函數(shù)的單側導數(shù)與導函數(shù)的左右極限

1、函數(shù)的單側導數(shù)與導函數(shù)的左右極限摘要：本文通過例子討論函數(shù)的單側導數(shù)與導函數(shù)的單側極限的區(qū)別，給出相應的結論，并引用一個重要的定理導數(shù)極限定理介紹了兩者的關系，在此定理的證明過程中簡單的解釋了用羅比達法那么求極限時失效的原因，并在此根底上，以定理的形式給出了函數(shù)的單側導數(shù)與導函數(shù)的單側極限相等的充分條件。關鍵詞：右(左)導數(shù) 導數(shù)的右左極限 關系 區(qū)別 Unilateral Derivate of Function and the Unilateral Limit of Derived FunctionAbstract: This paper discussed the differences

2、 between the unilateral derivate and the unilateral limit of derived function by some examples.And put forward the corresponding conclusion .By citing an important theory-the limit of derivative , introduced the relationship between them, and give a brief explanation why LHospital loses its value on

3、 solving the problem of the limit of function in the process of proving the theorem. After this,We find a sufficient condition about the unilateral derivate is equalled to the unilateral limit of derived function .Key words: The Right(Left) Derivative the Right(Left) Limit of Derived Function Relati

4、onship Difference0. 引言 在很多實際問題中，人們不僅要研究變量的變化規(guī)律，而且要研究變量變化的快慢程度。如研究物體運動的速度、研究工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的增長速度等等。導數(shù)正是研究變量變化快慢的有效工具。導數(shù)反響了函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率。它使得人們能夠使用數(shù)學工具描述事物變化的快慢及解決一系列與之相關的問題，所以在各領域有著極其廣泛的應用。為了更好的應用導數(shù)去解決實際問題，我們需要進一步的研究導數(shù)的一些性質和特點，而單側導數(shù)和導數(shù)的單側極限是研究導數(shù)的一個重要方面。單側導數(shù)和導數(shù)的單側極限是微積分中兩個重要的概念，在求分段函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)在端點處的導數(shù)、

5、傅里葉級數(shù)中都有其廣泛的應用。本文就來討論一下單側導數(shù)與導數(shù)的單側極限的區(qū)別與聯(lián)系，并介紹分段函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)在端點處的導數(shù)的一種求解方法。文中引用了相關的參考文獻，其中文獻1、2介紹了單側導數(shù)與導函數(shù)的單側極限的定義，3-6介紹了兩者的區(qū)別與聯(lián)系及相等的充分條件，7 -10介紹了分段函數(shù)的導數(shù)、函數(shù)在端點處的導數(shù)的求解方法，并舉例運用了此方法。 1. 單側導數(shù)與導函數(shù)的單側極限的定義定義1：由于，由極限存在的定義，函數(shù)在處可導的充分必要條件是相應的左右極限和存在且相等，我們把他們分別稱為在處的左導數(shù)和右導數(shù)。定義2：符號表示函數(shù)在點處導函數(shù)的右左極限，即.2. 單側導數(shù)與導函數(shù)的單側極限的區(qū)

6、別 函數(shù)的單側導數(shù)與導函數(shù)的單側極限是兩個完全不同的概念，微積分的初學者往往認為因此在求分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)、傅里葉級數(shù)或函數(shù)在區(qū)間端點處的導數(shù)時往往不能得到正確的結果，在一般的情況下，兩者并沒有必然的聯(lián)系方便起見下面以函數(shù)的右導數(shù)與導函數(shù)的右極限為代表說明。我們知道，如果函數(shù)在點處可導，那么在點處的右導數(shù)肯定存在。這一點是毫無疑問的，而函數(shù)在點處的導函數(shù)的右極限存在，那么說明函數(shù)在點處的某右鄰域內(nèi)的每一點都可導，但需要注意的是函數(shù)在點處卻未必可導。這一個小小的細節(jié)往往被一些學生甚至資歷較高的老師所無視。我們先看一個例題。 例1 設函數(shù)，判斷在是否可導。錯誤解法：當時， 當時， 當時， 即

7、 故正確：但是不存在故不存在，即在處不可導。從這個例題中可以看出，與并沒有必然的聯(lián)系。為了更深入的探討兩者之間的關系，我們來看幾個具體的例子，從這些例題中摸索其中的內(nèi)涵。 例2 設函數(shù)求與解：當時，故而不存在故不存在，例3 設函數(shù)解：當時，故不存在而因此不存在，例4 設函數(shù)解： 故在處不可導。 又 故 所以，但在處不可導。例5 設函數(shù)解：當時，故 而 同理，故在處可導。 所以，且在處可導。由上面5個例子 ，我們很容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的右導數(shù)與函數(shù)的導函數(shù)的右極限沒有必然的聯(lián)系，即與可能一個存在，另一個不存在，如上面的例2和例3;也可能兩者都存在但不相等，如例4;也可能兩者都存在且相等如例5.3 單側

