空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、<9.6 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、空間直角坐標(biāo)系：如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為，這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示。在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以、的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸。這時(shí)我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫做原點(diǎn)，向量、都叫做坐標(biāo)向量。通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面。注意：作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使（或），。在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系。說(shuō)明右手直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)是：從到是逆時(shí)針?lè)较颉Ｈ鐭o(wú)特

2、別說(shuō)明，以后建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系。給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系和向量，且設(shè)、為坐標(biāo)向量，根據(jù)空間向量基本定理可知：存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使有序?qū)崝?shù)組叫做向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，可簡(jiǎn)記作在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組、，使有序?qū)崝?shù)組叫做點(diǎn)的坐標(biāo)，記作，其中叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的豎坐標(biāo)。二、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則；。若、，則的中點(diǎn)坐標(biāo)是；。說(shuō)明：一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。1、若，且，則（A）（B）（C）（D）2、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_。3、設(shè)點(diǎn)，是點(diǎn)在坐標(biāo)平面

3、內(nèi)的射影，則的坐標(biāo)是_。4、已知為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，求。5、若，。若，求實(shí)數(shù)的值；若，求實(shí)數(shù)的值。6、如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求證：。7、如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，求證：平面。三、夾角和距離公式：若，則；。若，則或其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式。1、在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值是（A）（B）（C）（D）2、在棱長(zhǎng)為的正方體中，是底面的中心，、分別是、的中點(diǎn)，那么異面直線和所成的角的余弦值等于（A）（B）（C）（D）3、如圖，直棱柱的底面中，棱，、分別是、的中點(diǎn)。求；求證：；求與的夾角。5、如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上，且，是的中點(diǎn)。求異面直線與所成的角的余弦值；若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且，求的值。四、平面的法向量：平面法向量定義：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作。如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的方程：一般式：；截距式：。如何求平面的法向量：方法一：利用平面方程求法向量。若平面的方程是，則的一個(gè)法向量是。方法二：利用平面內(nèi)不共線二向量求法向量。設(shè)、是平面內(nèi)不共線二向量，的法向量是（或或或），根據(jù)即可得到。方法三：利用向量的外積求法向量。若、是內(nèi)不共線