)凸性技術(shù)生產(chǎn)函數(shù)的成長(zhǎng)模型，大都隱含經(jīng)濟(jì)體系會(huì)收斂至唯一的均衡成長(zhǎng)路徑；因此，無(wú)法解釋國(guó)際間為何會(huì)形成高度成長(zhǎng)與低度成長(zhǎng)的國(guó)家。本文在凸性技術(shù)生產(chǎn)函數(shù)的設(shè)定下，產(chǎn)生多重、穩(wěn)定的均衡成長(zhǎng)路徑，恰可對(duì)此現(xiàn)象提出合理的解釋。

15、此外，本模型的門檻效果亦可說(shuō)明為何有些原本低成長(zhǎng)的國(guó)家會(huì)追趕上 (catch up) 原本高成長(zhǎng)的國(guó)家。最後，援用本模型分析資本所得稅 (capital income taxation) 對(duì)長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率的影響，我們證明出資本所得稅與長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)的結(jié)論。本文行文如下：第二節(jié)為模型的建立；第三節(jié)描述長(zhǎng)期均衡的成長(zhǎng)路徑；第四節(jié)舉例說(shuō)明資本所得稅與長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率之關(guān)係；最後一節(jié)則是結(jié)論。貳、模型本節(jié)將延伸 Galor and Ryder (1989) 和 Arrow (1962) 的模型架構(gòu)，進(jìn)而建立一個(gè)單部門內(nèi)生性成長(zhǎng)的跨期疊代模型。說(shuō)明如下：一、生產(chǎn)面假設(shè)經(jīng)濟(jì)體系只生產(chǎn)一種財(cái)貨Y，

16、此財(cái)貨可用於消費(fèi)和投資兩種用途。生產(chǎn)函數(shù)滿足新古典生產(chǎn)函數(shù) (neoclassical production function) 的特性，生產(chǎn)技術(shù)不隨時(shí)間而改變，要素市場(chǎng)和商品市場(chǎng)皆為完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)。而且每期的人口成長(zhǎng)率n是外生給定的，因此，其中和分別代表t期和t+1期的總?cè)丝跀?shù)。Y財(cái)貨的生產(chǎn)函數(shù)設(shè)定為 假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)必須滿足下列四個(gè)特性：(i) 是二次連續(xù)可微分。(ii) ， 。(iii) ，此為Inada條件 (Inada condition)。(iv) 存在一個(gè)上限值 (upper bound) 使得。 ,(1)生產(chǎn)過(guò)程中使用兩種生產(chǎn)要素：資本 (K) 和有效勞動(dòng)力 (efficiency

17、labor, )。(1) 式中 是t期的資本-有效勞動(dòng)力比率 (capital-efficiency labor ratio)。是t期的技術(shù)進(jìn)步因子 Azariadis and Drazen (1990, pp.506) 文中指出：技術(shù)進(jìn)步因子的設(shè)定有三種方式“The scale factor At may depend functionally on a vector of social inputs that are not controlled by any one producer. Among these inputs one may in principle count econo

18、my wild averages of private inputs (see Lucas 1988 ), lagged values of input or output (as in Arrow 1962 ), or intangible factors such as knowledge Romer, 1986; Kohn and Marion, 1988 .”，將採(cǎi)用 Arrow (1962) 邊做邊學(xué)生產(chǎn)外部性的概念。Arrow 邊做邊學(xué)生產(chǎn)外部性的設(shè)定，係指技術(shù)進(jìn)步或知識(shí)的增加是靠資本存量的累積，隨著時(shí)間的經(jīng)過(guò)技術(shù)進(jìn)步因子只增不減，因此可能產(chǎn)生規(guī)模效果 (scale effects

19、)，亦即經(jīng)濟(jì)體系中人口數(shù)愈多其經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率也愈高 Aghion and Howitt (1990, 1992) 發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率與經(jīng)濟(jì)體系中的人口數(shù)成正比。Kremer (1993)更以人口學(xué)的觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)歷史上隨著人口不斷地增加，世界的經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)也隨之增加。然而，實(shí)證分析並不支持規(guī)模效果的存在，請(qǐng)見 Barro and Sala-i-Martin (1995) 第四章所言。有鑑於此，本文對(duì)於技術(shù)進(jìn)步因子的設(shè)定，將採(cǎi)取平均每人資本量 (per capita) 的假設(shè)，其目的為避免規(guī)模效果的產(chǎn)生 Young (1998) 文中討論模型有否規(guī)模效果的優(yōu)缺點(diǎn)。技術(shù)進(jìn)步因子設(shè)定為 技術(shù)進(jìn)步因子與Mountfo

