第6章 無限脈沖響應數字濾波器的設計C

1、第第6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計 6.1 數字濾波器的基本概念數字濾波器的基本概念6.2 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器6.4 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器數字低通濾波器6.5 數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計切比雪夫型濾波器設計步驟： (1) 確定技術指標參數 p、p、 s和s。 (2) 求濾波器階數N和參數。 (3) 求歸一化系統函數Ga(p)。 (4) 將Ga(p)去歸一化，得到實際的Ha(s) 6.2.5

2、 五種類型模擬濾波器的比較五種類型模擬濾波器的比較 當階數相同時，對相同的通帶最大衰減當階數相同時，對相同的通帶最大衰減 p和阻帶最小衰和阻帶最小衰減減 s：l巴特沃思濾波器具有單調下降的幅頻特性，過渡帶最寬。巴特沃思濾波器具有單調下降的幅頻特性，過渡帶最寬。l兩種類型的兩種類型的切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。 切比雪夫切比雪夫型型濾波器在濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和，過渡帶和阻帶是單調下降的幅頻特性阻帶是單調下降的幅頻

3、特性。 切比雪夫切比雪夫型型濾波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器濾波器的通帶幅頻響應幾乎與巴特沃思濾波器相同，相同，阻帶是等波紋幅頻特性阻帶是等波紋幅頻特性。l橢圓濾波器的過渡帶最窄橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計相位逼近情況相位逼近情況: 巴特沃思和切比雪夫濾波器在大約3/4的通帶上非常接近線性相位特性，而橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性。貝塞爾濾波器在整個通帶逼近線性相位特性，而其幅頻特性的過渡帶比其他四種濾波器寬得多。復雜性復雜性: 在滿足相同的濾

4、波器幅頻響應指標條件下，巴特沃思濾波器階數最高，橢圓濾波器的階數最低，而且階數差別較大。所以，就滿足濾波器幅頻響應指標而言，橢圓濾波器的性能價格比最高，應用較廣泛。6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計設計高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是設計高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是:l(1) 通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉換為相應的低通濾通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉換為相應的低通濾波器指標；波器指標； l(2) 設計相應的低通系統函數設計相應的低通系統函數Q(p)；l(3) 對對Q(p)進行頻率變換，得到希望設計的濾波器系統函數進行頻率變

5、換，得到希望設計的濾波器系統函數Hd(s)。 1 模擬高通濾波器設計模擬高通濾波器設計 (1） 將希望設計的高通濾波器的指標轉換成相應的低通濾波器Q(p)的指標。6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計pph （2） 設計相應的歸一化低通系統函數Q(p)。（3） 將Q(p)轉換成希望設計的高通濾波器的系統函數HHP(s)。pphps （6.2.50）2 帶通帶通濾波器設計濾波器設計 將希望設計的帶通濾波器指標轉換為相應的低通原型濾波器Q(p)的指標。220pwB （6.2.54） 設計相應的歸一化低通系統函數Q(p)。設計過程與例6.2.1完全相同。 將Q(p)轉換

6、成所希望設計的帶通濾波器系統函數HBP(s)。220pwspB s（6.2.53）3 帶阻帶阻濾波器設計濾波器設計 將希望設計的帶阻濾波器指標轉換為相應的低通原型濾波器Q(p)的指標。 設計相應的歸一化低通系統函數Q(p)。設計過程與例6.2.1完全相同。 將Q(p)轉換成所希望設計的帶阻濾波器系統函數HBs(s)。wp220B sps（6.2.58）wp220B （6.2.59）6.3 6.3 用脈沖響應不變法設計用脈沖響應不變法設計IIRIIR數字低通濾波器數字低通濾波器 為了保證轉換后的為了保證轉換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術要求，對轉換關系穩(wěn)定且滿足技術要求，對轉換關系提出提出兩兩點要求

7、：點要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數字濾波器，仍是因果因果穩(wěn)定的穩(wěn)定的。 (2)數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的數字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響頻響，s平面平面的的虛軸虛軸映射映射z平面的平面的單位圓單位圓，相應的頻率之間成，相應的頻率之間成線性線性關系。關系。6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計1.H1.Ha a(s)(s)轉換成轉換成H(z)H(z)穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件 設模擬濾波器的傳輸函數為Ha(s),其單位沖激響應是ha(t)( )( )aaHsLT h t 設模擬濾波器Ha(s)只有單階極

8、點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6.3.1) 將Ha(s)進行逆拉氏變換得到ha(t)：1( )( )iNs ntaiih tAeu t(6.3.2) 6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計2. 2. 脈沖響應不變法原理脈沖響應不變法原理對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(6.3.3)對上式進行Z變換，得到數字濾波器的系統函數H(z)： 11( )1iNisTiAH ze z (6.3.4)6 6章章 無限脈沖響應數字

9、濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計1( )NiaiiAHsss幾點結論幾點結論: :kSSTsKez 1 1）2 2）系數）系數相同相同3 3）模擬濾波器是）模擬濾波器是穩(wěn)定穩(wěn)定的，數字濾波器也是的，數字濾波器也是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。4 4）S S平面平面的極點與的極點與Z Z平面平面的極點的極點一一對應一一對應，但兩平面零，但兩平面零點并不一一對應點并不一一對應。6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計 式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此，得到：( )( )( )( )sTsTsn

10、Tnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計表明理想采樣信號的拉氏變換與相應的采樣序列h(n)的Z變換之間的映射關系可用下式表示：)(ath3. s3. s平面和平面和z z平面之間的映射關系平面之間的映射關系( )( ) ()aanhth ttnT設ha(t)的采樣信號用 表示，( )aht nsnTsnTstnastaaenThdtenThdtenTthdtethsH)()()()()(sTez (6.3.6) 設s=+j, z=rej， 由上式可 得：rej=eTejTTrTe(6.3.7)010

