基于APOS理論的函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

1、.基于APOS理論的函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)一、 概念同化教學(xué)與APOS 理論高中新課程實(shí)行已經(jīng)有四年多了，然而目前，相當(dāng)多老師仍然采取傳統(tǒng)的概念同化教學(xué)方式，其教學(xué)步驟為1：1提醒概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號;2對概念進(jìn)展特殊分類，提醒概念的外延;3穩(wěn)固概念，利用概念的定義進(jìn)展簡單的識別活動(dòng);4概念的應(yīng)用與聯(lián)絡(luò)，用概念解決問題，并建立所學(xué)概念與其它概念間的聯(lián)絡(luò)。這種教學(xué)方式有其精妙之處，但是過快的抽象過程只能有一少部分學(xué)生進(jìn)展有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念，只能靠死記硬背。事實(shí)上，概念的同化教學(xué)對幫助學(xué)生構(gòu)建良好的概念圖式、原理圖式，作用非常有限。因?yàn)樾?/p>

2、理意義是不能傳授的，必需由學(xué)生自我構(gòu)建，不能由老師代替學(xué)生操作、考慮、體驗(yàn)。美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家 Ed.Dubinsky認(rèn)為：一個(gè)人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的，更確切地說,人們透過心智構(gòu)造mental structure使所學(xué)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義。假如一個(gè)人對于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹菢?gòu)造，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個(gè)概念。反之，假如他無法建立起適當(dāng)?shù)男闹菢?gòu)造，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是要建構(gòu)心智構(gòu)造，這一建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下4個(gè)階段2：二、基于APOS理論的函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)從數(shù)學(xué)教育的研究內(nèi)容來看，關(guān)于代數(shù)內(nèi)容已經(jīng)逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到

3、以研究函數(shù)為中心了3。函數(shù)概念已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一。 函數(shù)概念本身不好理解。國外關(guān)于函數(shù)教學(xué)的研究說明了這一點(diǎn)斯法德調(diào)查了60 名16 歲和18 歲的學(xué)生，結(jié)論是大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為函數(shù)的概念是個(gè)過程而不是靜止的構(gòu)造。中國學(xué)者也進(jìn)展了相關(guān)的研究，見文獻(xiàn)4.可見，函數(shù)確實(shí)成了中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一。函數(shù)的教學(xué)在我國設(shè)置成螺旋式的教學(xué)，初中是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對函數(shù)進(jìn)展定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全提醒出函數(shù)概念的本質(zhì)。例如，對于函數(shù)假如用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去看它，就不好解釋，顯得牽強(qiáng)。但假如用集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)來解釋，就非常自然。筆者在浙江省義烏市第三中學(xué)陳向陽老師設(shè)計(jì)的?

4、函數(shù)的概念?根底上進(jìn)展考慮，嘗試用APOS理論來設(shè)計(jì)高中函數(shù)概念的教學(xué)。一創(chuàng)設(shè)問題情境，引出課題老師提出問題1：我們在初中學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，它是如何定義的呢?在初中已經(jīng)學(xué)過哪些函數(shù)?在學(xué)生答復(fù)的根底上出示投影我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些詳細(xì)的函數(shù)，那么為什么還要學(xué)習(xí)函數(shù)呢?先請同學(xué)們考慮下面的問題：問題2：由上述定義你能判斷“y=1是否表示一個(gè)函數(shù)?函數(shù)y=x與函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)嗎?學(xué)生考慮、討論后，老師點(diǎn)撥：僅用上述函數(shù)概念很難答復(fù)這些問題，我們需要從新的角度來認(rèn)識函數(shù)概念。二生活實(shí)例演示，操作練習(xí)活動(dòng)A問題3：以下圖中哪幾個(gè)圖像與下述三件事分別吻合得最好?請你為剩下的那個(gè)圖像寫出一件事.1我分開家不

