第十二章課后習題答案

1、第四篇氣體動理論熱力學基礎(chǔ)求解氣體動理論和熱力學問題的基本思路和方法熱運動包含氣體動理論和熱力學基礎(chǔ)兩部分氣體動理論從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，運用統(tǒng)計方法研究氣體的熱現(xiàn)象，通過尋求宏觀量與微觀量之間的關(guān)系，闡明氣體的一些宏觀性質(zhì)和規(guī)律而熱力學基礎(chǔ)是從宏觀角度通過實驗現(xiàn)象研究熱運動規(guī)律在求解這兩章習題時要注意它們處理問題方法的差異氣體動理論主要研究對象是理想氣體，求解這部分習題主要圍繞以下三個方面：(1)理想氣體物態(tài)方程和能量均分定理的應用；(2)麥克斯韋速率分布率的應用；(3)有關(guān)分子碰撞平均自由程和平均碰撞頻率熱力學基礎(chǔ)方面的習題則是圍繞第一定律對理想氣體的四個特殊過程(三個等值過程和一個絕熱過

2、程)和循環(huán)過程的應用，以及計算熱力學過程的熵變，并用熵增定理判別過程的方向1近似計算的應用一般氣體在溫度不太低、壓強不太大時，可近似當作理想氣體，故理想氣體也是一個理想模型氣體動理論是以理想氣體為模型建立起來的，因此，氣體動理論所述的定律、定理和公式只能在一定條件下使用我們在求解氣體動理論中有關(guān)問題時必須明確這一點然而，這種從理想模型得出的結(jié)果在理論和實踐上是有意義的例如理想氣體的內(nèi)能公式以及由此得出的理想氣體的摩爾定容熱容和摩爾定壓熱容都是近似公式，它們與在通常溫度下的實驗值相差不大，因此，除了在低溫情況下以外，它們還都是可以使用的在實際工作時如果要求精度較高，摩爾定容熱容和摩爾定壓熱容應采

3、用實驗值本書習題中有少數(shù)題給出了在某種條件下和的實驗值就是這個道理如習題中不給出實驗值，可以采用近似的理論公式計算2熱力學第一定律解題過程及注意事項熱力學第一定律，其中功，內(nèi)能增量本章習題主要是第一定律對理想氣體的四個特殊過程(等體、等壓、等溫、絕熱)以及由它們組成的循環(huán)過程的應用解題的主要過程：(1)明確研究對象是什么氣體(單原子還是雙原子)，氣體的質(zhì)量或物質(zhì)的量是多少？()弄清系統(tǒng)經(jīng)歷的是些什么過程，并掌握這些過程的特征()畫出各過程相應的pV 圖應當知道準確作出熱力學過程的p V圖，可以給出一個比較清晰的物理圖像()根據(jù)各過程的方程和狀態(tài)方程確定各狀態(tài)的參量，由各過程的特點和熱力學第一定

4、律就可計算出理想氣體在各過程中的功、內(nèi)能增量和吸放熱了在計算中要注意Q和W的正、負取法3關(guān)于內(nèi)能的計算理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，是狀態(tài)量，與過程無關(guān)，而功和熱量是過程量，在兩個確定的初、末狀態(tài)之間經(jīng)歷不同的過程，功和熱量一般是不一樣的，但內(nèi)能的變化是相同的，且均等于因此，對理想氣體來說，不論其經(jīng)歷什么過程都可用上述公式計算內(nèi)能的增量同樣，我們在計算某一系統(tǒng)熵變的時候，由于熵是狀態(tài)量，以無論在始、末狀態(tài)之間系統(tǒng)經(jīng)歷了什么過程，始、末兩個狀態(tài)間的熵變是相同的所以，要計算始末兩狀態(tài)之間經(jīng)歷的不可逆過程的熵變，就可通過計算兩狀態(tài)之間可逆過程熵變來求得，就是這個道理4麥克斯韋速率分布律的應用和分子

