第二章 流體的運動

1、第二章 流體的運動  復(fù)雜的心臟流動模式可以利用速度場中假象粒子的軌跡直觀地表示出來。此圖使用時間分辨三維相差磁共振成像技術(shù)通過粒子軌跡直觀地表示了流入左心室的血流本章是用這些一般規(guī)律去研究適用于液體和氣體流動的較為特殊的規(guī)律。液體和氣體的各部分之間可以有相對運動，因而沒有固定的形狀。物體各部分之間可以有相對運動的特性，稱為流動性。具有流動性的物體，稱為流體。從具有流動性來看，液體和氣體都是流體。 流體的運動規(guī)律在水利、電力、煤氣和石油的輸送等工程部門都有廣泛的應(yīng)用。在人體生命活動中，也起著十分重要的作用。 本章研究流體運動的方法，選用歐拉法，即通過確定流體質(zhì)元每一時刻在空間各點的密

2、度和速度來描述流體的運動。 實際流體是復(fù)雜的，具有可壓縮性和粘滯性，研究流體的運動時，可分為理想流體和粘性流體。一般流體的運動也是復(fù)雜的，根據(jù)流體的運動狀態(tài)可分為層流（即穩(wěn)定流動）、湍流和過渡流。 實際流體及其運動都是復(fù)雜的。實際流體具有可壓縮性和粘滯性；一般實際流體運動時，流速是空間點(位置)及時間的函數(shù)，即v = f ( x ,y, z, t )。但在某些問題中可以突出起作用的主要因素，忽略掉作用不大的次要因素，而使問題簡化。因此，提出流體的理想模型絕對不可壓縮、完全沒有粘滯性的流體，稱為理想流體。把在流體中，各點質(zhì)元流速不隨時間改變的流動稱為穩(wěn)定流動(或定常流動)。為了形象地描述流體的運

3、動情況，引入流線和流管；為了便于描述流體在管道中運動，定義了橫截面上的體積流量和平均速度等物理概念。經(jīng)分析得出不可壓縮的流體、穩(wěn)定流動時的運動規(guī)律連續(xù)性方程?？蓧嚎s性：流體的體積（或密度）隨壓力的大小而變化的性質(zhì)，稱為流體的可壓縮性。壓力增大時，流體的體積減小：壓力減小時，流體的體積增大。液體的可壓縮性很?。粴怏w流動時，可壓縮性可以忽略。粘滯性：流體分層流動時，速度不同的各流層之間存在著沿分界面的切向摩擦力（即內(nèi)摩擦力），流體的這種性質(zhì)稱為流體的粘滯性。流速大的一層給流速小的一層以拉力，流速小的一層給流速大的一層以阻力。流體的粘滯性流線（stream line）：在流體中作許多曲線，曲線上每一

4、點的切線方向和流經(jīng)該處的流體質(zhì)元的速度方向一致，這種曲線稱為流線。流線流管（tube of flow）：由流線圍成的管子，稱為流管。流管理想流體（ideal fluid）：絕對不可壓縮、完全沒有粘滯性的流體（理想化模型），稱為理想流體。實際意義：可壓縮性和粘滯性都很小的實際流體，可近似看成理想流體。穩(wěn)定流動（steady flow）：在流體中，任意時刻，流體質(zhì)元流經(jīng)任一給定點的速度不隨時間改變，這種流動稱為穩(wěn)定流動。特點：流線不隨時間改變，不同時刻也不相交，流線與流動線（流線上質(zhì)元的運動軌跡）相重合。流管不隨時間改變，不同時刻也不相交，管內(nèi)流體不會流出管外，管外流體不會流入管內(nèi)。體積流量（vo

5、lume rate of flow）：單位時間內(nèi)通過流管某一橫截面的流體的體積，稱為該橫截面的體積流量。公式：設(shè)Dt時間內(nèi)通過流管某一橫截面的流體的體積為DV，則該橫截面的體積流量Q為：           單位：米3·秒-1（m3·s-1）平均流速（mean velocity of flow）：通過流管某一橫截面的單位面積流體的體積，定義為該橫截面的平均流速。公式：設(shè)流管某一橫截面的面積為S, 通過該橫截面的流量為Q,則流體通過該橫截面的平均流速v為：  

6、;    單位：米·秒-1（m·s-1）連續(xù)性方程（equation of continuity）： 條件：不可壓縮的流體作穩(wěn)定流動。連續(xù)性方程方程：設(shè)流管兩橫截面的面積分別為s1和s2；平均流速分別為v1和v2，則流體通過兩橫截面的流量Q1 和Q 2相等，即Q1 = Q 2 ，亦即 s1v1 = s2v2 ，此式稱為連續(xù)性方程。連續(xù)性方程表明：(1) 不可壓縮的流體作穩(wěn)定流動時，流管的任一橫截面積與該處的平均流速的乘積為一恒量。(2) 同一流管，截面積較大處流速較小；截面積較小處流速較大。(3) 流場中，流線密集的地方流速較大；流線

