喀蔚波副教授醫(yī)用物理學(xué)力學(xué)電子版

1、目 錄第一章 力學(xué)基本定律1單位和量綱相關(guān)鏈接 理解時(shí)空2物理量及其表述2.1 物理量2.2 質(zhì)點(diǎn)2.3 參考系與坐標(biāo)系2.4 矢量及其運(yùn)算3 運(yùn)動(dòng)描述3.1 位置矢量與位移3.2 速度3.3加速度4 牛頓運(yùn)動(dòng)定律4.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律4.2功與功率4.3 動(dòng)能 動(dòng)能定理4.4保守力 非保守力 勢(shì)能4.5功能原理4.6機(jī)械能守恒定律4.7動(dòng)量 沖量 動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒定律5 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)描寫(xiě)一、角量的定義二、角量與線量的關(guān)系三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律5.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力矩二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能一、力矩的功二、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

2、的動(dòng)能定理5.4 角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量二、剛體的角動(dòng)量三、角動(dòng)量定理四、角動(dòng)量守恒定律5.5 進(jìn)動(dòng)思考題習(xí) 題第一章 力學(xué)基本定律自然界中存在著許多力學(xué)現(xiàn)象，例如，行星圍繞恒星轉(zhuǎn)動(dòng)，地殼板塊運(yùn)動(dòng)，火山爆發(fā)，河水沖刷河床等都是自然產(chǎn)生的力學(xué)現(xiàn)象；飛機(jī)飛行，樓宇和橋梁建設(shè)，貨物運(yùn)輸?shù)仁侨祟?lèi)利用自然界中的力學(xué)規(guī)律開(kāi)發(fā)出的力學(xué)現(xiàn)象；在我們的生活和學(xué)習(xí)中對(duì)這些現(xiàn)象都已經(jīng)有所了解和認(rèn)識(shí)。在生物界和生命活動(dòng)中也存在著大量鮮為人知的力學(xué)現(xiàn)象，例如，游動(dòng)的精子去尋找卵子力圖使其受精，胎兒生產(chǎn)經(jīng)過(guò)產(chǎn)道是一個(gè)強(qiáng)烈的擠壓過(guò)程，新生兒第一聲啼哭與嬰兒肺擴(kuò)張和氣體充盈的關(guān)系，血液流動(dòng)與生命活動(dòng)的關(guān)系

3、，肌肉骨骼系統(tǒng)與運(yùn)動(dòng)和活動(dòng)的關(guān)系，堅(jiān)硬的鋼制人工關(guān)節(jié)植入人體后為什么會(huì)發(fā)生意外斷裂，怎樣才能夠利用合適的力學(xué)規(guī)律幫助運(yùn)動(dòng)不便的殘疾人恢復(fù)運(yùn)動(dòng)能力等等。所有這些力學(xué)現(xiàn)象盡管形式上千差萬(wàn)別，有的是自然產(chǎn)生的，不以人的意志為轉(zhuǎn)移；有的是人們巧妙地利用力學(xué)規(guī)律創(chuàng)造的，為我們的生活與生產(chǎn)活動(dòng)帶來(lái)了許多方便；有的伴隨我們生命過(guò)程的始終。不管他們的表現(xiàn)形式如何，但都服從相同的規(guī)律，正確認(rèn)識(shí)這些力學(xué)規(guī)律，有助于我們改造自然，利用自然。了解和掌握力學(xué)規(guī)律，將有利于我們深刻地認(rèn)識(shí)生命現(xiàn)象，幫助我們把握生命規(guī)律，修正被扭曲的力學(xué)行為，有效地提高人類(lèi)的生活質(zhì)量。物質(zhì)世界存在多種多樣的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，其中，機(jī)械運(yùn)動(dòng)是最基本最

4、直接的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。機(jī)械運(yùn)動(dòng)是指物體的位置變動(dòng)和物體內(nèi)部各部分之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)即變形。力學(xué)（mechanics）是研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的一門(mén)學(xué)科，主要包括以下主要內(nèi)容。1、研究物體的運(yùn)動(dòng)軌道。研究決定物體運(yùn)動(dòng)軌道的動(dòng)力學(xué)因素，建立動(dòng)力學(xué)方程。2、研究物體與物體之間屬于機(jī)械運(yùn)動(dòng)范疇的相互作用，諸如，推動(dòng)、沖擊、碰撞、支持、摩擦、吸引和排斥等等；研究此類(lèi)相互作用過(guò)程中物體運(yùn)動(dòng)量的交換和變化規(guī)律。3、尋求物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中或相互作用過(guò)程中的守恒量及相應(yīng)的守恒條件。它們構(gòu)成了牛頓力學(xué)的基本內(nèi)容，至今仍然是研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。按照研究?jī)?nèi)容劃分，力學(xué)可以分成運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)，前者著重于物體運(yùn)動(dòng)的形態(tài)描寫(xiě)，后者則致力于

5、分析物體運(yùn)動(dòng)形態(tài)形成和改變的原因。本章主要介紹牛頓力學(xué)的基本定律，物體運(yùn)動(dòng)的描述，物體運(yùn)動(dòng)的功和能等。1單位和量綱自然界中，特別是物理學(xué)中，各個(gè)物理量之間常常是通過(guò)定義或定律等定量關(guān)系式相互關(guān)聯(lián)，為了方便大量物理量的描寫(xiě)，人們常常選擇一些物理量作為基本量，規(guī)定他們的單位為基本單位，其他物理量及單位則可以通過(guò)所定義的基本量和基本單位依據(jù)定律等加以導(dǎo)出。由基本單位導(dǎo)出的物理量叫做導(dǎo)出量，他們的單位叫做導(dǎo)出單位。在國(guó)際單位制中，選定長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間為力學(xué)基本量，他們的單位分別為米（m）、千克（kg）、秒（s）。其它所有力學(xué)量的單位都是由這三個(gè)基本量的單位導(dǎo)出的。在國(guó)際單位制中，還選定電流為電學(xué)基本量

6、，單位為安培（A）；選定熱力學(xué)溫度和物質(zhì)的量為熱學(xué)基本量，其單位為開(kāi)爾文（K）和摩爾（mol）；選定光強(qiáng)度為光學(xué)基本量，其單位為坎德拉（cd）。表示一個(gè)物理量的單位與基本量單位關(guān)系的式子叫做物理量的量綱式（dimension formula）。人們約定用大寫(xiě)字母L、M和T分別表示三個(gè)力學(xué)基本量的量綱（dimension）,任何物理量Q的量綱均可以表示為：=（1-1）人們可以很容易利用導(dǎo)出量與基本量的關(guān)系寫(xiě)出各導(dǎo)出量的量綱式，從而清楚地了解它們的單位。例如，力、速度和加速度的量綱式分別為：= =，=， a= 量綱式除了可以直觀地獲取導(dǎo)出量與基本量的關(guān)系以外，還可以用來(lái)檢驗(yàn)所建立的公式正確與否。因

