等腰三角形的存在性問(wèn)題解題策略

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略（1）等腰三角形的存在性問(wèn)題解題策略挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題的作者 上海 馬學(xué)斌專題攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三種情況已知腰長(zhǎng)畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線解等腰三角形的存在性問(wèn)題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)例題解析例 如圖1-1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3, 4)，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果DOP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)圖1-1【解析】分三種情況討論等

2、腰三角形DOP：DODP，ODOP，POPD當(dāng)DODP時(shí)，以D為圓心、DO為半徑畫圓，與x軸的正半軸交于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)D在OP的垂直平分線上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6, 0)（如圖1-2）當(dāng)ODOP5時(shí)，以O(shè)為圓心、OD為半徑畫圓，與x軸的正半軸交于點(diǎn)P(5, 0) （如圖1-3）當(dāng)POPD時(shí)，畫OD的垂直平分線與x軸的正半軸交于點(diǎn)P，設(shè)垂足為E（如圖1-4）在RtOPE中，所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為圖1-2 圖1-3 圖1-4上面是幾何法的解題過(guò)程，我們可以看到，畫圖可以幫助我們快速找到目標(biāo)P，其中和畫好圖就知道答案了，只需要對(duì)進(jìn)行計(jì)算代數(shù)法先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, 0)，其中x0，然后羅列DOP的三邊長(zhǎng)

3、（的平方）DO252，OP2x2，PD2(x3)2+42當(dāng)DODP時(shí)，52(x3)2+42解得x6，或x0當(dāng)x0時(shí)既不符合點(diǎn)P在x軸的正半軸上，也不存在DOP當(dāng)ODOP時(shí)，52x2解得x5當(dāng)x5時(shí)等腰三角形DOP是存在的，但是點(diǎn)P此時(shí)不在x軸的正半軸上（如圖1-5）當(dāng)POPD時(shí)，x2(x3)2+42這是一個(gè)一元一次方程，有唯一解，它的幾何意義是兩條直線（x軸和OD的垂直平分線）有且只有一個(gè)交點(diǎn)代數(shù)法不需要畫三種情況的示意圖，但是計(jì)算量比較大，而且要進(jìn)行檢驗(yàn)圖1-5例 如圖2-1，在矩形ABCD中，AB6，BC8，動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的

4、速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)則停止運(yùn)動(dòng)在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)PQC為等腰三角形時(shí)，求t的值圖2-1【解析】在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，PQC的6個(gè)元素（3個(gè)角和3條邊）中，唯一不變的就是PCQ的大小，夾PCQ的兩條邊CQt，CP102t.因此PQC符合“邊角邊”的解題條件，我們只需要三個(gè)C就可以了，在C的邊上取點(diǎn)P或Q畫圓圖2-2 圖2-3 圖2-4如圖2-2，當(dāng)CPCQ時(shí)，t102t，解得(秒).如圖2-2，當(dāng)QPQC時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QMAC于M，則CM.在RtQMC中，解得(秒).如圖2-4，當(dāng)PQPC時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PNBC于N，則CN.在RtPNC中，

5、解得(秒).這道題中，我們從“有限”的矩形中，選擇我們需要的“無(wú)限”的PCQ，使得畫圖簡(jiǎn)潔，計(jì)算簡(jiǎn)練例 如圖3-1，直線y2x2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q，如果APQ是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)圖3-1【解析】我們先用代數(shù)法解這道題由y2x2得，A(1，0)，B(0，2)所以O(shè)A1，OB2如圖3-2，由于QPAABO，所以O(shè)POQOBOA21設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，m)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2m，0)因此AP2(2m1)2，AQ2m21，PQ2m2(2m)25m2當(dāng)APAQ時(shí)，解方程(2m1)2m21，得或所以符合條件的點(diǎn)P不存在

6、當(dāng)PAPQ時(shí)，解方程(2m1)25m2，得所以當(dāng)QAQP時(shí)，解方程m215m2，得所以圖3-2 圖3-3 圖3-4我們?cè)儆脦缀畏?yàn)證代數(shù)法，并進(jìn)行比較如圖3-3，在直線PQ平移的過(guò)程中，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，可知QPO的大小是不變的，因此PQA也符合“邊角邊”的解題條件，我們只需要三個(gè)P，點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)，暫時(shí)不畫y軸（如圖3-4）如果APAQ，以A為圓心、AP為半徑畫圓，得到點(diǎn)Q（如圖3-5）因?yàn)辄c(diǎn)Q在y軸上，于是“奇跡”出現(xiàn)了，點(diǎn)A(1, 0)怎么可以在y軸的右側(cè)呢？ 圖3-5 圖3-6當(dāng)PAPQ時(shí)，以P為圓心、PA為半徑畫圓，得到點(diǎn)Q，再過(guò)點(diǎn)Q畫y軸此時(shí)由，解得，所以（如圖3-

7、6）請(qǐng)問(wèn)代數(shù)法解得的點(diǎn)在哪里？看看圖3-7就明白了當(dāng)QAQP時(shí)，點(diǎn)Q在AP的垂直平分線上，由于A(1, 0)，所以P(1, 0) （如圖3-8）我們可以體驗(yàn)到，幾何法可以快速找到目標(biāo)，而且計(jì)算比較簡(jiǎn)便圖3-7 圖3-8例 如圖4-1，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)P(0, m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D當(dāng)APD是等腰三角形時(shí)，求m的值圖4-1【解析】點(diǎn)P(0, m)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，APD的三個(gè)角都在變化，因此不符合幾何法“邊角邊”的解題條件，我們用代數(shù)法來(lái)解因?yàn)镻C/DB，M是BC的中點(diǎn)，所以BDCP2m所以D

8、(2, 4m)于是我們可以羅列出APD的三邊長(zhǎng)（的平方）：，當(dāng)APAD時(shí)，解得（如圖4-2）當(dāng)PAPD時(shí)，解得（如圖4-3）或（不合題意，舍去）當(dāng)DADP時(shí)，解得（如圖4-4）或（不合題意，舍去）綜上所述，當(dāng)APD為等腰三角形時(shí)，m的值為，或圖4-2 圖4-3 圖4-4其實(shí)、兩種情況，可以用幾何說(shuō)理的方法，計(jì)算更簡(jiǎn)單：如圖4-2，當(dāng)APAD時(shí)，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4-3，當(dāng)PAPD時(shí)，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得例 如圖5-1，已知ABC中，ABAC6，BC8，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，ADEB設(shè)BD的長(zhǎng)為x，如果ADE為等腰三角形，求x的值 圖5-1【解析】在ADE中，ADEB大小確定，但是夾ADE的兩條邊DA、DE用含有x的式子表示太麻煩了本題的已知條件ADEBC非常典型，由于ADCADE1，ADCB2，ADEB，所以12于是得到典型結(jié)論DCEABD如圖5-2，當(dāng)DADE時(shí)，DCEABD因此DCAB，8x6解得x2如圖5-3，如果ADAE，那么AEDADEC由于AED是DCE的一個(gè)外角，所以AEDC