7、稀疏的地方流速較小。流體動力學(xué)的基本原理仍然是牛頓運動定律。伯努利于1738年首先推導(dǎo)出理想流體穩(wěn)定流動時的動力學(xué)基本規(guī)律伯努利方程。伯努利方程實質(zhì)上是理想流體作穩(wěn)定流動時的功能原理。應(yīng)用伯努利方程可以解決很多流體運動中的實際問題，而解題方法有別于固體物體的運動。虹吸管、抽水機、流量計、流速計（皮托管）等，都是伯努利方程的實際應(yīng)用。伯努利方程（Bernoulli equation）： 如圖所示，理想流體、穩(wěn)定流動時，同一流管兩截面（s1和s2）處的參量橫截面積、速度、壓強、高度分別為s1、v1、p1、h1和s2、v2、p2、h2，流體的密度為r由功能原理可推導(dǎo)出伯努利方程： 

8、0;          或            伯努利方程表明：理想流體、穩(wěn)定流動時，同一流管不同截面處，單位體積流體的動能、勢能與該處壓強之和都是相等的。 解題方法：1.在流體中選流管：通常選管壁或流線。2.在流管上選截面（或點）的原則：選所求量所在處的截面（或點）和已知條件多的截面（或點）。3.高度h的零點（即重力勢能零點）位置可任意選，但要便于解題。4.近似條件的使用：(1) 若S2 &g

9、t;> S1，則v2 << v1, 在伯努利方程中v2可近似為零。(2) 與氣體相通處液體的壓強可近似看成氣體的壓強。5.較復(fù)雜的題，可選同一流管的多個截面，列聯(lián)立方程求解。 虹吸管：如圖所示，粗細(xì)均勻的U形管，先注滿水，一端插入敞開的容器內(nèi)的水面下，另一端在容器外，可從容器中把水抽出來，這種管子稱為虹吸管。抽水條件：(a) h2>0，即出水口低于液面. (b) h1<10m.抽水機：用管子將水從低處抽到高處的機器。一般抽水機，機內(nèi)空氣壓強p內(nèi)為 0<p內(nèi)<p0；真空式抽水機一般10-8毫米汞柱，極限狀況下p內(nèi)=0。抽水條件：抽水機不得置于高

10、出水面10m以上。流量計：測量管道中流體流量的儀器。         已知S1、S2、重力加速度g，測量出h，求出Q。液體流量計其中g(shù)為重力加速度，r為氣體的密度，r'為液體的密度。已知S1、S2，測量出h，求出Q。氣體流量計皮托管：測定流速的儀器。如圖所示，兩個彎成L形的管子，一個管子的開口（A）在前方，另一個管子的開口（B）在側(cè)面。測流速時，將兩個管子沿流動方向放置，兩管口A、B在同一水平高度，開口A 與流速方向相對，開口B與流速方向相切。液體流速計流速計：由皮托管測速原理制成的測流速的儀器。（注：畫原

11、理圖及實物圖）液體流速計（皮托管）：如圖所示，流速 ，測量出h，可知流速v。 氣體流速計：如圖所示，流速 其中g(shù)為重力加速度，r為氣體的密度，r'為液體的密度。測量出h，可知流速v。實際流體都不同程度地具有粘滯性。氣體和一些粘滯性小的液體在小范圍內(nèi)流動時，粘滯性作為次要因素可忽略不計，而粘滯性很大的流體、或粘滯性雖小，但由于遠(yuǎn)距離輸送，粘滯性的影響卻不能忽略不計。研究在流體中運動的物體受到阻力時，也必須考慮到流體的粘滯性。粘性流體層流時，各層流動的速度不同。相鄰兩層之間存在著摩擦力，稱為內(nèi)摩擦力（或稱為粘滯力），其大小與該處的速度梯度有關(guān)，與流體的粘滯系數(shù)有關(guān)，服從牛頓粘滯定律。流體的

12、流動除層流外，還有湍流和過渡流的運動形式，流體處于那一種運動形式，由雷諾數(shù)決定。不可壓縮的、粘滯流體在粗細(xì)均勻的水平圓管中層流時，圓管橫截面上速度分布有一定的規(guī)律，通過管子的流量遵從泊肅葉定律。：不可壓縮的粘性流體，穩(wěn)定流動時，有粘性流體的運動規(guī)律，即對理想流體、穩(wěn)定流動時的伯努利方程加一個修正項，表示粘性流體在流動過程中需克服內(nèi)摩擦力做功，因而有自身的能量損失。在流體中運動的物體，由于其表面附著的流體與相臨的流體有相對運動，而受到粘滯阻力。球形物體在流體中運動的速度很小時，其受到的粘滯阻力服從斯托克斯定律，物體在流體中上升或下降時，受到重力、浮力和到粘滯阻力。物體起初為變速運動，最終會達到勻