7、為，只有量綱相同的量才可以相加減或者相等。例如，勻加速直線運(yùn)動(dòng)的公式是，式中各項(xiàng)的量綱分別為，和。依此可以初步斷定該公式可能是正確的。因?yàn)閿?shù)字系數(shù)沒(méi)有量綱，因此，公式中的數(shù)字系數(shù)的正確與否，是不能用量綱式加以檢驗(yàn)的。如果用量綱式檢驗(yàn)，式中各項(xiàng)的量綱不同，則該公式一定是錯(cuò)誤的。在物理學(xué)中，采用量綱分析的辦法檢驗(yàn)所得到公式的正確與否，是研究工作的基本方法之一。在物理學(xué)中，人們還常常利用量綱式進(jìn)行單位換算或者確定比例系數(shù)的單位等，有興趣的同學(xué)可以參考相關(guān)的理論力學(xué)教材。相關(guān)鏈接 理解時(shí)空物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)構(gòu)成了我們豐富多彩的世界。日月經(jīng)天，江河行地，飛禽走獸，車(chē)水馬龍，春夏秋冬，草木枯榮宇宙萬(wàn)物

8、無(wú)不在運(yùn)動(dòng)變化之中。人類(lèi)正是在對(duì)自然現(xiàn)象和天體運(yùn)動(dòng)的觀察與感悟中逐漸形成了時(shí)間和空間的概念。人們把物質(zhì)隨時(shí)間在空間中的變化叫做物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。流水年華，光陰似箭，斗轉(zhuǎn)星移，人們通過(guò)一個(gè)個(gè)活靈活現(xiàn)的事例告訴了我們時(shí)間的真諦與內(nèi)涵。時(shí)間的概念起源于運(yùn)動(dòng)，形成于人們對(duì)于運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的觀察與認(rèn)識(shí)過(guò)程之中。人們?cè)谛纬蓵r(shí)空概念之后，就使它超脫于運(yùn)動(dòng)，提出了兩個(gè)獨(dú)立的物理量-時(shí)間和空間。這使得人們對(duì)物質(zhì)世界的認(rèn)識(shí)水平出現(xiàn)了從簡(jiǎn)單的唯象認(rèn)識(shí)升華到了辯證唯物的認(rèn)識(shí)境界，基本實(shí)現(xiàn)了對(duì)物質(zhì)世界定量和清晰并便于描寫(xiě)的目的。簡(jiǎn)而言之，時(shí)間描述的是事件（case）的先后順序，而空間描述的是物質(zhì)的位形，表示物質(zhì)分布的秩序。在我們的

9、日常生活中，時(shí)間與空間是絕對(duì)的；當(dāng)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度接近光速時(shí)，時(shí)間與空間就變成相對(duì)的了；如果你進(jìn)入到某些特定的黑洞之中，你將發(fā)現(xiàn)時(shí)間與空間將發(fā)生互換。在國(guó)際單位制中，時(shí)間的單位是秒。人們最早利用地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)計(jì)算時(shí)間，其基本單位是太陽(yáng)日。19世紀(jì)末的秒定義為1/86 400個(gè)平太陽(yáng)日，叫做世界時(shí)秒。由于地球自轉(zhuǎn)不斷延緩，且存在某些不確定性，致使所定義的復(fù)現(xiàn)秒的準(zhǔn)確度只能達(dá)到。此后，關(guān)于秒的定義有過(guò)兩次重大的修改。1960年，國(guó)際計(jì)量大會(huì)決定采用地球公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)的歷書(shū)時(shí)秒作為時(shí)間單位，其表述為“將1900年初附近太陽(yáng)的幾何平黃經(jīng)為的瞬間作為1900年1月0日12時(shí)整，從該時(shí)刻起的回歸年的1/31

10、556 925.974 7作為1秒”。此定義的復(fù)現(xiàn)秒準(zhǔn)確度提高到。1967年，國(guó)際計(jì)量大會(huì)決定采用原子秒定義時(shí)間單位，其表述為“秒是銫-133原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)之間躍遷對(duì)應(yīng)的輻射的9 192 631 770個(gè)周期所持續(xù)的時(shí)間”。此定義的復(fù)現(xiàn)秒準(zhǔn)確度優(yōu)于。用選定的某一特定時(shí)刻作為原點(diǎn)，用選定的時(shí)間單位“秒”進(jìn)行連續(xù)不斷的積累，就構(gòu)成了一個(gè)時(shí)間坐標(biāo)系-時(shí)標(biāo)。原子時(shí)標(biāo)是由連續(xù)不斷工作著的原子鐘得到的。以各國(guó)有關(guān)研究所運(yùn)轉(zhuǎn)的原子時(shí)鐘的讀數(shù)為依據(jù)，經(jīng)過(guò)加權(quán)平均而建立的時(shí)標(biāo)被稱(chēng)為國(guó)際原子時(shí)（TAI），它的起點(diǎn)為1958年1月0日0時(shí)0分0秒。在自然界中有許多具有特殊意義的時(shí)間標(biāo)志，你知道多少？l 人

11、體心律周期0.8sl 太陽(yáng)光到達(dá)地球用時(shí)l 地球上出現(xiàn)猿人的時(shí)間距今l 侏羅紀(jì)（恐龍世紀(jì)）距今0.51.5億年l 地球上出現(xiàn)生物的時(shí)間距今3.5億年l 地球年齡46億年l 太陽(yáng)年齡50億年l 宇宙年齡150億年l 電子壽命年l 人眼視覺(jué)弛豫時(shí)間0.1 sl 人體感覺(jué)神經(jīng)脈沖間隔l 普通氣體光源原子發(fā)光持續(xù)時(shí)間l 當(dāng)今超短激光脈沖寬度可達(dá)l 頂夸克壽命在國(guó)際單位制中，長(zhǎng)度的單位為米，最初其實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)是一根鉑銥米尺，又叫做國(guó)際米原器。它是一個(gè)橫截面形狀近似為H形的尺子，保存在1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水平放置于相距571毫米的兩個(gè)圓柱上，圓柱直徑約1厘米。這是1889年第一屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)上批準(zhǔn)建立的。1927

