第4章參數(shù)估計(jì)

1、 主講：孟麗麗主講：孟麗麗機(jī)械工程學(xué)院工業(yè)工程系機(jī)械工程學(xué)院工業(yè)工程系E_mail：Applied Statistics第一章第一章 數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)學(xué)第二章第二章 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的描述第三章第三章 概率、概率分布與概率、概率分布與抽樣分布抽樣分布第五章第五章 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)第六章第六章 方差分析與試驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析與試驗(yàn)設(shè)計(jì)第七章第七章 相關(guān)與回歸分析相關(guān)與回歸分析第四章第四章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)第八章第八章 時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析與預(yù)測(cè)與預(yù)測(cè)第四章第四章 緒緒 論論4.1 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題 4.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3 兩個(gè)總

2、體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.4 樣本容量的確定樣本容量的確定學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)估計(jì)量與估計(jì)值的概念估計(jì)量與估計(jì)值的概念點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法樣本容量的確定方法樣本容量的確定方法4.1參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題 參數(shù)估計(jì)是用參數(shù)估計(jì)是用樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)去估計(jì)總體參數(shù)總體參數(shù)。比。比如，用樣本均值估計(jì)總體均值，用樣本方差估計(jì)總?cè)?，用樣本均值估?jì)總體均值，用樣本方差估計(jì)總體方差，用樣本比例估計(jì)總體比例等。

3、體方差，用樣本比例估計(jì)總體比例等。4.1參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題4.1.1 估計(jì)量與估計(jì)值估計(jì)量與估計(jì)值n 估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量 如樣本均值，樣本比率、樣本方差等如樣本均值，樣本比率、樣本方差等 例如例如: : 樣本均值就是總體均值樣本均值就是總體均值u u的一個(gè)估計(jì)量的一個(gè)估計(jì)量n 參數(shù)用參數(shù)用 表示，估計(jì)量表示，估計(jì)量用用 表示表示n 估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值例如例如：如果樣本均值：如果樣本均值 x =80 x =80，則，則8080就是就是u的估計(jì)值。的估計(jì)值。4.1參數(shù)估計(jì)一

4、般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題4.1.2 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)n 點(diǎn)估計(jì)：用樣本的估計(jì)量作為總體參數(shù)的估計(jì)值點(diǎn)估計(jì)：用樣本的估計(jì)量作為總體參數(shù)的估計(jì)值 例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì) 例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)差的估計(jì)n 沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息以樣本統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值以樣本統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值)(xg例：例：xxni1222)(11sxxni樣本觀測(cè)值樣本觀測(cè)值點(diǎn)估計(jì)舉例點(diǎn)估計(jì)舉例4.1參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題參數(shù)估

5、計(jì)一般問(wèn)題4.1.2 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)n 區(qū)間估計(jì)：以一定的置信度對(duì)參數(shù)可能取值范圍的估計(jì)區(qū)間估計(jì)：以一定的置信度對(duì)參數(shù)可能取值范圍的估計(jì)n 在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量加減加減誤差范圍誤差范圍而得到的。而得到的。區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 以一定的置信度對(duì)參數(shù)可能取值范圍的估計(jì)以一定的置信度對(duì)參數(shù)可能取值范圍的估計(jì)ttP-1=)(211 - ：置信度（置信水平）：置信度（置信水平）t1, t2：置信區(qū)間：置信區(qū)間t1、t2：置信限（置信下限、置信上限）：置信限（置信下限、置信上限

6、）求統(tǒng)計(jì)量求統(tǒng)計(jì)量 t1和和 t2 ，使得對(duì)于給定的，使得對(duì)于給定的 (0 1，常用，常用 =0.05或或 =0.01)，有，有a/2a/22t1t1-a4.1參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題4.1.2 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)n 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)例如：某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在例如：某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在75758585之間，置信水平是之間，置信水平是95% 95% 正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)nzxnzP-1=)+(22),(2nNxznxzPa-1=)(22當(dāng)當(dāng) 2已知已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布兩標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布兩尾概率分位點(diǎn)尾概率分位點(diǎn))1 , 0(Nxx -區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)a/2a/2