8、導數(shù)與導函數(shù)的單側極限的聯(lián)系 對于例5中這樣的題目，有些讀者不加驗證誤把與認為相等的計算方法也能奏效，但前提是函數(shù)必須滿足一些特定的條件。下面我們來看一個重要的定理，這個定理和其證明過程表現(xiàn)了單側導數(shù)與導函數(shù)的單側極限的聯(lián)系，即求單側導數(shù)的導數(shù)極限法。 定理1: 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導，且極限存在，那么在點處可導，且 證明：分別按左右導數(shù)來證明上式。 1在上滿足拉格朗日定理的條件， 那么 (*) 由于故當時， 對上式兩邊同時取極限，得 ( 2 ) 同理可得 由于存在，故 因此 即 存在，且 本定理說明了函數(shù)在某點的導數(shù)與其導函數(shù)在該點處的極限的關系，對于一般的函數(shù)而言，假設在某點處

9、極限存在時，并不能保證它在該點是連續(xù)的，而導函數(shù)那么具有這個特點，即只要導函數(shù)的極限存在，那么其導函數(shù)就一定是連續(xù)的。在此定理的證明過程中，需要我們特別注意的是，當不存在時，并不能由此判定不存在，因為當不存在時，有可能存在，這是因為，對于某些特殊的函數(shù)而言，*式中的可能有一個，也可能有很多個，當連續(xù)的變化而從右側逼近時，對應的并不一定能夠連續(xù)的變化，例如可能構成一個以為極限的數(shù)列，并且其對應的導數(shù)值數(shù)列可能會有極限，而。所以可能存在。例中如例2中的函數(shù)就是符合上述情況的一個例子，對于其中具體的細節(jié)這里就不討論了。大家很容易發(fā)現(xiàn)，當用羅比達法那么求一些函數(shù)的極限時有時會失效，其中的原因就與上述所

10、討論的情況類似。我們知道在羅比達法那么的證明過程有等式在與之間 故同理 當不存在時，有可能存在，所以可能存在，但我們需要用別的方法求解了。定理1說明了函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的導函數(shù)的極限的聯(lián)系，假設函數(shù)的導函數(shù)在一點處存在極限，那么該函數(shù)的導函數(shù)在點處必連續(xù)。在此定理的證明過程中我們得到了函數(shù)的單側導數(shù)與導函數(shù)的單側極限相等的結論，并成功的運用了此結論，對于例5中的函數(shù)，此結論也成立，那么，函數(shù)的單側導數(shù)與函數(shù)的導函數(shù)的左右極限到底有什么樣的聯(lián)系，在什么樣的情況下可以相等呢?4 函數(shù)的單側導數(shù)與函數(shù)的導函數(shù)的左右極限相等的充分條件定理2：假設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間 內(nèi)可導，且，那么函數(shù)在點處右

11、左可導，且 。證明同定理1類似。 需要注意的是定理2的條件是充分的，不是必要的。 如例3中的函數(shù) 由于 故 即在處可導。 而 但 不存在所以定理2的條件是充分的，不是必要的。 推論：設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)存在有限的導數(shù)，假設其導函數(shù)在點存在右極限有限，即為有限數(shù)記為，那么在點存在右導數(shù)，且，對于點左側有類似的結論。 分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)、函數(shù)在區(qū)間端點處的導數(shù)我們一般都是用導數(shù)的定義去求，但這種方法計算繁雜，容易出錯，如果所給的函數(shù)滿足定理2及其推論的條件，我們利用導數(shù)的極限法去求解題目就簡單的多了。下面我們來看幾個例子。 例6 設函數(shù) 在處可導，求、的值。解：由在處可導，故在處連續(xù)故 即有

12、 又時， 時， 故 又因 在處可導 故，即，解出例7 (1) 設函數(shù)，求與解：函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導，且在上連續(xù)。故由定理2，得到 (2) 求分段函數(shù)的導數(shù)。解：首先易得進一步考慮在處的導數(shù)，在此之前，我們只能用導數(shù)的定義來處理，現(xiàn)在那么可以利用導數(shù)極限定理。由于因此在處連續(xù)，又因為所以，依據(jù)導數(shù)極限定理推知在處可導，且由上面兩個例題可以看出，在求分段函數(shù)的導數(shù)，區(qū)間端點處的導數(shù)用定理1，定理2及其推論是非常有效的。為我們考察函數(shù)在某點的可導性提供了一種新的方法，而且比原來的僅依據(jù)導數(shù)定義去判斷的方法更簡便。從而為高等數(shù)學的教與學提供了一個極為新穎而有效的方法。參考文獻1 陳紀修, 於崇華, 金路. 數(shù)學分析上)M.北京：高等教育出版社，1999. 127-128.2 趙德讓. 單側導數(shù)與導數(shù)的單側極限J. 青海師范大學學報， 2002,2(2):15-16.3華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析上)M. 北京：高等教育出版社, 2001. 122-123.4 催廣衡，沈纓. 導數(shù)的極限與單側導數(shù)J. 江南大學學報，1994,8(3): 22-23.5 裴禮文. 數(shù)學分析中的典型問題與方法M. 北京：高等教育出版社, 1988. 239-241.6 鄧書顯，于紅霞. 導函數(shù)連續(xù)性定理及其推論J. 河南紡織高等