12、年第7次國(guó)際計(jì)量大會(huì)上對(duì)米定義作了嚴(yán)格的規(guī)定，其表述為“國(guó)際計(jì)量局保存的鉑銥米尺所刻兩條中間刻線的軸線在0時(shí)的距離”。如此定義的米，不確定度為110-7。到目前為止，關(guān)于米的定義有過(guò)兩次重大的更改。1960年，第11次國(guó)際計(jì)量大會(huì)對(duì)米的定義是“米的長(zhǎng)度等于氪86原子的能級(jí)之間躍遷的輻射在真空中波長(zhǎng)的1 650 763.73倍”。此定義的米不確定度為。此后，又出現(xiàn)了多種激光，由于它們的頻率穩(wěn)定度和復(fù)現(xiàn)性很好，先后有四種穩(wěn)定激光的波長(zhǎng)值被推薦作為米的定義與氪86的波長(zhǎng)值并列使用，具有同等的準(zhǔn)確度。1983年，第17次國(guó)際計(jì)量大會(huì)上通過(guò)了米的新定義。根據(jù)甲烷譜線的頻率值和波長(zhǎng)值，獲得真空中的光速值c

13、 = 299 792 458ms-1，此值非常精確。因此，人們決定米的定義為“米是1/299 792 458秒的時(shí)間間隔內(nèi)光在真空中的行程”。自然界中有很多具有特殊意義的長(zhǎng)度，你知道多少？l 成人身高 12 ml 珠峰海拔高度l 地球半徑l 月球直徑l 太陽(yáng)直徑l 日地距離l 1光年l 現(xiàn)代宇宙視界億光年l 人眼瞳孔直徑 26 mm l 可見(jiàn)光波長(zhǎng) 0.40.710-6 m l 人體神經(jīng)纖維直徑 12010-6 m l 原子半徑l 原子核半徑l 人毛細(xì)血管的最小直徑l 紅細(xì)胞直徑2物理量及其表述2.1 物理量人們把描寫(xiě)物理事件的量叫做物理量（physical quantity），依據(jù)物理事件的

14、不同，所采用的物理量也不同，我們經(jīng)常遇到的物理量有三種，它們是：1、標(biāo)量：只有大小沒(méi)有方向的物理量叫做標(biāo)量（scalar）。例如，溫度、能量、質(zhì)量等物理量是標(biāo)量。2、矢量：即有大小又有方向，并且只有一個(gè)方向的物理量叫做矢量（vector）。例如，速度、加速度、力和動(dòng)量等物理量是矢量。3、張量：即有大小又有方向，并且不止一個(gè)方向的物理量叫做張量（tensor）。人們把張量對(duì)應(yīng)的方向個(gè)數(shù)叫做張量的階。例如，描寫(xiě)材料內(nèi)部力學(xué)性質(zhì)的應(yīng)力和應(yīng)變有兩個(gè)方向，是二階張量。根據(jù)物理事件描寫(xiě)的需要，還可以有更高階的張量。不同的物理量服從不同的運(yùn)算規(guī)則。2.2 質(zhì)點(diǎn)任何物體都有一定的大小和形狀。但是，當(dāng)物體的大小

15、和形狀在所描寫(xiě)的運(yùn)動(dòng)中所起的作用可以忽略不計(jì)時(shí)，我們就把它看作是一個(gè)只有質(zhì)量而沒(méi)有大小和形狀的點(diǎn)，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)（mass point ）。質(zhì)點(diǎn)是為了描寫(xiě)方便而為實(shí)際物體構(gòu)造的一種模型，是實(shí)際物體在一定條件下的一種抽象。一個(gè)物體能否看成質(zhì)點(diǎn)，關(guān)鍵要看其在所研究的問(wèn)題中，是否滿足所定義的條件。例如，同樣是地球，當(dāng)研究其自轉(zhuǎn)時(shí)就不能將其看成質(zhì)點(diǎn)，而研究它圍繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)時(shí)，就可以把它很好地近似為質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。2.3 參考系與坐標(biāo)系描述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)需要另一個(gè)物體作為參考，這個(gè)被選定的參考物體叫做參考系（reference system）。當(dāng)同一個(gè)物體采用不同的參考系描寫(xiě)時(shí)，其結(jié)果一般不同，這叫做運(yùn)動(dòng)描寫(xiě)的相

16、對(duì)性。例如，在一個(gè)向左勻速直線運(yùn)動(dòng)的車(chē)廂中，有一個(gè)自由下落的物體，當(dāng)以車(chē)廂為參考系描寫(xiě)時(shí)，物體作直線運(yùn)動(dòng)；如果以地面為參考系描寫(xiě)，物體作拋物線運(yùn)動(dòng)。選定參考系只是定性地描寫(xiě)物體的運(yùn)動(dòng)與否，為了定量地描寫(xiě)物體運(yùn)動(dòng)的位置以及位置隨時(shí)間的變化，必須在所選定的參考系中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。一般在參考系中選定一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于描述物體位置變化的坐標(biāo)系起著標(biāo)尺的作用。在三維空間中，需要標(biāo)出三個(gè)獨(dú)立的量來(lái)唯一地確定一點(diǎn)的位置。人們用得最多的是直角坐標(biāo)系，它的三條坐標(biāo)軸（軸、軸、軸）相互垂直。圖1-1 中所給出的就是直角坐標(biāo)系。除了直角坐標(biāo)系以外，根據(jù)描寫(xiě)的方便，還可以選擇其他坐標(biāo)系，如極坐標(biāo)系，柱坐標(biāo)系

17、或者球面坐標(biāo)圖1-1 P點(diǎn)的位置矢量r和它系等等。 的坐標(biāo)（x,y,z）2.4 矢量及其運(yùn)算即有大小又有方向的物理量叫做矢量。通常用一個(gè)有向線段表示矢量，線段的長(zhǎng)短表示矢量的大小，線段的方向即為該矢量的方向。位移、速度、加速度和力等物理量都是矢量。一般用黑體字表示矢量，如A，a等。矢量與自己的大小相除所得的矢量叫做該矢量的單位矢量，其大小為1，表示為（1-2）矢量的加法：任何兩個(gè)矢量的和還是一個(gè)矢量，表示為：。（1-3）矢量的加法服從平行四邊形法則和三角形法則。在直角坐標(biāo)系中，矢量可以表示為：（1-4）其中，分別為矢量在坐標(biāo)軸上的投影，分別為表示坐標(biāo)軸方向的單位矢量，叫做基矢。矢量的減法可以由

18、矢量的加法定義，即。（1-5）矢量的乘法：兩個(gè)矢量相乘，有兩種不同的結(jié)果。相乘結(jié)果為標(biāo)量的，叫做標(biāo)積（或稱(chēng)點(diǎn)積）；相乘結(jié)果為矢量的，叫作矢積（或稱(chēng)叉積）。矢量的標(biāo)積 設(shè)A、B為兩個(gè)矢量，它們之間的夾角為a，則它們的標(biāo)積用AB表示，定義為AB = AB cosa（1-6）可見(jiàn)AB是一個(gè)數(shù)值等于的標(biāo)量，可以把它理解為矢量A在矢量B上的投影與矢量B的大小的乘積；也可以把它理解為矢量B在矢量上的投影與矢量A的大小的乘積。可以證明，矢量的點(diǎn)積運(yùn)算服從交換率和結(jié)合律。從（1-6）式可以看出，當(dāng)兩個(gè)矢量同向時(shí)，點(diǎn)積結(jié)果數(shù)值最大，當(dāng)兩個(gè)矢量反向時(shí)，點(diǎn)積結(jié)果取最小值，當(dāng)兩個(gè)矢量垂直時(shí)，點(diǎn)積結(jié)果為0。矢量的矢積