7、2z2z-1-a0總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為nzx 2 正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)當(dāng)當(dāng) 2未知，且為小樣本時(shí)未知，且為小樣本時(shí)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì))1 , 0(Nxx -)1()1(222-nsn)1( t=)1()1(22-nsxnsxnsnxxxtsxtPx-1=)(22t t分布兩尾概分布兩尾概率分位點(diǎn)率分位點(diǎn)stxstxP-nn-1=)+(22 正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)當(dāng)當(dāng) 2未知，且為小樣本時(shí)未知，且為小樣本時(shí) 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì))1()1(222-nsn

8、snP-1=)1(2222221-1) 1-() 1-(22122222snsnP 2分布上尾概分布上尾概率分位點(diǎn)率分位點(diǎn) /2 /21 - 22221 -4.1 參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題4.1.3 置信水平與置信區(qū)間置信水平與置信區(qū)間n 置信水平置信水平 定義：將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間定義：將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率稱為置信水平，包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率稱為置信水平，表示為表示為(1-a)%(1-a)%。 a a是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比率，也稱為顯著性水平是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比率，也稱為顯著性水平。 常用的置信水

9、平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%99%, 95%, 90% 相應(yīng)的相應(yīng)的a a為為0.010.01，0.050.05，0.100.10。4.1參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題4.1.3 置信水平與置信區(qū)間置信水平與置信區(qū)間n 置信區(qū)間置信區(qū)間 定義：由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱定義：由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間為置信區(qū)間 統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間影響區(qū)間寬度影響區(qū)間寬度 的因素的因素1.總體數(shù)據(jù)的離散程度，用總體數(shù)

10、據(jù)的離散程度，用 來(lái)測(cè)度來(lái)測(cè)度樣本容量樣本容量n，2.置信水平置信水平 (1 -)，影響，影響 z 的大小的大小nxnZZx2222關(guān)于區(qū)間估計(jì)的說(shuō)法關(guān)于區(qū)間估計(jì)的說(shuō)法 比如，為了估計(jì)某電視節(jié)目在觀眾中的支持率（即總體比如，為了估計(jì)某電視節(jié)目在觀眾中的支持率（即總體比例比例p），某調(diào)查結(jié)果會(huì)顯示，該節(jié)目的），某調(diào)查結(jié)果會(huì)顯示，該節(jié)目的“收視率為收視率為90%，誤差是誤差是3%，置信度為，置信度為95%” 。這這種說(shuō)法意味著什么？。這這種說(shuō)法意味著什么？ 1. 樣本中的支持率為樣本中的支持率為90%，即用樣本比例作為對(duì)總體比例的，即用樣本比例作為對(duì)總體比例的點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)。 2. 估計(jì)范圍為估計(jì)

11、范圍為90%3%(3%的誤差的誤差)，即區(qū)間，即區(qū)間(93%，87 %)。 3. 如用類似的方式，重復(fù)抽取大量（樣本量相同的）樣本時(shí)，如用類似的方式，重復(fù)抽取大量（樣本量相同的）樣本時(shí)，產(chǎn)生的大量類似區(qū)間中有些會(huì)覆蓋真正的產(chǎn)生的大量類似區(qū)間中有些會(huì)覆蓋真正的p，而有些不會(huì)；但，而有些不會(huì)；但其中大約有其中大約有95%會(huì)覆蓋真正的總體比例。會(huì)覆蓋真正的總體比例。關(guān)于區(qū)間估計(jì)的說(shuō)法關(guān)于區(qū)間估計(jì)的說(shuō)法 因此說(shuō)因此說(shuō)“我們目前得到的區(qū)間（比如上面的我們目前得到的區(qū)間（比如上面的90%3%）以概）以概率率0.95覆蓋真正的比例覆蓋真正的比例p”是個(gè)錯(cuò)誤的說(shuō)法。是個(gè)錯(cuò)誤的說(shuō)法。 這里的區(qū)間這里的區(qū)間(93