20、rd (1999) 文中的設(shè)定方式相同。.(2)因此，平均有效勞動(dòng)力的產(chǎn)出水準(zhǔn)為.進(jìn)一步可求出利潤(rùn)極大化下t期時(shí)，要素的報(bào)酬等於其邊際產(chǎn)出 (marginal product) 的結(jié)果，如下所示,(3),(4)(3) 與 (4) 兩式中和分別為t期時(shí)有效勞動(dòng)力和資本的報(bào)酬。因此t期每位勞動(dòng)者的報(bào)酬會(huì)等於。為了簡(jiǎn)化分析，我們假設(shè)一期後資本存量完全折舊 (即折舊率=1)，因此，t+1期的資本存量等於t期的總投資水準(zhǔn)。財(cái)貨市場(chǎng)的均衡條件為，其中和分別代表t期的總消費(fèi)量和總投資水準(zhǔn)，最後，結(jié)合前述二式我們可以得到, 外生給定.(5)二、需求面採(cǎi)用Diamond (1965) 跨期疊代模型的假設(shè)，每位消

21、費(fèi)者只活兩期且具有完全預(yù)知的特性。每一期都有新世代的人口出生，人口成長(zhǎng)率n為外生給定的常數(shù)；不同世代或相同世代間的消費(fèi)者具有齊質(zhì)的 (homogeneous) 特性。第一期年輕時(shí)的消費(fèi)者提供一單位的勞動(dòng)力於勞動(dòng)市場(chǎng)中賺取勞動(dòng)所得，將一部份的勞動(dòng)所得用於消費(fèi)，剩餘的勞動(dòng)所得為儲(chǔ)蓄且投資於Y財(cái)貨。第二期年老時(shí)退休不再工作，並以第一期投資的本金 (principal) 和報(bào)酬作為年老時(shí)消費(fèi)之用。則t期出生的代表性個(gè)人其最適化問題為 ,(6),(6) 式中和分別代表t期出生的消費(fèi)者於年輕時(shí)與年老時(shí)的消費(fèi)，是每位消費(fèi)者於年輕時(shí)的儲(chǔ)蓄。U() 為效用函數(shù) 假設(shè)效用函數(shù)必須滿足下列五個(gè)特性：(i) U：是二

22、次連續(xù)可微分 。(ii) U是嚴(yán)格準(zhǔn)凹 (strictly quasi-concave) 函數(shù) 。(iii) 。(iv) 。(v) U是位似函數(shù)。，另外我們假設(shè)消費(fèi)是正常財(cái)，即 ，其中與分別為效用函數(shù)U對(duì)與的偏微分；與分別為邊際效用函數(shù)對(duì)與的偏微分。依據(jù) (6) 式可求出每人的最適儲(chǔ)蓄函數(shù).(7)三、動(dòng)態(tài)體系與長(zhǎng)期均衡的特性本小節(jié)將考慮經(jīng)濟(jì)體系長(zhǎng)期均衡的特性，援用t期時(shí)總投資水準(zhǔn)等於總儲(chǔ)蓄量的關(guān)係式，我們可以求得經(jīng)濟(jì)體系的動(dòng)態(tài)調(diào)整方程式，如下所示 證明請(qǐng)見附錄1。：.(8)再將 (3) 與 (4) 兩式代入 (8) 式可得 (9) 式如下：.(9)最後，可得 (9) 式為一條一階的差分方程式。