5、碰撞的有關(guān)討論深刻理解麥克斯韋速率分布律的物理意義，掌握速率分布函數(shù)f(v)和三種統(tǒng)計速率公式及物理意義是求解這部分習題的關(guān)鍵三種速率為，注意它們的共同點都正比于，而在物理意義上和用途上又有區(qū)別用于討論分子速率分布圖用于討論分子的碰撞；用于討論分子的平均平動動能解題中只要抓住這些特點就比較方便根據(jù)教學基本要求，有關(guān)分子碰撞內(nèi)容的習題求解比較簡單，往往只要記住平均碰撞頻率公式和平均自由程，甚至只要知道，及這種比值關(guān)系就可求解許多有關(guān)習題第十二章氣體動理論12 1處于平衡狀態(tài)的一瓶氦氣和一瓶氮氣的分子數(shù)密度相同，分子的平均平動動能也相同，則它們()(A) 溫度，壓強均不相同(B) 溫度相同，但氦氣

6、壓強大于氮氣的壓強(C) 溫度，壓強都相同(D) 溫度相同，但氦氣壓強小于氮氣的壓強分析與解理想氣體分子的平均平動動能，僅與溫度有關(guān)因此當氦氣和氮氣的平均平動動能相同時，溫度也相同又由物態(tài)方程，當兩者分子數(shù)密度n 相同時，它們壓強也相同故選(C)12 2三個容器A、B、C 中裝有同種理想氣體，其分子數(shù)密度n 相同，方均根速率之比，則其壓強之比為()(A)124(B)148(C)1416(D)421分析與解分子的方均根速率為，因此對同種理想氣體有，又由物態(tài)方程，當三個容器中分子數(shù)密度n 相同時，得.故選(C)12 3在一個體積不變的容器中，儲有一定量的某種理想氣體，溫度為時，氣體分子的平均速率為

7、，分子平均碰撞次數(shù)為，平均自由程為 ，當氣體溫度升高為時，氣體分子的平均速率、平均碰撞頻率 和平均自由程分別為()(A)(B)(C)(D)分析與解理想氣體分子的平均速率，溫度由 升至，則平均速率變?yōu)椋挥制骄鲎差l率，由于容器體積不變，即分子數(shù)密度n 不變，則平均碰撞頻率變?yōu)椋欢骄杂沙?，n 不變，則珔也不變因此正確答案為(B)12 4已知n 為單位體積的分子數(shù)，為麥克斯韋速率分布函數(shù)，則表示()(A) 速率v 附近，v 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)(B) 單位體積內(nèi)速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)(C) 速率v 附近，v 區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率(D) 單位時間內(nèi)碰到單位器壁上，速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)分析與解麥克

8、斯韋速率分布函數(shù)，而，則有即表示單位體積內(nèi)速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)正確答案為(B)12 5一打足氣的自行車內(nèi)胎，在時，輪胎中空氣的壓強為，則當溫度變?yōu)闀r，輪胎內(nèi)空氣的壓強 為多少？(設(shè)內(nèi)胎容積不變)分析胎內(nèi)空氣可視為一定量的理想氣體，其始末狀態(tài)均為平衡態(tài)，由于氣體的體積不變，由理想氣體物態(tài)方程可知，壓強p 與溫度T 成正比由此即可求出末態(tài)的壓強解由分析可知，當，輪胎內(nèi)空氣壓強為可見當溫度升高時，輪胎內(nèi)氣體壓強變大，因此，夏季外出時自行車的車胎不宜充氣太足，以免爆胎12 6有一個體積為的空氣泡由水面下深的湖底處(溫度為)升到湖面上來若湖面的溫度為，求氣泡到達湖面的體積(取大氣壓強為)分析將氣泡看成