19、設(shè)為兩個(gè)矢量，它們之間的夾角為，則它們的矢積用表示，定義它為另一個(gè)矢量，即（1-7）矢量的大小為（1-8）矢量的方向垂直于矢量構(gòu)成的平面，并服從右手螺旋法則，即伸出右手拇指，將其余四指并攏沿矢量的方向伸出，并從經(jīng)小于的角向的頭部彎曲，與四指垂直的拇指指向即為矢量的方向。根據(jù)叉乘的定義可以看出，當(dāng)兩個(gè)矢量平行時(shí)，叉乘結(jié)果為零，當(dāng)兩個(gè)矢量垂直時(shí)，叉乘結(jié)果最大。另外，根據(jù)叉乘運(yùn)算定義，可以得到如下結(jié)果因此，矢量的叉乘不服從交換率。但可以證明，矢量的叉乘服從結(jié)合律，即3 運(yùn)動(dòng)描述3.1 位置矢量與位移位置矢量 如圖1-1所示，在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置有三個(gè)坐標(biāo)來(lái)確定，或者用從原點(diǎn)到點(diǎn)的有向線段表示，

20、矢量稱(chēng)為位置矢量（position vector），簡(jiǎn)稱(chēng)位矢。在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量分別為。以分別表示沿x，y，z軸正方向的單位矢量，則位矢在直角坐標(biāo)系中可以表示（1-9）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)其位置隨時(shí)間的改變可以表示成，（1-10）或者表示為 （1-11）（1-10）式各函數(shù)表示質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)隨時(shí)間的變化情況，（1-11）式表示質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的空間軌跡。這個(gè)關(guān)系叫做運(yùn)動(dòng)疊加。位移 質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)位置的改變叫做它在這段時(shí)間內(nèi)的位移（displacement）。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)刻分別通過(guò)和點(diǎn)（圖1-4），其位矢分別為和，則由引向的矢量表示增量，即 （1-12）是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的位移。是矢量，其大小標(biāo)志著在內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置

21、移動(dòng)的多少，表示為；圖1-4 曲線運(yùn)動(dòng)中的位移，其中其方向表示質(zhì)點(diǎn)的位置移動(dòng)方向。要特別注意，位移 為路程與路程Ds是兩個(gè)不同的概念。3.2 速度速度 質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)所發(fā)生的位移與的比值叫做質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的平均速度（mean velocity），即，（1-13）平均速度的方向與位移的方向一致。在描寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，常采用“速率”這個(gè)概念，我們定義質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)所走過(guò)的路程與所用的時(shí)間的比值為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的平均速率（mean speed）。要注意，平均速度是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)的位移，是矢量；平均速率是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)走過(guò)的路程，是標(biāo)量，兩者有本質(zhì)差別。瞬時(shí)速度（instantaneous velocity）又叫速

22、度（velocity）是當(dāng)時(shí)間間隔趨于零時(shí)，平均速度的極限，即，（1-14）速度是位置矢量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，即速度是位置矢量的時(shí)間變化率。速度的方向就是趨于零時(shí)位移的方向。如圖1-4所示，當(dāng)趨于零時(shí)，點(diǎn)向點(diǎn)靠近，而的方向最后將與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡在點(diǎn)的切線一致。因此，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的速度方向就是該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在處運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向，指向運(yùn)動(dòng)的前方。速度的大小叫做速率（speed），用表示，即，（1-15）用表示在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)沿著軌道所經(jīng)過(guò)的路程，當(dāng)趨于零時(shí)，和趨于相同，因此，可以得到，（1-16）即速率的大小為質(zhì)點(diǎn)所走過(guò)路程的時(shí)間變化率。采用坐標(biāo)分量表示，速度可以表示為，（1-17），分別為速度在三個(gè)坐標(biāo)方向上的

23、分量，它們都是代數(shù)量，可正可負(fù)。上式說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)的速度是各速度分量的矢量和，這一關(guān)系叫做速度的疊加，在直角坐標(biāo)系中，速度的大小，即速率與各速度分量之間存在以下關(guān)系，（1-18）在國(guó)際單位制中，速度的單位是ms-1。3.3加速度加速度（acceleration）是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度改變的量度。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到空間不同位置時(shí)，一般速度也不同，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在和時(shí)刻分別位于和點(diǎn)（圖1-5），在兩點(diǎn)的速度分別為和，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)速度的改變量為，于是有 質(zhì)點(diǎn)的平均加速度定義為圖1-5速度改變量（1-19）質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)加速度（簡(jiǎn)稱(chēng)加速度）是平均加速度當(dāng)趨于零時(shí)的極限，即（1-20）在直角坐標(biāo)系中，加速度的分量形式為（1-21）

24、要特別注意，加速度是矢量，是速度的單位時(shí)間改變，這種改變包括速度的大小，也包括速度的方向。加速度的方向是速度增量的極限方向，一般與該時(shí)刻的速度方向不一致。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度的方向總是指向軌跡曲線的凹側(cè)。當(dāng)物體沿曲線軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，人們常常將加速度分解成法向加速度和切向加速度，如圖1-6所示，加速度在物體所在點(diǎn)處圓弧曲率半徑上的投影為法向加速度， 圖1-6 法向加速度和切向加速度在軌道切線方向上的加速度投影叫做切向加速度。顯而易見(jiàn)，下式成立 （1-22）可以證明，法向加速度的大小為 （1-23）它只改變速度的方向，其中，為物體所在處軌道圓弧的曲率半徑。切線加速度的大小為 （1-24）它只改變

25、速度的大小。例1-1根據(jù)速度和加速度的定義，求勻加速直線運(yùn)動(dòng)的速度和運(yùn)動(dòng)軌跡方程。圖1-7 勻加速直線運(yùn)動(dòng)解 如圖1-7所示，如果取質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為軸，由加速度定義，即設(shè)時(shí)刻，速度，則任意時(shí)刻的速度可以通過(guò)對(duì)上式兩邊積分得到，即由于加速度不變，上式的積分結(jié)果為這就是勻加速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式。利用，我們有將上邊得到的速度公式帶入并對(duì)等式兩邊積分得到任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置為4 牛頓運(yùn)動(dòng)定律不同形式的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)服從不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。物質(zhì)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)包括平動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形等，它們的運(yùn)動(dòng)都服從力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的核心是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。在進(jìn)行物質(zhì)運(yùn)動(dòng)描寫(xiě)時(shí)，人們常常依據(jù)物質(zhì)的性質(zhì)把它們分成質(zhì)點(diǎn)、剛體、連續(xù)介質(zhì)等