12、%，87%)是固定的，而總體比例是固定的，而總體比例p也是固定的也是固定的值。因此只有兩種可能：或者該區(qū)間包含總體比例，或者不包值。因此只有兩種可能：或者該區(qū)間包含總體比例，或者不包含；在固定數(shù)值之間沒(méi)有任何概率可言。含；在固定數(shù)值之間沒(méi)有任何概率可言。關(guān)于區(qū)間估計(jì)的說(shuō)法關(guān)于區(qū)間估計(jì)的說(shuō)法關(guān)于置信區(qū)間的注意點(diǎn)關(guān)于置信區(qū)間的注意點(diǎn) 前面提到，不要認(rèn)為由前面提到，不要認(rèn)為由某一樣本某一樣本數(shù)據(jù)得到總體參數(shù)的數(shù)據(jù)得到總體參數(shù)的某一某一個(gè)個(gè)95%置信區(qū)間，就以為置信區(qū)間，就以為該該區(qū)間以區(qū)間以0.95的概率覆蓋總體參數(shù)。的概率覆蓋總體參數(shù)。 置信度置信度95%僅僅描述用來(lái)構(gòu)造該區(qū)間上下界的僅僅描述用來(lái)

13、構(gòu)造該區(qū)間上下界的統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量(是隨是隨機(jī)的機(jī)的)覆蓋總體參數(shù)的概率；覆蓋總體參數(shù)的概率； 也就是說(shuō)，無(wú)窮次重復(fù)抽樣所得到的所有區(qū)間中有也就是說(shuō)，無(wú)窮次重復(fù)抽樣所得到的所有區(qū)間中有95%包包含參數(shù)。含參數(shù)。4.1參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題參數(shù)估計(jì)一般問(wèn)題4.1.4 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)n 無(wú)偏性無(wú)偏性n 有效性有效性n 一致性一致性無(wú)偏性無(wú)偏性(unbiasedness)無(wú)偏性：無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù) 有效性有效性(efficiency)有效性：有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)

14、偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效差的估計(jì)量更有效 12一致性一致性(consistency)一致性：一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)被估計(jì)的總體參數(shù) 樣本均值樣本均值、樣本比例、樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本比例、樣本標(biāo)準(zhǔn)差： 無(wú)偏、有效、一致無(wú)偏、有效、一致 3、一致性、一致性(Consistency):當(dāng)樣本容量增大時(shí)，估計(jì)量依概率收斂當(dāng)樣本容量增大時(shí)，估計(jì)量依概率收斂于總體參數(shù)的真值。于總體參數(shù)的真值。 1、無(wú)偏性（、無(wú)偏性（Unbiasedness)：樣本估計(jì)量的均值等于被估總體樣本估計(jì)量的均值等于被估總體參數(shù)的真值；參數(shù)的

15、真值； 2、有效性、有效性(Efficiency):好的點(diǎn)估計(jì)量應(yīng)具有較小的方差；好的點(diǎn)估計(jì)量應(yīng)具有較小的方差；注：注：樣本二階中心矩樣本二階中心矩： 不具有無(wú)偏性不具有無(wú)偏性抽樣分布的性質(zhì)抽樣分布的性質(zhì) 無(wú)偏性與最小方差無(wú)偏性與最小方差nxxSii12*)(4.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)總體參數(shù)符號(hào)表示符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量均值均值比率比率方差方差2xp2s4.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.2.1 總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)n 大樣本法（大樣本法（n=30n=30） 假定：總體服從正態(tài)分布或總體為大樣本假定：總體服從正態(tài)分布

16、或總體為大樣本 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z z)1 ,0(=Nnxz- 總體均值總體均值 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為)(22未未知知或或nszxnzx4.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.2.1 總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)n 小樣本法小樣本法(n30)(n30) 假定：總體服從正態(tài)分布假定：總體服從正態(tài)分布, ,方差未知方差未知 使用使用t t分布統(tǒng)計(jì)量分布統(tǒng)計(jì)量 總體均值總體均值 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為)1(=-ntnsxtnstx 2t 分布分布 t 分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分