23、然而，(9) 式隱含：如果儲(chǔ)蓄函數(shù)是利率的非遞減函數(shù) (即) 代表因利率增加而產(chǎn)生的替代效果不小於所得效果。，則給定任一，必定存在唯一達(dá)到自我預(yù)期實(shí)現(xiàn) (self-fulfilling expectation)。 證明請(qǐng)見Galor and Ryder (1989)。因此，由 (9) 式我們可以求得，而且。同時(shí)，如果儲(chǔ)蓄函數(shù)是利率的非遞減函數(shù) (即) 則函數(shù)是一對(duì)一函數(shù) (single-valued function)。接著，可求得函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)如 (10) 式所示： 二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)則不確定，須視的符號(hào)而定。, 如果 . (10)令代表經(jīng)濟(jì)體系長(zhǎng)期均衡時(shí)均衡的資本-有效勞動(dòng)力比率，亦即=

24、，因此，由 (9) 式可知必須滿足下式：.最後，經(jīng)濟(jì)體系長(zhǎng)期均衡時(shí)，存在且介於之間。 證明請(qǐng)見附錄2。叁、均衡成長(zhǎng)路徑本節(jié)將分析經(jīng)濟(jì)體系的均衡成長(zhǎng)路徑，首先，推導(dǎo)平均每人資本量的成長(zhǎng)率 ()，如下： 推導(dǎo)過(guò)程請(qǐng)參考附錄3。.由上式可知，經(jīng)濟(jì)體系處?kù)堕L(zhǎng)期均衡狀態(tài)時(shí) (即=)，均衡的成長(zhǎng)路徑會(huì)受到均衡的資本-有效勞動(dòng)力比率 () 的影響，因此，以下的分析將考慮不同的長(zhǎng)期均衡狀態(tài)。定理1、定理2和定理3將分別說(shuō)明3種不同的長(zhǎng)期均衡狀態(tài)。定理1：內(nèi)生性成長(zhǎng)跨期疊代模型的經(jīng)濟(jì)體系中，全域收斂 (global contraction) 至唯一的零長(zhǎng)期均衡 (亦即長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)率為零) 的充分條件為(i) ,

25、(ii) , .證明：所有的勞動(dòng)所得全部用於儲(chǔ)蓄時(shí) (即)，進(jìn)而由 (7) 式可知，代入 (8) 式可以得到的動(dòng)態(tài)調(diào)整方程式，進(jìn)一步推導(dǎo)其一階導(dǎo)函數(shù)，如下：, .因此，藉由條件 (i) 與 (ii)，我們可以繪製長(zhǎng)期均衡狀態(tài)如圖1所示，圖1中是唯一的長(zhǎng)期均衡，亦即經(jīng)濟(jì)體系會(huì)全域收斂至零長(zhǎng)期均衡。故得證。定理2：內(nèi)生性成長(zhǎng)跨期疊代模型的經(jīng)濟(jì)體系中，存在非零長(zhǎng)期均衡 (亦即存在多重長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)路徑) 的充分條件為和(i) , ,(ii) ,(iii) .證明：由 (10) 式可繪製圖2。條件(i)保證函數(shù)是一對(duì)一函數(shù)。條件(ii)保證函數(shù)在原點(diǎn)的斜率大於1。條件 (iii) 保證存在k0使得。故得

26、證。45°0 圖1 全域收斂0 圖2 多重均衡由圖2可知，經(jīng)濟(jì)體系中存在多重均衡點(diǎn)，其中和是穩(wěn)定的 (stable) 均衡點(diǎn)，原點(diǎn)和是不穩(wěn)定的 (unstable) 均衡點(diǎn)。另外，由附錄3可知均衡成長(zhǎng)率 (gt) 與kt成正比，因此和分別代表低成長(zhǎng)和高成長(zhǎng)不同的成長(zhǎng)路徑。假使一經(jīng)濟(jì)體系的資本-有效勞動(dòng)力比率小於，則長(zhǎng)期均衡會(huì)趨近低度成長(zhǎng)路徑；反之，則長(zhǎng)期均衡會(huì)趨近高度成長(zhǎng)路徑，即為門檻效果。定理3：內(nèi)生性成長(zhǎng)跨期疊代模型的經(jīng)濟(jì)體系中，存在唯一的、全域的、穩(wěn)定的非零長(zhǎng)期均衡的充分條件為和(i) , (ii) , (iii) , , (iv) , ,(v) , . 證明：如果下列四個(gè)條件