26、不同的力學(xué)模型，本節(jié)介紹質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)規(guī)律。4.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律1、牛頓第一定律任何物體都保持其靜止或直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，除非有外力作用使其改變那個(gè)狀態(tài)。第一定律提出了兩個(gè)重要的概念：一個(gè)是物體具有保持其速度不被改變的性質(zhì)，即慣性(inertia)；另一個(gè)是力（force），它是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。2、牛頓第二定律物體所獲得的加速度的大小與物體所受合外力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向一致。即 （1-25）第二定律給予了質(zhì)量的科學(xué)內(nèi)涵，即物體的質(zhì)量（mass）就是物體慣性大小的量度。在此意義下的質(zhì)量叫做慣性質(zhì)量。3、牛頓第三定律當(dāng)物體A對(duì)物體B施加作用力時(shí)，物體B也必定同時(shí)

27、對(duì)物體A施加一個(gè)反作用力；兩者大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。即（1-26）三條牛頓定律構(gòu)成了一個(gè)完整的力學(xué)行為定量描寫(xiě)體系。實(shí)驗(yàn)證明，牛頓定律只在慣性參考系（inertial system）中成立。凡是不能使牛頓定律成立的參考系都叫做非慣性參考系。例如，研究太陽(yáng)系中的星體運(yùn)動(dòng)，可以選擇太陽(yáng)作為慣性系，如果研究地球表面的物體運(yùn)動(dòng)，可以選擇地面為慣性參考系。在實(shí)際研究中，到底應(yīng)該如何選擇參考系，要具體問(wèn)題具體分析。4.2功與功率功的定義 設(shè)物體在恒力作用下，沿直線移動(dòng)了一個(gè)距離，則力在這段距離上所做的功（work）為 （1-27）圖1-8 做功的定義從功的定義可以看出，功是力的空間積累效

28、應(yīng)，做功必須具備兩個(gè)基本條件，即必須對(duì)物體施加力，并且必須使物體發(fā)生移動(dòng)。另外，做功具有方向性，當(dāng)力的方向與位移的方向一致時(shí)，力對(duì)物體做功最大，當(dāng)力的方向與物體移動(dòng)的方向相反時(shí)，力對(duì)物體做最大負(fù)功。圖1-9 變力做功變力做功 在實(shí)際做功過(guò)程中，做功的力常常為變力，物體的移動(dòng)路程也不一定是直線，下面我們就來(lái)解決變力做功的問(wèn)題。如圖1-7所示， 物體在變力的作用下，沿著曲線路徑從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，我們把路程分成許多無(wú)限小的路程段，每一小段可以近似看成是直線，在這一小段上的力也可以看成是恒力，只要小路程段足夠短，這種近似總是成立的。設(shè)這一小段的位移為，在這一位移上，施加給物體的力為恒力，于是在這一小段

29、位移上，我們就可以利用做功的定義（1-27）式了，設(shè)在這一段位移上力所做的功為，則有把力在整個(gè)路程中各小段上所做的功加起來(lái)，就得到了變力在整個(gè)路程上對(duì)物體所做的功，即（1-29）要注意，在上邊的積分中，在物體移動(dòng)的不同位置上，力的大小和力與位移之間的夾角一般是不同的。在國(guó)際單位制中，功的單位為焦?fàn)枺ǎ?，其量綱為。功率（power）是描述力對(duì)物體做功快慢的物理量，它等于力在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)物體所做的功，即（1-30）其中，是物體移動(dòng)的速度。在國(guó)際單位制中，功率的單位是瓦特（）,其量綱為。4.3 動(dòng)能 動(dòng)能定理如圖1-10所示，物體在合外力作用下，沿曲線軌跡由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，我們來(lái)求出在此過(guò)程中合外力

30、對(duì)物體所做的功。利用（1-29）式有而圖1-10 動(dòng)能原理推導(dǎo)把此結(jié)果代入功的積分，并注意到，質(zhì)點(diǎn)在a點(diǎn)和b點(diǎn)的速度分別為和，最后可以得到合外力所做的功為（1-31）式中叫做物體的動(dòng)能（kinetic energy）,習(xí)慣上用表示，即。在國(guó)際單位之中，動(dòng)能的單位是焦耳（J）,其量綱與功的量綱相同。令物體在初態(tài)的動(dòng)能為，在末態(tài)的動(dòng)能為，則（1-31）式可以改寫(xiě)成（1-32）此式叫做動(dòng)能原理：在始末兩態(tài)之間，合外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的改變量。動(dòng)能原理告訴我們，力的空間積累效果是使物體的動(dòng)能發(fā)生改變。動(dòng)能是運(yùn)動(dòng)物體的做功本領(lǐng)。在許多問(wèn)題中，如果我們能夠知道物體始末狀態(tài)的速度，就可以很容易地利

31、用動(dòng)能原理求出合外力所做的功，而避免了采用功的積分式求功的繁瑣。4.4保守力 非保守力 勢(shì)能保守力與非保守力：如果力沿著任意一個(gè)閉合回路對(duì)物體所做的功等于零，即（1-33）成立，則這個(gè)力就叫做保守力（conservative force），否則叫做非保守力（non-conservative force）。保守力做功與路徑無(wú)關(guān)，非保守力做功與路經(jīng)有關(guān)。換句話說(shuō)，保守力做功只與物體所在的始末位置有關(guān)，與從初始位置到達(dá)末態(tài)位置的路徑選擇無(wú)關(guān)。重力、彈性力、萬(wàn)有引力、靜電力和分子力都是保守力，摩擦力是非保守力。由于保守力做功只與物體的位置有關(guān)，與路徑的選取無(wú)關(guān)，因此，我們可以引進(jìn)一個(gè)作為位置函數(shù)的物理

32、量，來(lái)描寫(xiě)保守力的這一性質(zhì)。這個(gè)函數(shù)叫做勢(shì)能（potential energy），用表示。不同的保守力有不同的勢(shì)能，重力的勢(shì)能為；（1-34）彈性力的勢(shì)能為。（1-35）引入勢(shì)能之后，保守力所做的功與勢(shì)能之間的關(guān)系可寫(xiě)為-（-）（1-36）其中，是保守力所做的功，和分別為系統(tǒng)的末態(tài)和始態(tài)勢(shì)能。系統(tǒng)的勢(shì)能是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)，其量值隨狀態(tài)的變化而變化。勢(shì)能是標(biāo)量，其單位和量綱與動(dòng)能相同。必須說(shuō)明的是，保守力是物體系統(tǒng)內(nèi)物體之間的相互作用力，勢(shì)能是由系統(tǒng)內(nèi)物體之間的相對(duì)位置決定的，因此，勢(shì)能是整個(gè)物體系統(tǒng)所共有的，不能把它看作某個(gè)物體獨(dú)有。（1-36）式告訴我們，保守力所做的功等于系統(tǒng)勢(shì)能改變量的