17、布，它通常要比正態(tài)分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布 總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )【 例例 】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了量是否符合要求。現(xiàn)

18、從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間

19、估計(jì)( (例題分析例題分析) )28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx36.105x總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )3636個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù) 232335353939272736364444363642424646434331313333424253534545545447472424343428283939363644444040393949493838343448485050343439394545484845453232()63.41,37.37=13.25 .39=3677.7645.15

20、.39=2nszx5 .39=x77. 7=s總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )【例例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取1616只，測(cè)得其使用壽命只，測(cè)得其使用壽命( (小時(shí)小時(shí)) )如下。建立該批如下。建立該批燈泡平均使用壽命燈泡平均使用壽命95%95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )總

21、體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )()2 .1503,8 .1476=2 .131490=1677.24131.21490=2nstx1490=x77.24=s4.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.2.2 總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)n 假定：總體服從二項(xiàng)分布假定：總體服從二項(xiàng)分布n 使用正態(tài)分布使用正態(tài)分布Z Z統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量n 總體均值總體均值 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為)1 , 0()1(=Nnpz-)()-1()1(22未未知知時(shí)時(shí)或或nppzpnzp-總體比率的區(qū)間估計(jì)總體比率的區(qū)間估計(jì)( (例題分析

22、例題分析) )()%35.74%,65.55=%35.9%65=100%)651%(6596.1%65=)1(2-nppzp4.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.2.3 總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)n 假定：總體服從正態(tài)分布假定：總體服從正態(tài)分布n 使用樣本方差使用樣本方差S S2 2估計(jì)總體方差估計(jì)總體方差2 2n 總體方差總體方差 S2 2 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為()()11222-nsn()()()()111122122222-nsnnsn總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)( (圖示圖示) ) 2 2 2 21-1- 2 2

23、 總體方差總體方差1-1- 的置信區(qū)間的置信區(qū)間自由度為自由度為n n-1-1的的 2 2分布分布總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )【例例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了2525袋，測(cè)得每袋重量如下表所示袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%95%的置信水平建立的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間。該種食品重量方差的置信區(qū)間。2525袋食品的重量袋食品的重量 112.5112.5101.

24、0101.0103.0103.0102.0102.0100.5100.5102.6102.6107.5107.5 95.0 95.0108.8108.8115.6115.6100.0100.0123.5123.5102.0102.0101.6101.6102.2102.2116.6116.6 95.4 95.4 97.8 97.8108.6108.6105.0105.0136.8136.8102.8102.8101.5101.5 98.4 98.4 93.3 93.3總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)( (例題分析例題分析) )解解: :已知已知n n2525，1-1- 95% ,95% ,

25、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 s s2 2 =93.21=93.21 2 2置信度為置信度為95%95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025. 022n39.18083.56401.1221.93125364.3921.9312522該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為間為7.54g13.43g總體參數(shù)總體參數(shù)符號(hào)表示符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量均值之差均值之差比率之差比率之差方差比方差比2121222121xx 21pp 2221ss4.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

26、兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)n 假定條件（獨(dú)立，大樣本）假定條件（獨(dú)立，大樣本） 兩個(gè)兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，總體都服從正態(tài)分布， 1 1、 2 2已知已知 若不是正態(tài)分布若不是正態(tài)分布, , 可以用正態(tài)分布來(lái)近似可以用正態(tài)分布來(lái)近似(n(n1 1 3030和和n n2 2 30)30) 兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本n 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z z)1 , 0(+)()(=2221212121Nnnxxz-兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

27、 (大樣本大樣本)222121221+)(nnzxx-222121221+)(nsnszxx-兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)( (例題分析例題分析) )【例例】某地區(qū)教育委某地區(qū)教育委員會(huì)想估計(jì)兩所中學(xué)員會(huì)想估計(jì)兩所中學(xué)的學(xué)生高考時(shí)的英語(yǔ)的學(xué)生高考時(shí)的英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差，為此平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨(dú)立抽取在兩所中學(xué)獨(dú)立抽取兩個(gè)隨機(jī)樣本，有關(guān)兩個(gè)隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表數(shù)據(jù)如右表 。建立。建立兩所中學(xué)高考英語(yǔ)平兩所中學(xué)高考英語(yǔ)平均分?jǐn)?shù)之差均分?jǐn)?shù)之差95%95%的置的置信區(qū)間信區(qū)間 兩個(gè)樣本的有關(guān)數(shù)據(jù)兩個(gè)樣本的有關(guān)數(shù)據(jù) 中學(xué)中學(xué)1 1中學(xué)中學(xué)2 2n1=46n1=33S1=5.8