9、是一定量的理想氣體，它位于湖底和上升至湖面代表兩個不同的平衡狀態(tài)利用理想氣體物態(tài)方程即可求解本題位于湖底時，氣泡內(nèi)的壓強可用公式求出， 其中為水的密度( 常取)解設(shè)氣泡在湖底和湖面的狀態(tài)參量分別為(p1 ，V1 ，T1)和(p2,V2 ，T2)由分析知湖底處壓強為，利用理想氣體的物態(tài)方程可得空氣泡到達湖面的體積為12 7氧氣瓶的容積為，其中氧氣的壓強為，氧氣廠規(guī)定壓強降到時，就應重新充氣，以免經(jīng)常洗瓶某小型吹玻璃車間，平均每天用去壓強為的氧氣，問一瓶氧氣能用多少天？ (設(shè)使用過程中溫度不變)分析由于使用條件的限制，瓶中氧氣不可能完全被使用為此，可通過兩條不同的思路進行分析和求解：(1) 從氧氣

10、質(zhì)量的角度來分析利用理想氣體物態(tài)方程可以分別計算出每天使用氧氣的質(zhì)量和可供使用的氧氣總質(zhì)量(即原瓶中氧氣的總質(zhì)量和需充氣時瓶中剩余氧氣的質(zhì)量之差)，從而可求得使用天數(shù)(2) 從容積角度來分析利用等溫膨脹條件將原瓶中氧氣由初態(tài)(, )膨脹到需充氣條件下的終態(tài)(， 待求)，比較可得狀態(tài)下實際使用掉的氧氣的體積為同樣將每天使用的氧氣由初態(tài)(，)等溫壓縮到壓強為p2 的終態(tài)，并算出此時的體積V2，由此可得使用天數(shù)應為解1根據(jù)分析有則一瓶氧氣可用天數(shù)解2根據(jù)分析中所述，由理想氣體物態(tài)方程得等溫膨脹后瓶內(nèi)氧氣在壓強為時的體積為每天用去相同狀態(tài)的氧氣容積則瓶內(nèi)氧氣可用天數(shù)為12 8設(shè)想太陽是由氫原子組成的理

11、想氣體，其密度可當作是均勻的若此理想氣體的壓強為試估計太陽的溫度(已知氫原子的質(zhì)量，太陽半徑，太陽質(zhì)量)分析本題可直接運用物態(tài)方程進行計算解氫原子的數(shù)密度可表示為根據(jù)題給條件，由 可得太陽的溫度為說明實際上太陽結(jié)構(gòu)并非本題中所設(shè)想的理想化模型，因此，計算所得的太陽溫度與實際的溫度相差較大估算太陽(或星體)表面溫度的幾種較實用的方法在教材第十五章有所介紹12 9一容器內(nèi)儲有氧氣，其壓強為，溫度為27，求：(1)氣體分子的數(shù)密度；(2) 氧氣的密度；(3) 分子的平均平動動能；(4) 分子間的平均距離(設(shè)分子間均勻等距排列)分析在題中壓強和溫度的條件下，氧氣可視為理想氣體因此，可由理想氣體的物態(tài)方

12、程、密度的定義以及分子的平均平動動能與溫度的關(guān)系等求解又因可將分子看成是均勻等距排列的，故每個分子占有的體積為，由數(shù)密度的含意可知，即可求出解(1) 單位體積分子數(shù)(2) 氧氣的密度(3) 氧氣分子的平均平動動能(4) 氧氣分子的平均距離通過對本題的求解，我們可以對通常狀態(tài)下理想氣體的分子數(shù)密度、平均平動動能、分子間平均距離等物理量的數(shù)量級有所了解12 102.0102kg 氫氣裝在4.010-3m3 的容器內(nèi)，當容器內(nèi)的壓強為3.90105Pa時，氫氣分子的平均平動動能為多大？分析理想氣體的溫度是由分子的平均平動動能決定的，即因此，根據(jù)題中給出的條件，通過物態(tài)方程pV m/MRT，求出容器內(nèi)

