第三章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析習題解答

1、第三章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析習題解答3-1已知函數集，n為正整數。(1) 證明該函數集在區(qū)間(0, 2p)內為正交函數集；(2) 試問該函數集在區(qū)間(0, p!2)內是否為正交函數集？解：(1)證：可見滿足正交函數集的條件。證畢。-A230 1A-1-2f(t)t(2) 不恒為0，可見在此區(qū)間上不是正交函數集。3-2證明圖示矩形脈沖信號f(t)在區(qū)間(0, 1)內與正交，n為正整數。證：f1(t)t2p0Um(a)3pp-p-2pUm sint3-3將圖示周期信號展開為三角型傅立葉級數。解：(a) f2(t)t2T0E(b)T-T-2Tf2"(t)tT!20(4E!T)T-T-(4E!

2、T)2T(b) f2(t)求二階導數如中圖，3-4 圖題3-4所示信號展開為指數型傅里葉級數。-2-4240(a)f1(t)1-131(b)0f2(t)T-TE2Tt解：3-5圖示四種同周期的信號，(1) 求f1(t)的三角型傅立葉級數；(2) 利用各波形與f1(t)的關系求另三個波形的三角型傅立葉級數。f3(t)tT01T/2(c)-Tf2(t)tT01T/2(b)-Tf1(t)tT01T/2(a)-T/2f4(t)tT01T/2(d)-T/2解：(1)f(t)t3501-1-323-6試將圖示周期方波信號f(t)展開為傅立葉級數，畫出其單邊和雙邊振幅頻譜圖和相位頻譜圖，并求該信號的占有頻帶

3、Bv .解：方法一(按定義計算)方法二(利用微分性質，通過右圖計算，并注意到V =2p/3 )f'(t)t0(1)2(1)(1)(-1)-33-1(-1)|Fn|nV0.670.280.140.070.05502p34p32p4p-2p3-4p3-2p0.280.140.070.055單邊頻譜雙邊頻譜|An|nV0.670.550.280.140.1102p34p32p4pynnV2p0-p3-2p32p34p38p34p-2pp32p3-4pynnV2p0-p3-2p32p34p38p34p由圖易知：Bv= 2p（注意：¹ 2p/t）3-7 試求題圖3-7所示周期信號的指數

4、型傅里葉級數系數Fn，并畫出其幅度頻譜。T(a)0T/2tf1(t)AT(b)0T/2tf2(t)Af3(t)0Ttt0t0+TA(c)t(d)f4(t)tT0AT/2-A|Fn|v0V2V4V-V-2V-4V0.318A0.25A0.106A0.021A解：由于未知數太多，無法畫出其幅度頻譜。f(t)t0T43-8 已知周期函數f(t)前四分之一周期的波形如圖題3-9所示。根據下列各情況的要求，畫出f(t)在一個周期(0<t<T)的波形。(1) f(t)是偶函數，只含有偶次諧波；(2) f(t)是偶函數，只含有奇次諧波；(3)f(t)是偶函數，含有偶次和奇次諧波； (4)f(t)

5、是奇函數，只含有偶次諧波；(5)f(t)是奇函數，只含有奇次諧波； (6)f(t)是奇函數，含有偶次和奇次諧波；f2(t)t0T4T2T3T4解：分別如圖f1(t)至f6(t)的圖。f3(t)，中間部分不唯一t0T4T2T3T4f1(t)t0T4T2T3T4f6(t)，中間部分不唯一t0T4T2T3T4f5(t)t0T4T2T3T4f4(t)t0T4T2T3T4f1(t)t01t(a)3-9 求圖題3-9所示各信號的傅里葉變換。解：f3(t)t(c)1-10EEcos(pt/2)f2(t)t0ET(b)f4(t)(d)T/20EEsinVttT-E3-10 試求下列信號的頻譜函數。解：3-11

6、 利用傅里葉變換的對稱性求下列信號的頻譜函數。(1)；(2)；(3).解：F3( jv)t00.54p-4p3-12 已知信號f(t)的頻譜函數F(jv)如下，求信號f(t)的表達式。解：(1) d(t)1，12pd(-v) = 2pd(v)，f1(t)t01t(a)-1-t3-13 利用傅里葉變換的微積分性質求圖示信號的頻譜。解：(a)=f2(t)tE0t2(b)t2-TT3-14 求下列函數的傅里葉反變換。3-12題(2)解：(a)；(b)；(3)3-15 已知f(t)*f'(t)5(12t)e-tÔ(t)，求信號f(t)。解：等式兩邊取傅里葉變換并利用時域微分性質與時域

7、卷積性質得：譜函數F( jv)：3-16圖示余弦脈沖信號，試用下列方法分別求頻(1) 利用傅立葉變換的定義；(2) 利用微分特性；f (t)t-1110(3)，利用線性和頻域卷積性質。解：(1) 3-17 利用頻域卷積定理求下列信號的頻譜函數。解：3-18已知圖示兩門函數：f1(t)t(a)-E10t12t12f2(t)t(b)-E20t22t22.(1) 畫出的圖形；f(t)tE1E2t10t2-t12-t2-t12t2+t12-t2+t12(2) 求的頻譜函數F(jv)，并與題3-13(b)的方法比較。解：(1) 利用微分積分性質得：比較：其方法與題3-13(b)的方法相類同。f(t)t0