28、 S2=7.2861x782x兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)( (例題分析例題分析) )97.10,03.5(=97.28=332.7+468.596.1)7886(=+)(22222121221-nsnszxx4.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)n 假定條件（獨(dú)立，小樣本，假定條件（獨(dú)立，小樣本， 1= 2 ） 兩個(gè)兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布總體都服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體方差未知但相等：兩個(gè)總體方差未知但相等： 1= 2) ) 兩個(gè)獨(dú)立的小樣本兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n130和和n230)n 總體方差的合并估計(jì)

29、量總體方差的合并估計(jì)量2) 1() 1(212222112nnsnsnsp4.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)n估計(jì)量估計(jì)量 x1- x2的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差21221211nnsnsnspppn兩個(gè)樣本均值之差的標(biāo)準(zhǔn)化兩個(gè)樣本均值之差的標(biāo)準(zhǔn)化)2(11)()(21212121nntnnsxxtp4.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)n兩個(gè)總體均值之差兩個(gè)總體均值之差 1- 2在在1- 置信水置信水平下的置信區(qū)間為平下的置信區(qū)間為21221221112nnsnntxxp兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)( (例題分析例題分析)

30、 )兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間 方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)( (例題分析例題分析) )解解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 合并估計(jì)量為：合并估計(jì)量為：兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為0.14分鐘分鐘7.26分鐘分鐘5 .321x996.1521s8 .282x358.1922s

31、677.1721212358.19) 112(996.15) 112(2ps56. 37 . 3121121677.170739. 2) 8 .285 .32(4.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)n 假定條件（小樣本假定條件（小樣本, , 1 2 ） 兩個(gè)兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布總體都服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體方差未知且不相等：兩個(gè)總體方差未知且不相等： 1 12 2 兩個(gè)獨(dú)立的小樣本兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n30)(n30)n 使用統(tǒng)計(jì)量使用統(tǒng)計(jì)量)()()(2221212121vtnsnsxxt4.3.1 兩個(gè)總體均值之差

32、的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)n兩個(gè)總體均值之差兩個(gè)總體均值之差 1- 2在在1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為222121221)(nsnsvtxx1222221121212222121nnsnnsnsnsv自由度自由度兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)( (例題分析例題分析) )沿用前例。假定第一種方法隨機(jī)安排沿用前例。假定第一種方法隨機(jī)安排1212名工人，第二種方名工人，第二種方法隨機(jī)安排名工人，即法隨機(jī)安排名工人，即n n1 1=12=12，n n2 2=8 =8 ，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且

33、方差不相等。以兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%95%的的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間 兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間 方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)( (例題分析例題分析) )解解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 自由度為：自由度為：兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置

34、信區(qū)間為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)間為0.192分鐘分鐘9.058分鐘分鐘5 .321x996.1521s875.272x014.2322s13188.13188014.2311212996.158014.2312996.15222v433. 4625. 48014.2312996.151604. 2)875.275 .32(4.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)n 假定條件（匹配大樣本）假定條件（匹配大樣本） 兩個(gè)匹配的大樣本兩個(gè)匹配的大樣本(n1(n1 3030和和n2 n2 3030） 兩個(gè)總體各

35、觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布n 兩個(gè)總體均值之差兩個(gè)總體均值之差 d =d = 1-1- 2 2在在1-1- 置信水平下的置信區(qū)置信水平下的置信區(qū)間為間為nzdd2對(duì)應(yīng)差值的均值對(duì)應(yīng)差值的均值對(duì)應(yīng)差值的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)應(yīng)差值的標(biāo)準(zhǔn)差4.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)n 假定條件（匹配小樣本）假定條件（匹配小樣本） 兩個(gè)匹配的小樣本兩個(gè)匹配的小樣本(n1(n1 3030和和n2 n2 30 30 ） 兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布n 兩個(gè)總體均值之