5、久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本可能忘在家里了，于是停下來找，沒找到，就返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué);2我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽誤了一些時(shí)間;3我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時(shí)間開場加速.活動(dòng)小結(jié)：每一個(gè)時(shí)刻，按照圖像，都有唯一確定的間隔 與它對應(yīng)。三借助信息技術(shù)，討論歸納過程P師：實(shí)例1演示動(dòng)畫，用?幾何畫板?動(dòng)態(tài)地顯示炮彈高度關(guān)于炮彈發(fā)射時(shí)間的函數(shù)。啟發(fā)學(xué)生觀察、考慮、討論，嘗試用集合與對應(yīng)的語言描繪變量之間的依賴關(guān)系：在的變化范圍內(nèi)，任給一個(gè)，按照給定的解析式，都有唯一的一個(gè)高度與之相對應(yīng)。生：用計(jì)算器計(jì)算，然后用集合與對應(yīng)的語言描繪變量之間的依賴關(guān)系。師：實(shí)例2

6、引導(dǎo)學(xué)生看圖，并啟發(fā)：在的變化范圍內(nèi)，任給一個(gè)t，按照給定的圖象，都有唯一的一個(gè)臭氧空洞面積與之相對應(yīng)。生：動(dòng)手測量，然后用集合與對應(yīng)的語言描繪變量之間的依賴關(guān)系。師生：實(shí)例3共同讀表，然后用集合與對應(yīng)的語言描繪變量之間的依賴關(guān)系。四從特殊到一般，引出函數(shù)概念對象O問題4：分析、歸納以上三個(gè)實(shí)例，它們有什么共同特點(diǎn)?生：分組討論三個(gè)實(shí)例的共同特點(diǎn)，然后歸納出函數(shù)定義，并在全班交流。師生：由學(xué)生概括，老師補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生歸納出三個(gè)實(shí)例中變量之間的關(guān)系均可描繪為：對于數(shù)集中的每一個(gè)，按照某種對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集中都有唯一確定的與它對應(yīng)，記作老師強(qiáng)調(diào)指出“僅僅是數(shù)學(xué)符號。為了更好地理解函數(shù)符號的含義，老師

7、提出下一個(gè)問題：問題5：一定就是函數(shù)的解析式嗎?師生：函數(shù)的解析式、圖象、表格都是表示函數(shù)的方法。問題6：函數(shù)能否看做是兩個(gè)集合之間的一種對應(yīng)呢?假如能，怎樣給函數(shù)重新下一個(gè)定義呢?在學(xué)生答復(fù)的根底上老師歸納總結(jié)補(bǔ)充練習(xí)：以下圖象中不能作為函數(shù)的圖象的是 例1.函數(shù)，1求函數(shù)、的定義域;2求的值;3當(dāng)時(shí)，求的值。4求5求讓學(xué)生考慮，并提問個(gè)別學(xué)生。師問：怎樣求函數(shù)的定義域?追問：與有何區(qū)別與聯(lián)絡(luò)?點(diǎn)撥：表示當(dāng)自變量時(shí)函數(shù)的值，是一個(gè)常量，而是自變量的函數(shù)，它是一個(gè)變量，是的一個(gè)特殊值。追問：如何求，又如何求一般情況的?詳細(xì)地，可以將2帶入函數(shù)求出詳細(xì)值，再代入求出函數(shù)值。對于抽象的，應(yīng)該將看成

8、一個(gè)整體，帶入的解析式，求出的解析式。問題7：函數(shù)的三要素是什么?老師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對應(yīng)法那么。在函數(shù)的三要素中，當(dāng)其中的兩要素已確定時(shí)，那么第三個(gè)要素也就隨之確定了。如當(dāng)函數(shù)的定義域，對應(yīng)法那么已確定，那么函數(shù)的值域也就確定了。追問：如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否一樣?以學(xué)生已解決的問題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再次引發(fā)學(xué)生在構(gòu)建自身根底上的“再創(chuàng)造，并通過獨(dú)立考慮后的討論，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題、用數(shù)學(xué)語言交流溝通的才能。例2.以下函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)相等?1234師問：判斷函數(shù)相等的根據(jù)是什么?變式：假設(shè)改2為呢?考慮：你能舉出一些函數(shù)相等的詳細(xì)例子嗎?啟發(fā)并引導(dǎo)