33、負(fù)值。如果將這個(gè)結(jié)論與前面講過(guò)的動(dòng)能原理聯(lián)系起來(lái)，你將得到什么結(jié)論？4.5功能原理功能原理 前面講過(guò)的動(dòng)能定理是對(duì)單個(gè)物體而言的，現(xiàn)在我們把這個(gè)定理推廣到物體系統(tǒng)。對(duì)于整個(gè)物體系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，它會(huì)受到系統(tǒng)外部力的作用，系統(tǒng)內(nèi)部的物體之間也有相互作用力，并且系統(tǒng)內(nèi)部的力又可以分成保守力和非保守力，在計(jì)算力對(duì)系統(tǒng)所做的功時(shí)，應(yīng)該把它們?nèi)靠紤]在內(nèi)，即（1-37）其中，是所有外力所做的功，是系統(tǒng)內(nèi)部所有非保守力所做的功，是系統(tǒng)內(nèi)部所有保守力所做的功。力對(duì)系統(tǒng)所做的功應(yīng)該等于系統(tǒng)動(dòng)能的改變量，同時(shí)，注意到（1-36）式，我們可以得到-（-）=-把等式左邊的勢(shì)能項(xiàng)移到等號(hào)右邊，并按照始末態(tài)歸類(lèi)，有=（+）-（

34、+）定義系統(tǒng)總的機(jī)械能為系統(tǒng)總的動(dòng)能與總的勢(shì)能之和，記為，即（1-38）最后，我們得到=-（1-39）式（1-39）叫做功能原理，它告訴我們，系統(tǒng)的外力做功與系統(tǒng)內(nèi)部非保守力做功的總和等于系統(tǒng)總的機(jī)械能的改變。4.6機(jī)械能守恒定律如果系統(tǒng)的外力做功與系統(tǒng)內(nèi)部非保守力做功的總和等于零，則有=（1-40a）即+=+ (1-40b)或者-=-（-） (1-40c)上面三式叫做機(jī)械能守恒定律，它們從不同的角度詮釋了機(jī)械能守恒定律的內(nèi)涵。(1-40a)式告訴我們，對(duì)于一個(gè)物理系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的外力做功等于零，并且系統(tǒng)內(nèi)部沒(méi)有非保守力做功，則系統(tǒng)的總機(jī)械能將不隨系統(tǒng)的狀態(tài)改變而改變。式（1-40b）式和(1

35、-40c) 式的解釋留給讀者來(lái)完成。4.7動(dòng)量 沖量 動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量 物體的質(zhì)量與其運(yùn)動(dòng)速度的乘積叫做動(dòng)量（momentum），用表示。即 (1-41)動(dòng)量是矢量，在國(guó)際單位制中，其單位為（）,量綱為。動(dòng)量是物體運(yùn)動(dòng)慣性和運(yùn)動(dòng)做功能力的描寫(xiě)。這一點(diǎn)可以通過(guò)物體的動(dòng)能和牛頓第二定律來(lái)加以解釋。牛頓第二定律為對(duì)于質(zhì)量相同的物體，要使它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生較大的改變，就必須施加更大的力。物體的動(dòng)能為對(duì)于相同質(zhì)量的物體，動(dòng)量越大，其動(dòng)能越大，運(yùn)動(dòng)做功能力越強(qiáng)；對(duì)于相同動(dòng)量的物體，其質(zhì)量越大，動(dòng)能越小，運(yùn)動(dòng)做功能力越弱。沖量 力在確定時(shí)間內(nèi)的積累叫做沖量（impulse）.用表示，即(1-42)沖

36、量是矢量，在國(guó)際單位制中，其單位為牛頓秒（），量綱為。動(dòng)量定理 設(shè)質(zhì)量為的物體，在變力的作用下，速度由時(shí)刻的變?yōu)闀r(shí)刻的。根據(jù)牛頓第二定律，在時(shí)間內(nèi)，物體的動(dòng)量改變?yōu)?，在到時(shí)間間隔內(nèi)，物體總的動(dòng)量改變?yōu)榉e分結(jié)果為-=。（1-43）（1-43）式叫做動(dòng)量定理，它告訴我們，運(yùn)動(dòng)物體所受合外力的沖量等于物體動(dòng)量的改變量。也就是說(shuō)，力的時(shí)間積累是物體動(dòng)量改變的原因。利用動(dòng)量定理可以很好地解釋為什么當(dāng)飛機(jī)與鳥(niǎo)相碰撞時(shí)，會(huì)對(duì)飛機(jī)造成毀滅性后果的現(xiàn)象。還可以為臨床上的腦碰撞損傷程度的準(zhǔn)確診斷提供可靠的力學(xué)依據(jù)。動(dòng)量守恒定律 如果物體系統(tǒng)不受外力或所受合外力等于零，則物體系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變。這一結(jié)論叫做動(dòng)量

37、守恒定律。動(dòng)量守恒定律可以用牛頓第二定律加以解釋。設(shè)物體系統(tǒng)所受合外力為，由于系統(tǒng)內(nèi)部所有物體所受的合內(nèi)力為零（為什么？），系統(tǒng)的總動(dòng)量為系統(tǒng)內(nèi)部各物體的動(dòng)量之和，即，把它們帶入牛頓第二定律，則有=如果系統(tǒng)所受的合外力等于零，即=0，則必有=恒矢量（1-44）這就是動(dòng)量守恒定律。5 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)在外力作用下，大小和形狀都不發(fā)生變化的物體叫做剛體（rigid body）。它是力學(xué)中的又一個(gè)理想化模型。實(shí)際物體在外力作用下都可能發(fā)生一定的變化，我們稱(chēng)其發(fā)生了形變。如果在所研究的問(wèn)題中，物體的形變所起的作用可以忽略不計(jì)，我們就可以把它看成剛體，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。剛體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)可以分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，

38、平動(dòng)（translation）是指剛體上的任何一條直線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都始終保持相同的方位，也就是說(shuō)，剛體在平動(dòng)時(shí)，其上的各點(diǎn)都具有相同的位移、速度和加速度。所以，剛體在平動(dòng)時(shí)，可以把它當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）是指剛圖1-11 剛體的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)體上的各點(diǎn)都繞同一條直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這條直線叫做轉(zhuǎn)動(dòng)軸（rotation axis）。轉(zhuǎn)動(dòng)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)叫做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（fixed -axis rotation）。這里主要介紹定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本規(guī)律。5.1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)描寫(xiě)一、角量的定義 描述物體的平動(dòng)采用線量（linear quantity），如我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)接觸到的位置矢量，位移，速度，