13、速運動，此時的速度稱為收尾速度。內(nèi)摩擦力(internal friction), 粘滯力(viscous force), 粘滯性(viscosity)：流體分層流動時，速度不同的各流層之間存在著沿分界面的切向摩擦力，流速大的一層給流速小的一層以拉力，流速小的一層給流速大的一層以阻力。這種流體內(nèi)部的摩擦力，稱為內(nèi)摩擦力，或粘滯力。流體的這種性質(zhì)稱為流體的粘滯性。速度梯度（velocity gradient）：流體中，在垂直于流速方向上，單位距離的兩流層的速度變化量，稱為速度梯度。平均速度梯度：xx+Dx 范圍內(nèi)的平均速度梯度為： 速度梯度：x 附近的速度梯度為： 速度梯度的單位：秒1（s1）。

14、牛頓粘滯定律（Newton law of viscosity ）：粘性流體層流時，相鄰兩層之間的內(nèi)摩擦力F與兩流層的面積S成正比，與該處的速度梯度 成正比，即稱為牛頓粘滯定律。式中比例系數(shù)h，稱為為流體的粘滯系數(shù)。粘滯系數(shù)（coefficient of viscosity）h：流體粘滯性大小的量度。流體具有粘滯性的原因：分子力和分子的無規(guī)則熱運動。滯系數(shù)的決定因素：粘滯系數(shù)大小由流體本身的性質(zhì)、流體的溫度決定。對液體來說：溫度越高，粘滯系數(shù)越?。粶囟仍降?，粘滯系數(shù)越大。對氣體來說：溫度越高，粘滯系數(shù)越大；溫度越低，粘滯系數(shù)越小。粘滯系數(shù)的單位：Pa·s層流（laminar

15、flow）：流體分層流動、各層流動彼此不相混合、只作相對滑的流動，稱為層流。湍流（turbulent flow）：流體不保持分層流動、各層之間相互混合、可出現(xiàn)旋渦的流動，稱為湍流。過渡流：流體的流動狀態(tài)不穩(wěn)定，可能層流，也可能湍流。雷諾數(shù)（Reynold number）Re ：流體的流動狀態(tài)與流體的密度r、粘滯系數(shù)h、平均流速v，管道半徑r有關(guān)。定義  ：Re稱為雷諾數(shù)。 Re<1000時，流體作層流；Re>1500時，流體作湍流；1000<Re<1500時，流體作過渡流。速度分布: 不可壓縮的、粘滯系數(shù)為h的流體，在半徑為R的水平圓管中層流時，若長度為L的流

16、體兩端的壓強差為p1-p2，則圓管橫截面上速度分布流速隨半徑變化的關(guān)系為：       管壁處：r=R處，vR=0；管中心處：r=0處，中心流速最大， ； 當(dāng)R，h 一定時，vr由 決定，稱為壓強梯度。 泊肅葉定律（Poiseuille law）：不可壓縮的、粘滯系數(shù)為h的流體，在半徑為R的水平圓管中層流時，若長度為L的流體兩端的壓強差為p1-p2，則  流量： ；稱為泊肅葉定律。 平均流速 ，流阻：定義 ，則Rf 稱為流阻。 單位：牛頓·秒·米-5（N·s·m-5

17、）, 則流量有： 粘性流體的運動規(guī)律：不可壓縮的粘性流體，穩(wěn)定流動時有 粘性流體的伯努利方程： 其中w為單位體積流體從1處流到2處克服內(nèi)摩擦力所做的功，或損失的能量。 能量損失：粘滯性流體，在半徑相同的管道中穩(wěn)定流動時，由粘性流體的伯努利方程：(1) 高度相同時： w = p1 p2，又由泊肅葉定律可得： 此二式表明：(a ) 該情況下流體損失的能量與流程成正比，故稱為沿程能量損失，流體損失了壓強；(b) 即使在水平管中，也必須有一定的壓強差，粘性流體才能作穩(wěn)定流動。(2) 壓強相同時： w = rgh1 rgh2。此式表明：在外界壓強相同的情況下，流體損失了重力勢能，管道必須有一定的高度差，粘性流體才能保持速度。斯托克斯定律（Stokes law）：半徑為r的球形物體,在靜止的粘滯系數(shù)為