11、101rrr，s平面的虛軸(=0) z平面的單位圓(r=1)s平面左半平面(0) z平面單位圓內(r1)6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計即：說明：說明：H Ha a(s)(s)因果穩(wěn)定，轉換后得到的因果穩(wěn)定，轉換后得到的H(z)H(z)是因果穩(wěn)定。是因果穩(wěn)定。上式就是脈沖響應不變法對應的s平面到z平面的映射關系。TMTTTTsT2jjeeeee另外，注意到z=esT是一個周期函數，可寫成當不變，模擬頻率變化2/T的整數倍時，映射值不變。或者說，將s平面沿著j軸分割成一條條寬為2/T的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關系對應著整個z平面。此時s平面與z平

12、面的映射關系如圖所示。6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計圖6.3.1 z=esT,s平面與z平面之間的映射關系6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計數字濾波器的頻響特性與模擬濾波器的頻響特性之間的關系：j a12(e)(jj)TkHHkTTja12(e )(j)kkHHTT表明：H(ejT)是是Ha(j)以以2/T為周期的為周期的周期延拓函數周期延拓函數（對數（對數字頻率，則是以字頻率，則是以2為周期）為周期）6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計4.4.數字濾波器的頻響特性數字濾波器的頻響特性圖6.

13、3.2 脈沖響應不變法的頻率混疊現象6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計5 5 脈沖響應不變法優(yōu)缺點脈沖響應不變法優(yōu)缺點缺點缺點 會產生會產生頻率混疊頻率混疊，適合，適合低通、帶通低通、帶通濾波器的設計，濾波器的設計，不不適合適合高通、帶阻高通、帶阻濾波器的設計。濾波器的設計。T優(yōu)點：優(yōu)點：l頻率坐標變換是頻率坐標變換是線性線性的，即的，即l數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的數字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，單位沖激響應，時域特性逼近好時域特性逼近好。6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計 假設 沒

14、有頻率混疊現象，即滿足()aHj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT11( )()( )1iaNisTih nTh nTTAH zez則：但是，H(ej)的幅度與采樣間隔成反比，當T很小時，|H(ej)|就會太高。為避免這一現象，令|j)e (aj ，THH6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計6. 6. 修正公式修正公式 一般Ha(s)的極點si是一個復數，且以共軛成對的形式出現，一對復數共軛極點形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為1112211()sjs 極點為 (6.3.11) 對應的數字濾波器二階基本節(jié)(只有實數乘法)的形式

15、為 1111121211cos12cosTTTz eTz eTz e (6.3.12) 6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計7.7.數字濾波器二階基本節(jié)數字濾波器二階基本節(jié) 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 1112211,() js極點為 (6.3.13)6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計(6.3.14) 111112121sin1 2cosTTTz eTz eTz e數字： Bz, Az=impinvar(B, A) 實現用脈沖響應不變法將分子和分母多項式系數向量為B和A的模擬濾波器系統函數Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函

16、數H(z)，H(z)的分子和分母多項式系數向量為Bz和Az。8. matlab8. matlab中脈沖響應不變法的轉換函數中脈沖響應不變法的轉換函數6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計 例6.3.1 已知模擬濾波器的傳輸函數Ha(s)為 用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成數字濾波器的系統函數H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj極點為12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么

17、H(z)的極點為6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計那么H(z)的極點為按照(6.3.4)式，并經過整理，得到： 式中, T是采樣間隔，若T選取過大，則會使=附近頻譜混疊現象嚴重。 TsTszz21ee21，26449. 03224. 0113224. 0e)7772. 0cos(e21)7772. 0sin3224. 0e2)(zTzzTzHTT6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計11( )1iNisTiAH ze z1( )NiaiiAHsss111112121sin1 2cosTTTz eTz eTz e數字：1112121

18、20.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計這里選取T=1 s和T=0.1 s兩種情況，以便進行比較。設T=1 s時用H1(z)表示，T=0.1 s時用H2(z)表示，則比較T=1和T=0.1的誤差，確定T值。112222111110.5012( )0.6449()()aHsss再按照(6.3.14)式，H(z)為111112121sin( )0.644912cosTTTz eTH zz eTz e 轉換時，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式

19、進行轉換。先求出Ha(s) 極點：s1,2=1j1則：6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計圖6.3.3 例6.3.1的幅度特性6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計【例例6.3.2】 用脈沖響應不變法設計數字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調下降特性，指標參數如下: p=0.2 rad， p=1 dB, s=0.35 rad, s=10 dB。解解 （1） 將數字濾波器設計指標轉換為相應的模擬濾波器指標。設采樣周期為T，則： ppp0.2rad/s,1 dBTTsss0.35rad/s,40 dBTT6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計 (2） 設計相應的模擬濾波器，得到模擬系統函數Ha(s)。根據單調下降要求，選擇巴特沃斯濾波器。設計過程與例6.2.1完全相同，求出階數N=4。（3） 將模擬濾波器系統函數Ha(s)轉換成數字濾波器系統函數H(z)： 如上求解計算相當復雜。本例調用MATLAB信號處理工具箱函數進行設計。設計程序ep632.m如下。4a1( ),kkkAHsss411( )1ekks TkAH zz6 6章章 無限脈沖響應數字濾波器的設計無限脈沖響應數字濾波器的設計 例6.3.2 用脈沖響應不變法設計數字濾波器程序: ep632.mT=1； T