27、成立，即 (a) 函數(shù)是一對(duì)一函數(shù)；(b) 函數(shù)是嚴(yán)格凹函數(shù) (strictly concave function)；(c) ；(d) 函數(shù)和45度線的交點(diǎn)落在第一象限，則跨期疊代模型的經(jīng)濟(jì)體系中，會(huì)存在唯一的、全域的、穩(wěn)定的非零長(zhǎng)期均衡，如圖3所示。而條件 (v) 保證條件 (a) 成立；條件 (ii) 保證條件 (d) 成立；條件 (i) 保證條件 (c) 成立；條件 (iii) 和條件 (iv) 保證條件 (b) 成立。故得證。0 圖3 全域的唯一的穩(wěn)定均衡肆、應(yīng)用本小節(jié)將援用本文之內(nèi)生性成長(zhǎng)跨期疊代模型，探討資本所得稅對(duì)長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率的影響。首先，假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為，其中，且代表資本-有效

28、勞動(dòng)力比率，則有效勞動(dòng)力的報(bào)酬；另外，將效用函數(shù)設(shè)定為對(duì)數(shù)型式的效用函數(shù)，則t期出生消費(fèi)者極大化的問題，如下所示：, (11).(11) 式中是主觀的折現(xiàn)因子 (subjective discount factor) 且0 << 1，愈大代表時(shí)間偏好率 (rate of time preference) 愈小；反之亦然。是資本所得稅率 (或稱利息所得稅率) 且；T是來(lái)自於政府部門的移轉(zhuǎn)支付。每位消費(fèi)者做決策時(shí)，均視與T為外生給定的參數(shù)。因此，依據(jù) (11) 式可求出每人的最適儲(chǔ)蓄函數(shù)，如下：,(12)由 (12) 式可知：若投資稅或t+1期政府部門的移轉(zhuǎn)支付愈高時(shí)，每人的最適儲(chǔ)蓄量

29、會(huì)愈小；同時(shí)，每人的最適儲(chǔ)蓄函數(shù)是和的增函數(shù)。我們假設(shè)政府每期皆達(dá)到預(yù)算平衡且以定額 (lump-sum) 的方式將稅收移轉(zhuǎn)給家計(jì)單位。據(jù)此，政府部門的預(yù)算平衡限制式，可表示如下：. (13)將 (13) 式代入 (12) 式可以得到儲(chǔ)蓄函數(shù)，其中=/為外生參數(shù)，會(huì)受到資本所得稅率的影響。愈大，則每人的最適儲(chǔ)蓄量愈小，隱含政府政策會(huì)影響家計(jì)單位的儲(chǔ)蓄行為。進(jìn)一步我們可以分析資本所得稅率對(duì)每人最適儲(chǔ)蓄函數(shù)的影響，如下：.(14)由 (8) 式可知經(jīng)濟(jì)體系的動(dòng)態(tài)調(diào)整方程式為：. (15)由 (15) 式我們可以求得，而且。函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)與二階導(dǎo)函數(shù)分別為：,.函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)滿足下列兩個(gè)特性：與

30、。因此，我們可以確定存在唯一的、穩(wěn)定的非零長(zhǎng)期均衡解。最後，我們考慮資本所得稅的影響，因?yàn)?所以，若減少資本所得稅率將導(dǎo)致長(zhǎng)期均衡資本-有效勞動(dòng)力比率隨之增加。長(zhǎng)期均衡狀態(tài)下，平均每人資本量的成長(zhǎng)率為：資本所得稅率對(duì)長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率的影響為：.經(jīng)濟(jì)學(xué)家們一致認(rèn)為：低的資本所得稅將會(huì)增加實(shí)質(zhì)資本的報(bào)酬，進(jìn)而激勵(lì)民間儲(chǔ)蓄與投資意願(yuàn)，最後導(dǎo)致長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率的提升。換言之，資本所得稅與長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率是負(fù)相關(guān)的。因此，主張資本所得稅率愈低愈好的學(xué)者包括：Chamley (1986)、Sinn (1985)、Lucas (1988, 1990)、Feldstein (1995) 以及Yakita (2003