36、差兩個(gè)總體均值之差 d =d = 1-1- 2 2在在1-1- 置信水平下的置信區(qū)置信水平下的置信區(qū)間為間為對(duì)應(yīng)差值的均值對(duì)應(yīng)差值的均值對(duì)應(yīng)差值的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)應(yīng)差值的標(biāo)準(zhǔn)差nsntdd) 1(2兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)( (例題分析例題分析) )由由10名學(xué)名學(xué)生組成一個(gè)隨機(jī)樣生組成一個(gè)隨機(jī)樣本，讓他們分別采本，讓他們分別采用用A和和B兩套試卷兩套試卷進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如下表下表 。試建立兩。試建立兩種試卷分?jǐn)?shù)之差種試卷分?jǐn)?shù)之差 d= 1- 2 95%的置的置信區(qū)間信區(qū)間 10名學(xué)生兩套試卷的得分名學(xué)生兩套試卷的得分 學(xué)生編號(hào)學(xué)生編號(hào)試卷試卷A試卷試卷B差值差值d1

37、7871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)( (例題分析例題分析) )解解: : 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得兩種試卷所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為兩種試卷所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為6.33分分15.67分分11101101dniindd53. 61)(12dniidndds67. 4111053. 62622. 211) 1(2nsntdd4.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3.2 兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間

38、估計(jì)n 假定條件（大樣本）假定條件（大樣本） 兩個(gè)兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布，可以用正態(tài)分布來(lái)近似總體服從二項(xiàng)分布，可以用正態(tài)分布來(lái)近似 兩個(gè)樣本是獨(dú)立的兩個(gè)樣本是獨(dú)立的n 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z z 兩個(gè)總體比率之差兩個(gè)總體比率之差 - - 在在1-1- 置信水平下的置信區(qū)間置信水平下的置信區(qū)間()222111221)1 (+)1 (nppnppzpp-兩個(gè)總體比率之差的估計(jì)兩個(gè)總體比率之差的估計(jì)( (例題分析例題分析) )【例例】在某個(gè)電視節(jié)在某個(gè)電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了400400人人，有，有32%32%的人收看了該的人收看了該節(jié)目

39、；城市隨機(jī)調(diào)查節(jié)目；城市隨機(jī)調(diào)查了了500500人，有人，有45%45%的人的人收看了該節(jié)目。試以收看了該節(jié)目。試以90%90%的置信水平估計(jì)城的置信水平估計(jì)城市與農(nóng)村收視率差別市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間的置信區(qū)間 兩個(gè)總體比率之差的估計(jì)兩個(gè)總體比率之差的估計(jì) ( (例題分析例題分析) )解解: : 已知已知 n n1 1=500 =500 ，n n2 2=400=400， p p1 1=45%=45%， p p2 2=32%=32%， 1-1- =95%=95%， z z /2/2=1.96=1.96 1 1- - 2 2置信度為置信度為95%95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為城市與農(nóng)村收視率

40、差值的置信區(qū)間為城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%19.3%6.68%19.3%32.19,%68. 6%32. 6%13400%)321 (%32500%)451 (%4596. 1%32%454.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)4.3.3 兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)212221222122221FssFss-),(1=),(1222121nnFnnF-n比較兩個(gè)總體的方差比比較兩個(gè)總體的方差比n用兩個(gè)樣本的方差比來(lái)判斷用兩個(gè)樣本的方差比來(lái)判斷 如果如果S12/ S22接近于接近于1，兩個(gè)總體方差很接近，兩個(gè)總體方差很接近 如果如果S12/ S22遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離1，兩個(gè)總體方差之間存在差異，兩個(gè)總體方差之間存在差異n總體方差比在總體方差比在1- 置信水平下的置信區(qū)間為置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)( (圖示圖示) )