9、學(xué)生考慮、討論、交流，老師歸納總結(jié)出函數(shù)的要點(diǎn)：1.函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)非空數(shù)集到非空數(shù)集的對應(yīng);2.函數(shù)的核心是對應(yīng)法那么，通常用記號表示函數(shù)的對應(yīng)法那么，在不同的函數(shù)中，的詳細(xì)含義不一樣。函數(shù)記號說明，對于定義域的任意一個(gè)在“對應(yīng)法那么的作用下，即在中可得唯一的. 當(dāng)在定義域中取一個(gè)確定的，對應(yīng)的函數(shù)值即為.集合中并非所有的元素在定義域中都有元素和它對應(yīng);值域;3.函數(shù)符號的說明：1“即為“是的函數(shù)的符號表示;2不一定能用解析式表示;3與是不同的，通常，表示函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值;4在同時(shí)研究兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)時(shí)，常用不同符號表示不同的函數(shù)，除用符號外，還常用、等符號來表示。4.定義域是函數(shù)的重要組

10、成部分，如與是不同的兩個(gè)函數(shù)。五借助熟悉的函數(shù)，加深對函數(shù)概念的理解圖式S問題8：集合AA=R到集合BB=R的對應(yīng)：: A→B，使得集合B中的元素與集合A中的元素對應(yīng)，如何表示這個(gè)函數(shù)?定義域和值域各是什么?函數(shù)呢?函數(shù)呢?老師演示動(dòng)畫，用?幾何畫板?顯示這三種函數(shù)的動(dòng)態(tài)圖象，啟發(fā)學(xué)生觀察、分析，并請同學(xué)們考慮之后填寫下表：函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)對應(yīng)關(guān)系a0a0定義域值域用函數(shù)的定義去解釋學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，使得對函數(shù)的描繪性定義上升到集合與對應(yīng)語言刻畫的定義。同時(shí)利用信息技術(shù)工具畫出函數(shù)的圖象，是讓學(xué)生進(jìn)一步體會“數(shù)與“形結(jié)合在理解函數(shù)中的作用，更

11、好地幫助理解上述函數(shù)的三個(gè)要素，從而加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)概念的理解，進(jìn)一步挖掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的聯(lián)絡(luò)。明確定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系是決定函數(shù)的三要素，這是一個(gè)整體，以此更好地培養(yǎng)學(xué)生深層次考慮問題的習(xí)慣。六再創(chuàng)情境，引導(dǎo)探究函數(shù)概念的新認(rèn)識圖式S問題9：比較函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義即初中課本函數(shù)的定義的異同點(diǎn)，你對函數(shù)有什么新的認(rèn)識?學(xué)生考慮、討論，老師點(diǎn)撥：函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在本質(zhì)上是一致的，兩個(gè)定義中的定義域與值域的意義完全一樣。兩個(gè)定義中的對應(yīng)法那么實(shí)際上也一樣，只不過表達(dá)的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義的對應(yīng)法那么是從集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)。問題10：學(xué)生在前面學(xué)習(xí)

12、的根底上，反思對問題2的解答，重新考慮問題2，談?wù)勛约旱恼J(rèn)識。老師啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生畫圖，以形求數(shù)。師生：是函數(shù);與不是同一個(gè)函數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生對問題2進(jìn)展反思和總結(jié)，并將之一般化，利用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生反思問題、總結(jié)歸納的習(xí)慣和藹于運(yùn)用數(shù)學(xué)語言抽象所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的才能。七舉例應(yīng)用，深化目的圖式S例3.函數(shù)1畫出函數(shù)的圖象;2求的值;3你從2中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?4求函數(shù)的值域。為了讓學(xué)生體會到從特殊到一般的思想方法，同時(shí)也后面研究函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)作準(zhǔn)備。老師引導(dǎo)學(xué)生解決此題的關(guān)鍵點(diǎn)，并進(jìn)展變式：變式1：， 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域; 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域。變式2：， 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，求函數(shù)定義域; 當(dāng)函數(shù)值