31、)。其中，Lucas (1990) 更明白地指出：若減少1%的資本所得稅率將會(huì)增加35%的資本存量。同時(shí)，實(shí)證研究亦支持上述論點(diǎn)，Mendoza et al. (1997) 採(cǎi)用1965年至1991年期間11個(gè)國(guó)家的資料進(jìn)行分析研究，發(fā)現(xiàn)資本所得稅率與民間投資以及經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率的確呈現(xiàn)出反向變動(dòng)的關(guān)係。然而，由以上的分析我們可以得到：低的資本所得稅將會(huì)激勵(lì)民間儲(chǔ)蓄與投資意願(yuàn)，最後導(dǎo)致長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率的提升，恰與上述文獻(xiàn)的結(jié)論相同。伍、結(jié)論Jones and Manuelli (1992) 指出在非凸性生產(chǎn)技術(shù)的跨期疊代模型中會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：第一、如果非凸性的程度夠大，則可能獲得均衡的成長(zhǎng)路徑；反之，

32、如果非凸性的程度不夠大時(shí)，則均衡成長(zhǎng)率會(huì)收斂至零；第二、初始條件 (initial condition) 決定了長(zhǎng)期的成長(zhǎng)路徑，並且存在門檻效果。然而，本文依據(jù)Galor and Ryder (1989) 和Arrow (1962) 的概念建構(gòu)一個(gè)單部門的內(nèi)生性成長(zhǎng)跨期疊代模型，假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)具備凸性生產(chǎn)技術(shù)的特性，並且證明出下列三個(gè)條件：第一、長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)率為零的充分條件；第二、存在多重長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)路徑的充分條件；第三、存在唯一的、穩(wěn)定的長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)路徑的充分條件與必要條件。我們也推導(dǎo)出在多重穩(wěn)定均衡成長(zhǎng)路徑的特性下，初始條件可以決定長(zhǎng)期均衡的成長(zhǎng)路徑，而且存在門檻效果。換言之，本文證明出在凸

33、性生產(chǎn)技術(shù)的跨期疊代模型中可以得到與Jones and Manuelli (1992) 非凸性生產(chǎn)技術(shù)的跨期疊代模型相同的結(jié)論。針對(duì)Boldrin (1992) 與Jones and Manuelli (1992) 指出在單部門的跨期疊代模型中，若生產(chǎn)函數(shù)具備凸性技術(shù)的特性，則長(zhǎng)期均衡成長(zhǎng)率為零的結(jié)論；本文則得到相反的結(jié)果。最後，援用本模型分析資本所得稅對(duì)長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率的影響，則得到與一般文獻(xiàn)相同的結(jié)論，即為低的資本所得稅終將導(dǎo)致長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)成長(zhǎng)率的提升。附錄1：本附錄將推導(dǎo)經(jīng)濟(jì)體系的動(dòng)態(tài)調(diào)整方程式，藉由t期時(shí)總投資水準(zhǔn)等於總儲(chǔ)蓄量的關(guān)係式，並將 (5) 與 (7) 兩式代入此關(guān)係式可得：. (A

34、.1)由 (2) 和 (A.1) 式可知：. (A.2)最後，將 (A.2) 式代入 (A.1) 式可得經(jīng)濟(jì)體系的動(dòng)態(tài)調(diào)整方程式，如下所示：. (A.3)結(jié)合 (A.1) 與 (A.3) 式，即為本文之 (8) 式。附錄2：本附錄將證明經(jīng)濟(jì)體系長(zhǎng)期均衡時(shí)，均衡的資本-有效勞動(dòng)力比率存在且會(huì)介於之間。以下分三種情形討論：如果，則，所以。如果，則，所以。如果，則，所以。故得證。附錄3：本附錄將推導(dǎo)平均每人資本量的成長(zhǎng)率，首先，計(jì)算資本-有效勞動(dòng)力比率 () 的成長(zhǎng)率，如下所示：. (A.4)長(zhǎng)期均衡狀態(tài)下，須滿足的條件，結(jié)合和 (A.4) 與 (A.2) 兩式，可得平均每人資本量的成長(zhǎng)率 ()，如

35、下：, 而且平均每人資本量的成長(zhǎng)率 () 與kt成正比，證明如下：.參考文獻(xiàn)Aghion, P. and P. Howitt (1992), “A Model of Growth through Creative Destruction,” Econometrica, 60, 323-351.Arrow, K. J. (1962), “The Economic Implications of Learning by Doing,” Review of Economic Studies, 29, 155-73.Azariadis, C. and A. Drazen (1990), “Thresh