13、氫氣的溫度即可得解由分析知氫氣的溫度，則氫氣分子的平均平動動能為12 11溫度為0和100時理想氣體分子的平均平動動能各為多少？欲使分子的平均平動動能等于1eV，氣體的溫度需多高？解分子在0和100時平均平動動能分別為由于1eV 1.61019J，因此，分子具有1eV平均平動動能時，氣體溫度為這個溫度約為7.510312 12某些恒星的溫度可達到約1.0108K，這是發(fā)生聚變反應(也稱熱核反應)所需的溫度.通常在此溫度下恒星可視為由質(zhì)子組成.求：(1) 質(zhì)子的平均動能是多少？ (2) 質(zhì)子的方均根速率為多大？分析將組成恒星的大量質(zhì)子視為理想氣體，質(zhì)子可作為質(zhì)點，其自由度i 3，因此，質(zhì)子的平均

14、動能就等于平均平動動能.此外，由平均平動動能與溫度的關(guān)系，可得方均根速率.解(1) 由分析可得質(zhì)子的平均動能為(2) 質(zhì)子的方均根速率為12 13試求溫度為300.0K 和2.7K(星際空間溫度)的氫分子的平均速率、方均根速率及最概然速率.分析分清平均速率、方均根速率及最概然速率的物理意義，并利用三種速率相應的公式即可求解.解氫氣的摩爾質(zhì)量M 2103kgmol1 ，氣體溫度T1 300.0K，則有氣體溫度T22.7K 時，有12 14如圖所示，、兩條曲線分別是氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋分子速率分布曲線.試由圖中數(shù)據(jù)求：(1)氫氣分子和氧氣分子的最概然速率；(2) 兩種氣體所處的溫度；(

15、3) 若圖中、分別表示氫氣在不同溫度下的麥克斯韋分子速率分布曲線.則哪條曲線的氣體溫度較高？分析由可知，在相同溫度下，由于不同氣體的摩爾質(zhì)量不同，它們的最概然速率vp 也就不同.因，故氫氣比氧氣的vp 要大，由此可判定圖中曲線所標vp 2.0103 ms1 應是對應于氫氣分子的最概然速率.從而可求出該曲線所對應的溫度.又因曲線、所處的溫度相同，故曲線中氧氣的最概然速率也可按上式求得.同樣，由可知，如果是同種氣體，當溫度不同時，最概然速率vp 也不同.溫度越高，vp 越大.而曲線對應的vp 較大，因而代表氣體溫度較高狀態(tài).解(1) 由分析知氫氣分子的最概然速率為利用MO2/MH2 16 可得氧氣

16、分子最概然速率為(2) 由得氣體溫度(3)代表氣體溫度較高狀態(tài).12 15日冕的溫度為2.0106K，所噴出的電子氣可視為理想氣體.試求其中電子的方均根速率和熱運動平均動能.解方均根速率平均動能12 16在容積為2.0103m3 的容器中，有內(nèi)能為6.75102J的剛性雙原子分子某理想氣體.(1) 求氣體的壓強；(2) 設(shè)分子總數(shù)為5.41022 個，求分子的平均平動動能及氣體的溫度.分析(1) 一定量理想氣體的內(nèi)能，對剛性雙原子分子而言，i5.由上述內(nèi)能公式和理想氣體物態(tài)方程pV mM RT 可解出氣體的壓強.(2)求得壓強后，再依據(jù)題給數(shù)據(jù)可求得分子數(shù)密度，則由公式p nkT 可求氣體溫度

17、.氣體分子的平均平動動能可由求出.解(1) 由和pV mM RT 可得氣體壓強(2) 分子數(shù)密度n N/V，則該氣體的溫度氣體分子的平均平動動能為12 17溫度相同的氫氣和氧氣，若氫氣分子的平均平動動能為6.211021J，試求(1) 氧氣分子的平均平動動能及溫度；(2) 氧氣分子的最概然速率.分析(1) 理想氣體分子的平均平動動能，是溫度的單值函數(shù)，與氣體種類無關(guān).因此，氧氣和氫氣在相同溫度下具有相同的平均平動動能，從而可以求出氧氣的溫度.(2) 知道溫度后再由最概然速率公式即可求解vp.解(1) 由分析知氧氣分子的平均平動動能為，則氧氣的溫度為：(2) 氧氣的摩爾質(zhì)量M 3.2102kgm