39、加速度等；描寫(xiě)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)使用角量（angular quantity）比較方便，與線量相對(duì)應(yīng)，有角位置，角位移，角速度，角加速度等。下面我們來(lái)定義這些角量。設(shè)剛體繞固定軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（圖1-12），在剛體上選一點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)做垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的平面，此平面叫做P點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面。轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動(dòng)平面的交點(diǎn)為，選擇為參考方向，連線與的夾角叫做角坐標(biāo)，標(biāo)志了剛體在某一時(shí)刻的位置。圖1-12 定義描寫(xiě)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量設(shè)剛體在時(shí)刻的角坐標(biāo)為，時(shí)刻的角坐標(biāo)為，叫做剛體在時(shí)間內(nèi)的角位移（angular displacement）。習(xí)慣上規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)形成的角位移為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)形成的角位移為負(fù)。在國(guó)際單位制中，角位移的單位

40、為弧度（rad），量綱為1。角位移與時(shí)間間隔的比值叫做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的平均角速度，用表示，即。的極限叫做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)角速度，簡(jiǎn)稱(chēng)角速度（angular velocity）,用表示，即（1-45）圖1-13 右手螺旋法則角速度是描寫(xiě)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量，在數(shù)值上等于單位時(shí)間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)過(guò)角度的弧度數(shù)。在國(guó)際單位制中，角速度的單位是弧度秒-1（），量綱式。角速度是矢量，其大小由式（1-45）決定，方向可用右手螺旋法則決定（圖1-13），即四指表示剛體上質(zhì)點(diǎn)的繞行方向，垂直伸出的拇指則代表角速度的方向，這個(gè)方向也是轉(zhuǎn)動(dòng)軸的正方向。如果剛體在時(shí)刻的角速度為，時(shí)刻的角速度為，則角速度增量與時(shí)間間隔的比值叫平均角

41、加速度，用表示，即。的極限叫做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)角加速度（angular acceleration），用表示，即。（1-46）角加速度是描寫(xiě)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度變化快慢的物理量，在國(guó)際單位制中，其單位為弧度秒-2（），量綱為。角加速度是矢量，其大小由式（1-46）決定，方向以角速度方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，方向與角速度同向時(shí)為正，使角速度增大；反之為負(fù)，使轉(zhuǎn)動(dòng)變慢。二、角量與線量的關(guān)系 當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上的任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都在作以轉(zhuǎn)軸為中心的圓周運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)可以用線量描寫(xiě)，描寫(xiě)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角量與描寫(xiě)剛體上各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線量之間存在著確定的關(guān)系。圖1-14 線量與角量的關(guān)系設(shè)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在剛體上任選一質(zhì)點(diǎn)P，該

42、質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸的垂直距離為，我們用以轉(zhuǎn)軸為心的位置矢量來(lái)表示其位置，該質(zhì)點(diǎn)此刻的線速度為，線加速度為；剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，角加速度為（如圖1-14所示）。剛體上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)走過(guò)的圓弧長(zhǎng)度與角位移有如下關(guān)系： （1-47）剛體上質(zhì)點(diǎn)P的線速度與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度有如下關(guān)系：（1-48）其大小為（1-49）其方向按照右手螺旋法則確定，當(dāng)四指從方向開(kāi)始沿小于p的角度向方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，伸出的拇指所代表的為速度方向。剛體上質(zhì)點(diǎn)P的切向加速度為（注意：由于是剛體，質(zhì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，不變）（1-50）剛體上質(zhì)點(diǎn)P的法向加速度為（1-51）以上諸式提示，對(duì)于剛體上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描寫(xiě)既可以采用描寫(xiě)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角量，也可以采用描寫(xiě)質(zhì)點(diǎn)平

43、動(dòng)的線量。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)速度恒定的轉(zhuǎn)動(dòng)叫做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)有 （1-52）其中，是初始角坐標(biāo)。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)加速度恒定的轉(zhuǎn)動(dòng)叫做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)于勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)有（1-53）（1-54）其中，是初始角速度，為角加速度，為角位移。研究剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要首先確定轉(zhuǎn)軸的方向，在此基礎(chǔ)上再確定轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的方向，角速度與轉(zhuǎn)軸方向一致時(shí)為正，相反時(shí)為負(fù)。在確定了角速度的方向以后，依據(jù)角加速度與角速度方向一致時(shí)（）取正，相反時(shí)（）取負(fù)的原則確定角加速度的正負(fù)。5.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力矩 如果剛體上位于處的點(diǎn)P所受到的在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的合外力為（如圖1-15所示），我們定義其所產(chǎn)生的力矩（m

44、oment of force）為（1-55）其大小為（1-56）其中，分別是力作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離和作用力的大小，是與之間的夾角。其方向服從右手法則，即四指從方向向方向沿小于p的角度方向環(huán)繞，拇指所代表的方向就是的方向。可以看出，當(dāng)與垂直的時(shí)候，力矩最大，而與平行時(shí)，力矩等于零。圖1-15 力矩的定義如果外力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，我們可以把向轉(zhuǎn)動(dòng)軸和轉(zhuǎn)動(dòng)平面投影，與轉(zhuǎn)動(dòng)軸平行的分力對(duì)力矩沒(méi)有貢獻(xiàn)，它只改變剛體沿轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向作平移運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，只有位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力才對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變有作用。因此，力矩定義式中的的力應(yīng)理解為位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力。力矩是矢量，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，它或者與轉(zhuǎn)軸方向相同，或者與

45、轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向相反。在國(guó)際單位制中，其單位為牛頓米（）,量綱為。二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律 我們比照描述質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)的牛頓第二定律給出剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因是質(zhì)點(diǎn)受力，同理，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的原因是剛體受到力矩的作用。轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體在合外力矩的作用下，所獲得的轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度的大小與合外力矩的大小成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 平動(dòng)加速度的大小與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比，質(zhì)量是物體平動(dòng)慣性的量度，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)也應(yīng)該是與轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的慣性，我們暫且稱(chēng)其為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。成反比，方向與合外力矩的方向相同。即。（1-57）1-16 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的推導(dǎo)下面我們驗(yàn)證上述轉(zhuǎn)動(dòng)定律的正確性，并給出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的解釋。思路是，把剛體分成許多微元，分析

46、微元受力，列出微元的牛頓方程，對(duì)整個(gè)剛體求和，得出剛體的動(dòng)力學(xué)方程。 如圖1-16所示，剛體上位于點(diǎn)的小微元的位置矢量為，所受外力在其位移方向上的投影為，微元周?chē)钠渌⒃獙?duì)的作用力在方向上的投影為，微元的線加速度為，其牛頓方程為兩邊分別乘以并對(duì)整個(gè)剛體積分，注意到剛體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力是作用與反作用關(guān)系，即另外，是微元對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩，所以，是整個(gè)剛體相對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩，有令（1-58）我們得到注意到，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角加速度與力矩的方向一致，將上式寫(xiě)成矢量形式，最后有這就是我們前邊給出的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律。三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 在牛頓定律中，質(zhì)量是物體平動(dòng)慣性的量度，決定著物體平動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度，從轉(zhuǎn)動(dòng)定