36、old Externalities in Economic Development,” Quarterly Journal of Economics, 105, 501-526.Balasko, Y., D. Cass, and K. Shell (1980), “Existence of Competitive Equilibrium in a General Overlapping-Generations Model,” Journal of Economic Theory, 23, 307-322.Balasko, Y. and K. Shell (1980), “The Overlap

37、ping-Generation Model I: The Case of Pure Exchange without Money,” Journal of Economic Theory, 23, 281-306.Balasko, Y. and K. Shell (1981), “The Overlapping-Generations Model III: The Case of Log-Linear Utility Functions,” Journal of Economic Theory, 24, 143-152.Barro, R. J. and X. Sala-i-Martin (19

38、95), Economic growth. McGraw-Hill, New York.Bencivenga, V. R. and B. D. Smith (1991), “Financial Intermediation and Endogenous Growth,” Review of Economic Studies, 58, 195-209.Blanchard, O. J. (1985), “Debt, Deficits, and Finite Horizons,” Journal of Political Economy, 93, 223-247.Boldrin, M. (1992)

39、, “Dynamic Externalities, Multiple Equilibria, and Growth,” Journal of Economic Theory, 58, 198-218.Calvo, G. A. (1978), “On the Indeterminacy of Interest Rates and Wages with Perfect Foresight,” Journal of Economic Theory, 19, 321-337.Chamley, C. (1986), “Optimal Taxation of Capital Income in Gener

40、al Equilibrium with Infinite Lives,” Econometrica, 54, 607-622.Diamond, P. A. (1965), “National Debt in a Neoclassical Growth Model,” American Economic Review, 55, 1126-1150.Feldstein, M. (1995), “Fiscal Policies, Capital Formation and Capitalism,” European Economic Review, 39, 399-420.Gale, D. (197

41、3), “Pure Exchange Equilibrium of Dynamic Economic Models,” Journal of Economic Theory, 6, 12-36.Galor, O. (1992), “A Two-Sector Overlapping-Generation Model: A Global Characterization of the Dynamical System,” Econometrica, 60, 1351-1386.Galor, O. and H. E. Ryder (1989), “Existence, Uniqueness, and

42、 Stability of Equilibrium in an Overlapping-Generation Model with Productive Capital,” Journal of Economic Theory, 49, 360-375.Geanakopolos, J. D. and H. M. Polemarchakis (1984), “Intertemporally Separable Overlapping-Generations Models,” Journal of Economic Theory, 34, 207-215.Jones, L. E. and R. E

43、. Manuelli (1990), “A Convex Model of Equilibrium Growth: Theory and Policy Implications,” Journal of Political Economy, 98, 1008-1038.Jones, L. E. and R. E. Manuelli (1992), “Finite Lifetimes and Growth,” Journal of Economic Theory, 58, 171-197. Kehoe, T. J. and D. Levine (1984), “Intertemporal Sep

44、arability in Overlapping Generations Models,” Journal of Economic Theory, 34, 216-226.Kehoe, T. J. and D. Levine (1985), “Comparative Statics and Perfect Foresight in Infinite Horizon Economies,” Econometrica, 53, 433-453.Kehoe, T. J., Levine, D., A. Mas-Colell, and M. Woodford (1991), “Gross Substi

45、tutability in Large Square Economies,” Journal of Economic Theory, 54, 1-25.Kohn, M. and N. Marion (1988), “The Implications of Knowledge-Based Growth for the Optimality of Open Capital Markets,” NBER working paper.Konishi, H. and F. Perera-Tallo (1997), “Existence of Steady-State Equilibrium in an

46、Overlapping-Generations Model with Production,” Economic Theory, 9, 529-537.Kremer, M. (1993), “Population Growth and Technological Change: One Million B.C. to 1990,” Quarterly Journal of Economics, 108, 684-716.Lucas, R. E. Jr. (1988), “On the Mechanics of Economic Development,” Journal of Monetary Economics, 22, 3-42.Lucas, R. E. Jr. (1990), “Supply-Side Economics: An Analytical Review,” Oxford Economic Papers, 42, 293-316.Mendoza, E. G., G. M. Milesi-Ferretti, and P. A