18、ol1 ，則有12 18聲波在理想氣體中傳播的速率正比于氣體分子的方均根速率.問聲波通過氧氣的速率與通過氫氣的速率之比為多少？ 設(shè)這兩種氣體都是理想氣體并具有相同的溫度.分析由題意聲波速率u 與氣體分子的方均根速率成正比，即；而在一定溫度下，氣體分子的方均根速率，式中M 為氣體的摩爾質(zhì)量.因此，在一定溫度下聲波速率.解依據(jù)分析可設(shè)聲速，式中A 為比例常量.則聲波通過氧氣與氫氣的速率之比為12 19已知質(zhì)點離開地球引力作用所需的逃逸速率為，其中r為地球半徑.(1) 若使氫氣分子和氧氣分子的平均速率分別與逃逸速率相等，它們各自應有多高的溫度；(2) 說明大氣層中為什么氫氣比氧氣要少.(取r 6.4

19、0106m)分析氣體分子熱運動的平均速率，對于摩爾質(zhì)量M 不同的氣體分子，為使 等于逃逸速率v，所需的溫度是不同的；如果環(huán)境溫度相同，則摩爾質(zhì)量M 較小的就容易達到逃逸速率.解(1) 由題意逃逸速率，而分子熱運動的平均速率.當 時，有由于氫氣的摩爾質(zhì)量，氧氣的摩爾質(zhì)量，則它們達到逃逸速率時所需的溫度分別為(2) 根據(jù)上述分析，當溫度相同時，氫氣的平均速率比氧氣的要大(約為4倍)，因此達到逃逸速率的氫氣分子比氧氣分子多.按大爆炸理論，宇宙在形成過程中經(jīng)歷了一個極高溫過程.在地球形成的初期，雖然溫度已大大降低，但溫度值還是很高.因而，在氣體分子產(chǎn)生過程中就開始有分子逃逸地球，其中氫氣分子比氧氣分子

20、更易逃逸.另外，雖然目前的大氣層溫度不可能達到上述計算結(jié)果中逃逸速率所需的溫度，但由麥克斯韋分子速率分布曲線可知，在任一溫度下，總有一些氣體分子的運動速率大于逃逸速率.從分布曲線也可知道在相同溫度下氫氣分子能達到逃逸速率的可能性大于氧氣分子.故大氣層中氫氣比氧氣要少.12 20容積為1m3 的容器儲有1mol 氧氣，以v10ms1 的速度運動，設(shè)容器突然停止，其中氧氣的80的機械運動動能轉(zhuǎn)化為氣體分子熱運動動能.試求氣體的溫度及壓強各升高了多少.分析容器作勻速直線運動時，容器內(nèi)分子除了相對容器作雜亂無章的熱運動外，還和容器一起作定向運動.其定向運動動能(即機械能)為mv2/2.按照題意，當容器

21、突然停止后，80定向運動動能轉(zhuǎn)為系統(tǒng)的內(nèi)能.對一定量理想氣體內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，則有關(guān)系式：成立，從而可求T.再利用理想氣體物態(tài)方程，可求壓強的增量.解由分析知，其中m 為容器內(nèi)氧氣質(zhì)量.又氧氣的摩爾質(zhì)量為，解得T 6.16102K當容器體積不變時，由pV mRT/M 得12 21有N 個質(zhì)量均為m 的同種氣體分子，它們的速率分布如圖所示.(1) 說明曲線與橫坐標所包圍的面積的含義；(2) 由N 和求a 值；(3) 求在速率/2到3/2 間隔內(nèi)的分子數(shù)；(4) 求分子的平均平動動能.分析處理與氣體分子速率分布曲線有關(guān)的問題時，關(guān)鍵要理解分布函數(shù)的物理意義.，題中縱坐標，即處于速率v 附近單位