8、21213-19 試求圖示信號的頻譜函數。解：方法一：方法二：3-20設f(t)為限帶信號，頻帶寬度為vm，其頻譜F(jv)如圖所示。(1) 求f(2t)、f(0.5t)的奈奎斯特抽樣頻率fN和奈奎斯特間隔TN；(2) 用抽樣序列對信號進行抽樣，得抽樣信號fs(t)，求fs(t)的頻譜Fs(jv)，畫出頻譜圖；F( jv)0vm58-vm1v(3) 若用同一個dTN(t)對f(2t)、f(0.5t)分別進行抽樣，試畫出兩個抽樣信號fs(2t)、 fs(0.5t)的頻譜圖。解：(1)f(2t)：f(2t)Û0.5F(j0.5v)(頻域被展寬一倍)Fs( jv)082.55v2416-1

9、6-8-24Þvm'52vm516 ÞfN52 fm'516/p，TN5p/16；f(0.5t)：f(0.5t)Û2F(j2v)(頻域被壓縮一倍)Þvm"50.5vm54 ÞfN52 fm"54/p，TN5p/4；(2) F s"( jv)045.1v16-16-4Fs'( jv)01.27v2416-16-8-2432(3) 見右圖。3-21 若下列各信號被抽樣，求奈奎斯特間隔和奈奎斯特頻率。解：3-22 對兩個信號均按周期TS = (1/400)s抽樣。試問哪個信號可不失真恢復成原信號？

10、并畫出均勻沖激抽樣信號fS(t)的波形及其頻譜圖。解：其波形及頻譜圖如下： 52t, ms05 152 25210152025- 52-5-10-15-20-25fS1(t)1-1v-100pFs1( jv)100p0-700p-1500p700p1500p(400p)(400p)(400p)(400p)(400p)(400p)-900p(400p)900p(400p)t, ms 52fS2(t)5 152101-11520 252v-100pFs1( jv)100p0-700p-1500p700p1500p(400p)(400p)(400p)(400p)(400p)(400p)-900p(4

11、00p)900p(400p)3-23已知一系統(tǒng)由兩個相同的子系統(tǒng)級聯(lián)構成，子系統(tǒng)的沖激響應為h1(t)= h2(t) =1/(pt)，激勵信號為f(t)。試證明系統(tǒng)的響應y(t)=2f(t)。證明：sgn(t)2j sgn(v) ÞÞÞ y(t)=2f(t)證畢。3-24求圖示電路的頻域系統(tǒng)函數：及相應的+f(t)-RCi(t)+uC(t)-單位沖激響應h1(t)與h2(t)。解：Þ+u1(t)-LCR+u1(t)-3-25 求圖示電路的頻域系統(tǒng)函數。解：3-26圖示電路，f(t)=10e-tÔ(t)+2Ô(t)。求關于i(t)的單位

12、沖激響應h(t)和零狀態(tài)響應i(t)。+f(t)-Ri(t)L2H4V解：3-27 已知某系統(tǒng)的頻域系統(tǒng)函數為，試求：(1) 單位階躍響應g(t)；(2)激勵的零狀態(tài)響應yf (t)。解：(1)方法一：3-28設，并繪f (t)與yf (t)的波形。yf (t)0t-ppf (t)0t-pp解：3-29已知系統(tǒng)的頻域系統(tǒng)函數為，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-)=2，y'(0-)=1，激勵。求全響應y(t)。解：3-30 已知一LTI系統(tǒng)的方程為，試求其系統(tǒng)函數H(jv)和單位沖激響應h(t)。解：，3-31求圖示各系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(jv)和單位沖激響應h(t)。積分器f(t)(d)y(t)微

13、分器f(t)(c)y(t)倒相器f(t)(b)y(t)單位延遲器f(t)(a)y(t)解：S延時器延時t f(t)+-g(t)y(t)3-32求圖示系統(tǒng)的H(jv)。解：其頻域模型如右下圖所示。f(t)x(t)y(t) F(jv)+-Y(jv)S3-33圖示系統(tǒng)，已知已知，求Y( jv)，并繪出之。解：vY( jv)0-5300-4700-6000(-j0.5p)-7000-4000(p)-3000(0.5p)(j0.5p)(0.5p)(p)470053004000(-j0.5p)30006000(p)7000(0.5p)(j0.5p)(0.5p)(p)3-34 理想低通濾波器的傳輸函數H(jv)5G2p(v)，求輸入為下列信號時的響應y(t)。(1) f(t)5Sa(t) (2) f(t)54Sa(pt)解：(1)+f(t)-C1+y(t)-C2R1R2(a)3-35寫出圖示電路的H( jv)，若使之為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，元件參數應滿足何條件？解：+u1(t)-+y(t)-R1R2(b)L1L23-36系統(tǒng)、F( jv)、H1( jv)和H2( jv)如圖，求Y( jv) .-3v0H1( jv)103v0