47、律可以看出，在相同力矩作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大的物體所能獲得的角加速度越小，也就是說(shuō)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)越不容易改變。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在地位與作用上與質(zhì)量相當(dāng)，它是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式（1-58）可以看出，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量既與物質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，也與剛體本身的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)，同時(shí)還與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。對(duì)于幾何形狀規(guī)則，物質(zhì)分布均勻且連續(xù)的剛體，其對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以通過(guò)（1-58）式求得。對(duì)于幾何形狀復(fù)雜，質(zhì)量分布不均勻的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)予以測(cè)定。表1-1給出了幾種剛體對(duì)選定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式。他們都是（1-58）式的積分結(jié)果。表1-1 幾種剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式物 體 和 轉(zhuǎn)

48、軸轉(zhuǎn) 動(dòng) 慣 量細(xì)棒（質(zhì)量，長(zhǎng)）通過(guò)中心與棒垂直的軸細(xì)棒（質(zhì)量，長(zhǎng)）通過(guò)一端與棒垂直的軸細(xì)圓環(huán)（質(zhì)量，半徑）通過(guò)中心與換面垂直的軸薄圓盤(pán)（質(zhì)量，半徑）通過(guò)中心與盤(pán)面垂直的軸薄圓盤(pán)（質(zhì)量，半徑）以任意直徑為軸球體（質(zhì)量，半徑）通過(guò)球心的任意直徑為軸在國(guó)際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是千克米2（），量綱為。例1-2如圖1-17所示，一輕繩跨過(guò)定滑輪，兩端分別掛有質(zhì)量為和的重物，視定滑輪為質(zhì)量為、半徑為的均質(zhì)圓盤(pán)，繩與圓盤(pán)之間無(wú)滑動(dòng)，若，求圓盤(pán)的角加速度和兩物體的加速度。圖1.17 例1.2圖解：從表1-1知圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，圓盤(pán)所受合外力矩為，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有物體，做平動(dòng)，依據(jù)牛頓定律有，由于繩不可伸長(zhǎng)

49、，且繩與圓盤(pán)之間無(wú)滑移，所以上邊4式聯(lián)立求解可以得到， 圖1-18 例1-3圖例1-3 求長(zhǎng)為的圓棒對(duì)于通過(guò)棒中心且與棒垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如果轉(zhuǎn)軸位于細(xì)棒的一端，結(jié)果將如何？如果細(xì)棒與轉(zhuǎn)軸平行且間距為，結(jié)果又該如何？解： 1、如圖1-18（a）所示，在距轉(zhuǎn)軸處取一微元，其質(zhì)量為，其中為細(xì)棒的質(zhì)量線密度。利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義式有2、轉(zhuǎn)軸位于細(xì)棒一端的做法與1相同，適當(dāng)調(diào)整積分限即可3、細(xì)棒與轉(zhuǎn)軸平行情況，由于不變，所以圖1-19 力矩做功5.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能一、力矩的功 在質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)中，力通過(guò)位移做功，力與位移平行時(shí)做功最大；類(lèi)似，在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩通過(guò)角位移做功，當(dāng)力矩與角位移垂直時(shí)做

50、功最大。當(dāng)剛體發(fā)生角位移時(shí)，力矩所做的元功為（1-59）當(dāng)剛體在變力矩作用下繞定軸由轉(zhuǎn)到時(shí)，力矩對(duì)剛體所做的功為（1-60）當(dāng)剛體在恒力矩作用下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，上式的結(jié)果為力矩做功的功率為（1-61）即力矩的功率等于力矩與角速度的乘積。請(qǐng)讀者把力矩的功率與力的功率進(jìn)行比較。二、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 與平動(dòng)動(dòng)能類(lèi)似，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能由下式給出（1-62）即剛體繞確定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能等于剛體相對(duì)這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的平方乘積的一半。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 如果剛體在合外力矩的作用下繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角位置從變?yōu)榈倪^(guò)程中，角速度由變?yōu)?，那么，把轉(zhuǎn)動(dòng)定律代入功的定義式（1-60）可以得到（1-63）上式表明：合

51、外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體動(dòng)能的改變量。此結(jié)果叫做剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。由于（1-63）式?jīng)]有計(jì)及內(nèi)力矩做功，所以僅適用于剛體。對(duì)于做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體系，其內(nèi)部物體間的相對(duì)位置可能發(fā)生相對(duì)變化，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變，所以在使用動(dòng)能定理時(shí)，必須考慮內(nèi)力矩做功。如果物體系的角速度由變?yōu)?，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由變?yōu)?，則此時(shí)的動(dòng)能定理變?yōu)椋?-64）圖1-20 例1-4圖其中，為外力矩所做的功，為內(nèi)力矩所做的功。例1-4 一質(zhì)量為長(zhǎng)為的均勻細(xì)棒可繞通過(guò)其一端的光滑水平軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，如果細(xì)棒從水平橫放位置自由下擺，求細(xì)棒自由端擺到豎直位置時(shí)的角速度和線速度。解：如圖1-20所示，細(xì)棒在重力矩作用下

52、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，重力作用于細(xì)棒的重心處，方向向下，在細(xì)棒下擺過(guò)程中，力矩是變化的，其大小為，力矩在元角位移上所做的元功為在棒從水平位置擺到豎直位置過(guò)程中，重力矩所做的功為細(xì)棒在水平位置時(shí)的角速度為，擺動(dòng)到豎直位置時(shí)的角速度為，利用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理有而細(xì)棒繞其端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是，代入上式，最后得到 ， 。5.4 角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律圖1.21 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的定義一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 當(dāng)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與角運(yùn)動(dòng)相關(guān)的動(dòng)量矩叫做角動(dòng)量（angular momentum）,用表示，它等于質(zhì)點(diǎn)以轉(zhuǎn)軸為參考點(diǎn)時(shí)位于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的位置矢量與其動(dòng)量的叉積（見(jiàn)圖1-21），即（1-65）其大小為 (1-66)方向服從右手法則。在國(guó)際單位制中，角動(dòng)量的單位是千克米2秒-1（），量綱為。二、剛體的角動(dòng)量 剛體的角動(dòng)量等于其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其轉(zhuǎn)動(dòng)加速度的乘積，方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度方向相同。即(1-67)三、角動(dòng)量定理 采用角動(dòng)量表達(dá)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律叫做角動(dòng)量定理，即結(jié)果(1-68)這是角動(dòng)量定理的微分形式，它告訴我們，剛體角動(dòng)量的變化率等于該剛體所受到的合外力矩。我們定義在時(shí)間間隔內(nèi)的沖量矩為(1