22、速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù).同時要掌握的歸一化條件，即.在此基礎(chǔ)上，根據(jù)分布函數(shù)并運用數(shù)學方法(如函數(shù)求平均值或極值等)，即可求解本題.解(1) 由于分子所允許的速率在0 到2 的范圍內(nèi)，由歸一化條件可知圖中曲線下的面積即曲線下面積表示系統(tǒng)分子總數(shù)N.(2) 從圖中可知， 在0 到區(qū)間內(nèi)，；而在0 到2 區(qū)間，.則利用歸一化條件有(3) 速率在/2到3/2間隔內(nèi)的分子數(shù)為(4) 分子速率平方的平均值按定義為故分子的平均平動動能為12 22試用麥克斯韋分子速率分布定律導出方均根速率和最概然速率.分析麥克斯韋分子速率分布函數(shù)為采用數(shù)學中對連續(xù)函數(shù)求自變量平均值的方法，求解分子速率平方的平均值，即， 從而得

23、出方均根速率.由于分布函數(shù)較復雜，在積分過程中需作適當?shù)臄?shù)學代換.另外，最概然速率是指麥克斯韋分子速率分布函數(shù)極大值所對應的速率，因而可采用求函數(shù)極值的方法求得.解(1) 根據(jù)分析可得分子的方均根速率為令，則有(2) 令，即得12 23導體中自由電子的運動可看作類似于氣體分子的運動(故稱電子氣).設(shè)導體中共有N 個自由電子，其中電子的最大速率為v(稱為費米速率).電子在速率之間的概率為(1)畫出分布函數(shù)圖；(2) 用N、v 定出常數(shù)A；(3) 證明電子氣中電子的平均動能，其中.分析理解速率分布函數(shù)的物理意義，就不難求解本題.速率分布函數(shù)，表示在v附近單位速率區(qū)間的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比.它應

24、滿足歸一化條件，因此根據(jù)題給條件可得的函數(shù)關(guān)系，由此可作出解析圖和求出A.在函數(shù)關(guān)系確定的情況下，由可以求出v2 ，從而求出.解(1) 由題設(shè)可知，電子的速率分布函數(shù)，其分布函數(shù)圖如圖所示.(2) 利用分析中所述歸一化條件，有得(3)12 24一飛機在地面時，機艙中的壓力計指示為，到高空后壓強降為.設(shè)大氣的溫度均為27.0.問此時飛機距地面的高度為多少？(設(shè)空氣的摩爾質(zhì)量為2.89102kgmol1)分析當溫度不變時，大氣壓強隨高度的變化主要是因為分子數(shù)密度的改變而造成.氣體分子在重力場中的分布滿足玻耳茲曼分布.利用地球表面附近氣壓公式，即可求得飛機的高度h.式中p0 是地面的大氣壓強.解飛機

25、高度為12 25 在壓強為下，氮氣分子的平均自由程為6.0106cm,當溫度不變時，在多大壓強下，其平均自由程為1.0mm。分析氣體分子熱運動的平均自由程，其中分子數(shù)密度n 由物態(tài)方程p nkT 確定，因此在溫度一定時，平均自由程.解由分析知平均自由程.當自由程由改變?yōu)闀r，其壓強為12 26目前實驗室獲得的極限真空約為1.331011Pa，這與距地球表面1.0104km 處的壓強大致相等.而電視機顯像管的真空度為1.33103 Pa，試求在27時這兩種不同壓強下單位體積中的分子數(shù)及分子的平均自由程.(設(shè)氣體分子的有效直徑d 3.0108cm)解理想氣體分子數(shù)密度和平均自由程分別為n p/kT；，壓強為1.