13、域?yàn)闀r(shí)，求函數(shù)定義域。變式3：1，求的值。2，求函數(shù).變式4：，求的解析式;的解析式;的解析式。以一個(gè)問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，表達(dá)梯度，使不同程度的學(xué)生都有開展。通過一組精心設(shè)計(jì)的問題鏈來引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生的參與意識、創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的才能，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)。借助三個(gè)變式層層深化，是理論到理論的升華，使概念深化、強(qiáng)化、類化的作用與含義印入心底，得到再次認(rèn)同，初步掌握與應(yīng)用才能也就自然形成了。八練習(xí)交流，反響穩(wěn)固以學(xué)生答復(fù)、板演的形式進(jìn)展課堂練習(xí)，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動(dòng)，以老師、學(xué)生互相交流來穩(wěn)固本節(jié)課的學(xué)習(xí)。九學(xué)生歸納小結(jié)，老師評價(jià)以同桌之間一人小結(jié)一人傾聽

14、的方式，以四人為一小組進(jìn)展小組討論，對本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)展自主小結(jié)，老師及時(shí)進(jìn)展歸納總結(jié)：1.函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點(diǎn);2.集合與函數(shù)的聯(lián)絡(luò)、區(qū)別;3.函數(shù)的三要素;4.數(shù)形結(jié)合的思想。三、幾點(diǎn)啟示APOS理論對學(xué)生的函數(shù)概念的理解作出了分層分析，可以預(yù)測學(xué)生已經(jīng)在多大程度上對性質(zhì)作出了心理建構(gòu)，從而推知學(xué)生對函數(shù)概念的掌握起點(diǎn)?；贏POS理論的理念設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)性質(zhì)教學(xué)，本質(zhì)是“以學(xué)生為主體的理念在課堂探究中的表達(dá)，有利于學(xué)生理解函數(shù)的概念。教學(xué)中老師要關(guān)注數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，更重要的是要關(guān)注課堂上學(xué)生的掌握概念的思維狀況，將數(shù)學(xué)知識和學(xué)生探究活動(dòng)有機(jī)結(jié)合，要求老師要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)

15、生親身創(chuàng)設(shè)問題情境。數(shù)學(xué)老師要意識到：一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“過程到“對象的建立, 有時(shí)既困難又漫長, 需要經(jīng)過屢次反復(fù),循序漸進(jìn),螺旋上升, 直至學(xué)生真正理解,“對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示,使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀構(gòu)造形象。要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級程度的語言。我在教學(xué)中，注意聽說結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表揚(yáng)那些靜聽的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們

16、專心聽，用心記。平時(shí)我還通過各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對詞，聽詞句說意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽謎語猜謎底，聽智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動(dòng)活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽的才能，強(qiáng)化了記憶，又開展了思維，為說打下了根底。學(xué)生對于函數(shù)概念的認(rèn)識不是一蹴而就的，這就要要老師在教學(xué)過程中整體處理教材，把握教學(xué)的度，結(jié)合詳細(xì)的問題有意識地在各個(gè)階段的學(xué)習(xí)過程中，幫助學(xué)生逐步形成函數(shù)完好的知識鏈。在往后的教學(xué)中要注意學(xué)生對知識的圖式的建立, 即加強(qiáng)知識間的聯(lián)絡(luò)和應(yīng)用,如在講解詳細(xì)的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時(shí)，可以以詳細(xì)函

17、數(shù)為載體，在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下對其性質(zhì)進(jìn)展研究，表達(dá)了“詳細(xì)抽象詳細(xì)的過程，是函數(shù)概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應(yīng)用后，可以與函數(shù)相結(jié)合，進(jìn)展比照，從而加深對函數(shù)概念的理解，幫助學(xué)生在頭腦中建立起完好的數(shù)學(xué)知識的心理圖式。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動(dòng)，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個(gè)幼兒看得到，看得清。看得清才能說得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意

18、幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時(shí)機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時(shí)，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時(shí)機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個(gè)詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